《2014届高考数学(理科)(浙江专版)：专题一 第6讲 第一课时 利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014届高考数学(理科)(浙江专版)：专题一 第6讲 第一课时 利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 考 点考 情导数的几何意义1.导数在函数中的应用为每年的必考内容，且考查主要有三种形式：(1)利用导数研究不含参数的函数的性质；(2)利用导数研究含参数的函数的性质；(3)利用导数研究实际应用问题中的函数2.对导数的几何意义的考查多出现在解答题的第1问或题目条件中，如2013年北京T18等3.对导数在函数单调性应用中的考查，以求解函数的单调区间为主，结合含参数不等式的求解问题，主要考查分类讨论的数学思想，试题有一定难度，多出现在第1或2问，如2013年新课标全国卷T21等4.函数的极值和最值问题是高考对导数应用考查的重点，其中根据极值或最值求解参数的取值范围是高考的热点，最值问题与不等式的证
2、明以及不等式恒成立问题的结合往往作为解答题的第2问出现，试题难度较大，如2013年辽宁T21等.导数与函数的单调性导数与函数的极值导数与函数的最值导数与不等式导数的实际应用第一课时利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题1(2013北京高考)设L为曲线C：y在点(1,0)处的切线(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方解：(1)设f(x)，则f(x).所以f(1)1，即L的斜率为1.又L过点(1,0)，所以L的方程为yx1.(2)证明：令g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)0(x0，x1)g(x)满足g(1)0，且g(x)1f(
3、x).当0x1时， x210，ln x0，所以g(x)0，故g(x)单调递减；当x1时，x210，ln x0，所以g(x)0，故g(x)单调递增所以，g(x)g(1)0(x0，x1)所以除切点之外，曲线C在直线L的下方2(2013福建高考)已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值解：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)，因而f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，
4、x0知：当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa，又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值.热点一利用导数研究函数的单调性例1(2013青岛模拟)已知函数f(x)(ax2x1)ex，其中e是自然对数的底数，aR.(1)若a1，求曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若a0，求f(x)的单调区间自主解答(1)a1时，f(x)(x2x1)ex，所以f(x)
5、(2x1)ex(x2x1)ex(x23x)ex，所以曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为kf(1)4e.又因为f(1)e，所以所求切线方程为ye4e(x1)，即4exy3e0.(2)f(x)(2ax1)ex(ax2x1)exax2(2a1)xex，若a0，当x时，f(x)0；当0x0.所以f(x)的单调递减区间为(，0)，；单调递增区间为.若a，则f(x)x2ex0，所以f(x)的单调递减区间为(，)若a，当x0时，f(x)0；当x0.所以f(x)的单调递减区间为，(0，)；单调递增区间为.在本例条件下，若a1时，f(x)的图像与g (x)x3x2m的图像有3个不同交点，求m的取值范围
6、解：由本例(2)知，当a1时，f(x)(x2x1)ex在(，1)上单调递减，在(1,0)上单调递增，在(0，)上单调递减所以f(x)在x1处取得极小值f(1)，在x0处取得极大值f(0)1.由g(x)x3x2m，得g(x)x2x.当x0时，g(x)0；当1x0时，g(x)0.所以g(x)在(，1)上单调递增，在(1,0)上单调递减，在(0，)上单调递增故g(x)在x1处取得极大值g(1)m，在x0处取得极小值g(0)m. 因为函数f(x)与函数g(x)的图像有3个不同的交点，所以即所以m0，实数a，b为常数)(1)若a1，b1，求函数f(x)的极值；(2)若ab2，讨论函数f(x)的单调性解：
7、(1)当a1，b1时，函数f(x)x2xln x，则f(x)2x1，令f(x)0，得x1(舍去)或x.当0x时，f(x)时，f(x)0，函数f(x)在上单调递增所以f(x)在x处取得极小值ln 2，无极大值(2)ab2，a2b，f(x)x2(2b)xbln x，则f(x)2x(2b)，令f(x)0，得x1，x21.当0，即b0时，函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)；当01，即0b1，即b2时，f(x)，f(x)随x的变化情况列表如下：x(0,1)f(x)f(x)所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为.综上：当b0时，函数f(x)的单调递减区间为(
8、0,1)，单调递增区间为(1，)；当0b2时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为.热点二利用导数研究函数的极值或最值例2(2013浙江高考)已知aR，函数f(x)2x33(a1)x26ax.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若|a|1，求f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值自主解答(1)当a1时，f(x)6x212x6，所以f(2)6.又因为f(2)4，所以切线方程为y6x8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值f(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa)令f(x)0，得到x11，x2a.当a1时，x0(0,1)1
9、(1，a)a(a,2a)2af(x)00f(x)0单调递增极大值3a1单调递减极小值a2(3a)单调递增4a3比较f(0)0和f(a)a2(3a)的大小可得g(a)当a0时，令f(x)0，得x10，x21.当0a1时，1x20，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(1，x2)x2(x2，x1)x1(x1，)f(x)00f(x)f(x2)f(x1)f(x)的单调增区间是，单调减区间是和(0，)当a0时，f(x)的单调增区间是(0，)，单调减区间是(1,0)综上，当a0时，f(x)的单调增区间是(0，)，单调减区间是(1,0)；当0a1时，f(x)的单调增区间是，单调减区间是和(0，)(3)由(2)知a0时，f(x)在(0，)上单调递增，由f(0)0知不合题意当0a0，f(x)在区间上递增可知，ff(0)0，不合题意当a1时， f(x)在(0，)单调递减，可得f(x)在0，)上的最大值是f(
