《备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板 专题13 导数与函数的单调性问题 word版含解析[高考必备]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板 专题13 导数与函数的单调性问题 word版含解析[高考必备]（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题13 导数与函数的单调性问题【高考地位】在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.【方法点评】类型一 求已知函数的单调区间使用情景：已知函数的解析式判断函数的单调性解题模板：第一步 计算函数的定义域；第二步 求出函数的导函数；第三步 若，则为增函数；若，则为减函数.例1 函数的单调递
2、增区间为_【答案】【解析】考点：导数与单调性【点评】求已知函数的单调区间的关键是正确求出函数的导函数，并正确计算和相应的自变量的取值范围.【变式演练1】若，则有（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：，时，；在上是增函数，又，.故选C考点：利用导数研究函数的单调性【变式演练2】函数，的单调减区间为 【答案】（0，）（可写为）【解析】考点：1.函数的求导法则；2.利用导数求单调区间；【变式演练3】设，则，的大小关系是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：令，则，所以函数为增函数，所以，所以，即，所以；又因为，所以，故应选.考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用.【变式演练4】
3、若，则的解集为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：函数的定义域为，,所以的解集为,故选C考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用.类型二 求含参数的函数的单调区间使用情景：函数的解析式中含有参数解题模板：第一步 计算函数的定义域并求出函数的导函数；第二步 讨论参数的取值范围，何时使得导函数按照给定的区间大于0或小于0；第三步 求出不同情况下的极值点进而判断其单调区间.例2 已知函数讨论函数的单调区间.【答案】当时，在内单调递增，在内单调递减；当时，在单调递增；当时，在内单调递增，在内单调递减（其中 ）. 【点评】解决含参数的函数的单调区间的关键是正确地讨论与的大小关系，并正确地判断
4、导数的符号，进而确定函数的单调区间.【变式演练5】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_【答案】【解析】考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题【变式演练6】已知.（1）讨论的单调性；（2）当时, 证明对于任意的成立.【答案】（1）当时,在内单调递增,在内单调递减, 当时,在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增,当时,在内单调递增, 当时,在内单调递增,在内单调递减, 在单调递增；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出原函数的导函数，然后对分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；（2）构造函数，令，则，利用导数分别求与的最小值得到恒成立由此可得对
5、于任意的成立试题解析：（1）的定义域为,当时, 时, 单调递增, 时, 单调递减,当时,. 时, 当或时, 单调递增, 当时, 单调递减.时, 在内, 单调递增. （2）证明: 由（1）知时,设,则,由,可得,当且仅当时取得等号, 又,设,则在单调递减, 因为,使得时, 时, 在内单调递增, 在内单调递减, 由,可得,当且仅当时取得等号, 所以,即对于任意的成立.考点：（1）利用导函数求闭区间上的最值；（2）利用导数研究函数的单调性.【变式演练7】已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值； （2）若在定义域上是增函数，求实数的取值范围；（3）若，求证.【答案】（1）；（2）；（
6、3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用两直线平行,求出的值；（2）利用恒成立,转化为求的最小值；（3）由函数的单调性, 所以,代入化简得证.（3），要证，即证令，由（2）知，在上是增函数，.故，即.考点：1.两直线平行的条件；2.基本不等式；3.导数的应用.【变式演练8】函数讨论的单调性【答案】当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减【解析】考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）根的存在性及根的个数判断【变式演练9】已知函数，其中aR.（）当a1时，判断f（x）的单调性；（）若g（x）在其定义域内为增函数，求
7、正实数a的取值范围【答案】（）在（0，）上单调递增（）a【解析】试题分析：（）求函数导数并确定导函数符号：，即得函数在定义域上单调递增（）g（x）在其定义域内为增函数，等价于g（x）0恒成立，再利用变量分离法将其转化为对应函数最值：的最大值，最后利用基本不等式求最大值得正实数a的取值范围. 试题解析：（1）由得定义域为（0，），当a1时， f（x）在（0，）上单调递增考点：利用导数研究函数单调性【思路点睛】导数与函数的单调性（1）函数单调性的判定方法：设函数yf（x）在某个区间内可导，如果f（x）0，则yf（x）在该区间为增函数；如果f（x）0，则yf（x）在该区间为减函数.（2）函数单调性问
8、题包括：求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.【高考再现】1.【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设函数,，其中，(I)求的单调区间；【答案】（）详见解析【解析】试题分析：（）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：当时，有恒成立，所以的单调增区间为.当时，存在三个单调区间试题解析：（）解：由，可得.下面分两种情况讨论：（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（2）当时，令，解得，或.当变化时，的变化情况如下表：00单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增
9、区间为，.【名师点睛】求可导函数单调区间的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；(2)求导函数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f(x)0或f(x)0的解集(4)由f(x)0(f(x)0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间2.【2015高考湖南，文8】设函数，则是( )A、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B、奇函数，且在（0,1）上是减函数C、偶函数，且在（0,1）上是增函数 D、偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】A【解析】【考点定位】利用导数研究函数的性质【名师点睛】利用导数研究函数在(a，b)内的单
10、调性的步骤：(1)求；(2)确认在(a，b)内的符号；(3)作出结论：时为增函数；时为减函数研究函数性质时，首先要明确函数定义域.3. 【2015课标2理12】设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A BC D【答案】A【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题4.【2015高考安徽，文21】已知函数（）求的定义域，并讨论的单调性；【答案】（）递增区间是（-
11、r,r）;递减区间为（-，-r）和（r，+）；（）极大值为100；无极小值.【考点定位】本题主要考查了函数的定义域、利用导数求函数的单调性，以及求函数的极值等基础知识.【名师点睛】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式，在求和时要注意，本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力.5.【2015高考福建，文22】已知函数()求函数的单调递增区间；【答案】() ；【解析】（I），由得解得故的单调递增区间是【考点定位】导数的综合应用【名师点睛】利用导数判断或求函数的单调区间，通过不等式或求解，但是要兼顾定义域；利用导数研究函数的单调性，再用单调性
12、来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意与不等价，只是的特例，但是也可以利用它来证明，在2014年全国卷理科高考21题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续6.【2015高考福建，理10】若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ）A B C D 【答案】C【考点定位】函数与导数【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法
13、，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题7.【2015高考江苏，19】（本小题满分16分） 已知函数.（1）试讨论的单调性；【答案】（1）当时， 在上单调递增；当时， 在，上单调递增，在上单调递减；当时， 在，上单调递增，在上单调递减【考点定位】利用导数求函数单调性.【名师点晴】求函数的单调区间的步骤：确定函数yf(x)的定义域；求导数yf(x)，令f(x)0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排
14、列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；确定f(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性8.【2015高考天津，理20（本小题满分14分）已知函数，其中.(I)讨论的单调性；【答案】(I) 当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减.【解析】(I)由，可得，其中且，下面分两种情况讨论： (2)当为偶数时，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.所以，在上单调递增，在上单调递减. 9.【2015高考四川，理21】已知函数，其中.（1）设是的导函数，评论的单调性； 【答案】（1）当时，在区间上单调递增， 在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证
