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1、第二节 二元一次不等式组与简单的线性规划问题1一元二次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值
2、问题小题体验1(2018宿迁期末)若点A(1,1)，B(2，1)位于直线xya0的两侧，则a的取值范围为_解析：点A(1,1)，B(2，1)位于直线xya0的两侧，(11a)(21a)0，即(2a)(1a)0，则(a1)(a2)0，解得1a2.答案：(1,2)2如图所示的平面区域(阴影部分)满足的不等式为_解析：平面区域的边界线方程为1，即xy10.所以平面区域满足不等式是xy10.答案：xy103(2018南京高三年级学情调研)已知实数x，y满足条件则z3x2y的最大值为_解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，当z3x2y经过点A(4,3)时，z取得最大值，所以zmax3423
3、6.答案：61画出平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为axbyc0(a0)2线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有3在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值小题纠偏1已知实数x，y满足则目标函数z2xy的最大值为_解析：画出平面区域如图所示，目标函数可变为y2xz，将直线y2x进行平移可得在点(2，1)处截距最小，所以此时z最大，最大值为5.答案：52实数x
4、，y满足使zaxy取得最大值的最优解有2个，则z1axy1的最小值为_解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为zaxy取得最大值的最优解有2个，所以a1，a1，所以当x1，y0或x0，y1时，zaxyxy有最小值1，所以axy1的最小值是0.答案：0题组练透1已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k_.解析：先作出不等式组对应的平面区域，如图要使阴影部分为直角三角形，当k0时，此时三角形的面积为331，所以不成立当k1时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为1.答案：12(易错题)若满足条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a_.解析
5、：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a1时，正好增加(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)共5个整点答案：13(2018广州五校联考)设不等式组所表示的平面区域为D，则区域D的面积为_解析：如图，画出可行域易得A，B(0,2)，C(0,4)，所以可行域D的面积为2.答案：谨记通法确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域(
6、2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点锁定考向线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标函数的最值；(3)线性规划中的参数问题 题点全练角度一：求线性目标函数的最值1(2018苏北四市一模)设实数x，y满足则3x2y的最大值为_解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，令z3x2y，则yx，故当目标函数z3x2y经过点A(1，0)时，z取得最大值，故zmax3.答案：32(2017全国卷)设x，y满足约束条件则z3x2y的最小
7、值为_解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线yx过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由解得即A(1,1)所以zmin5.答案：5角度二：求非线性目标函数的最值3设实数x，y满足不等式组则x2y2的取值范围是_解析：如图所示，不等式组表示的平面区域是ABC的内部(含边界)，x2y2表示的是此区域内的点(x，y)到原点距离的平方从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离，其值为1；最远的距离为AO，其值为2，故x2y2的取值范围是1,4答案：1,4角度三：线性规划中的参数问题4(2018苏州质检)已知x，y满足若目标函数z3xy的最大值为10，则z的最小值为_解
8、析：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l：3xy0，平移l，从而可知经过C点时z取到最大值，由解得所以231m0，m5.由图知，平移l经过B点时，z最小，所以当x2，y2251时，z最小，zmin3215.答案：55当实数x，y满足时，1axy4恒成立，则实数a的取值范围是_解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由1axy4恒成立，结合图可知，a0且在A(1,0)处取得最小值，在B(2,1)处取得最大值，所以a1，且2a14，故a的取值范围为.答案：通法在握1求目标函数的最值3步骤(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直
9、线；(2)平移将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值2常见的3类目标函数(1)截距型：形如zaxby.求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值(2)距离型：形如z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如z.提醒注意转化的等价性及几何意义演练冲关1已知点P(x，y)的坐标满足则当3x2y取最大值时，点P的坐标为_解析：作出不等式组表示的可行域如图所示作出直线3x2y0，平移该直线，当直线经过x3y1与xy2的交点时，3x2y取得最大值联立解得所以点P的坐标为.
10、答案：2(2018连云港质检)已知实数x，y满足若zkxy的最小值为5，则实数k_.解析：不等式组对应的平面区域是以点(1,2)，(1,0)和(2，1)为顶点的三角形及其内部，当z取得最小值时，直线ykxz在y轴上的截距最大，当k1时，目标函数直线经过点(1,2)时，zmink25，k3适合；当k1时，目标函数直线经过点(2，1)时，zmin2k15，k3适合，故k3.答案：33(2018无锡质检)设实数x，y满足则的最小值是_解析：如图所示，画出不等式组所表示的可行域，而表示区域内一点(x，y)与点D(1,1)连线的斜率，所以当x，y时，有最小值为.答案：典例引领某工厂制作仿古的桌子和椅子，
11、需要木工和漆工两道工序已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时生产一把椅子的利润为1 500元，生产一张桌子的利润为2 000元该厂每个月木工最多完成8 000个工作时，漆工最多完成1 300个工作时根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润为_万元解析：设该厂每个月生产x把椅子，y张桌子，利润为z元，则得约束条件z1 500x2 000y.作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线3x4y0，平移该直线，可知当该直线经过点P时，z取得最大值由得即P(200，900)，所以zmax1 5002002 0009002
12、 100 000.故每个月所获得的最大利润为210万元答案：210由题悟法1解线性规划应用题3步骤(1)转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案2求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式即时应用某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的
13、载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，求租金最少多少元？解：设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z，则线性约束条件为目标函数为z1 600x2 400y.画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N(5,12)时，有最小值zmin36 800(元)故租金最少为36 800元一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2018江阴期中)不等式组所表示的平面区域的面积是_解析：作出不等式组表示的平面区域如图中ABC所示由得即A(1,1)由得即B(3,5)由得即C(3，3)则BC5(3)8，点A到直线x3的距离d3(1)4，故SABC8416.答案：162(2018南京、盐城一模)已知实数x，y满足则目标函数zxy的最小值为_解析：作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，作出直线yx，则当目标函数yxz过点C(1,4)时，zmin3.答案：33(2019泰州中学高三学情调研)已知点P(x，y)满足则z的最大值为_解析：作出满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示z表示过平面区域的点(x，y)与(0
