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1、7-2 简单几何体的表面积与体积课时规范练A组基础对点练1(2016高考全国卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(A)A12B. C8D.42(2018西安地区八校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(C)A.B2C.D43(2018沈阳质量监测)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是(A)A44 B.42C84 D.解析：由三视图可得，该四棱锥的示意图是如图所示的四棱锥PABCD，其中PA底面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA2，AB2，PB2.易得该四棱锥的侧面积S是四个直角三角形的面积和，即S244，故选A.4(2018石家庄质检)如图，
2、网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为(B)A. B.C3 D.8解析：根据三视图可得，该几何体是镶嵌在棱长为2的正方体中的一个四棱锥OABCD，如图所示，则VOABCDVOABCVOACDVCOABVCOADSOABd1SOADd2(其中d1，d2分别为点C到平面OAB和平面OAD的距离)又因为正方体的棱长为2，易得SOABSOAD2，且d1d22，所以VOABCD，故选B.5(2017河北质量监测)某四面体的三视图如图，则其四个面中最大的面积是(D)A2 B.2C. D.26(2018贵阳监测)某几何体的三视图如图所示(粗线部分)，正方形网格
3、的边长为1，该几何体的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为(C)A15 B.16C17 D.18解析：由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥D1BCD，将其放在长方体ABCDA1B1C1D1中，则该几何体的外接球即长方体的外接球，长方体的长、宽、高分别为2,2,3，长方体的体对角线长为，即球O的直径为，所以球O的表面积S17，故选C.7若三棱锥PABC的最长的棱PA2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是.8(2018石家庄质检)直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB3，AC5，BC7，AA12，则此球的表面积为.解析：在ABC中，由余弦定理，知cosCAB，
4、所以sinCAB.设ABC外接圆的半径为r，则由正弦定理，知2r，所以r.设球的半径为R，则R，所以此球的表面积S4R2.9已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为.10(2016高考全国卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置(1)证明：ACHD；(2)若AB5，AC6，AE，OD2，求五棱锥DABCFE的体积解析：(1)证明：由已知得ACBD，ADCD.又由AECF，得，故ACEF.由此得EFHD，即EFHD，所以ACHD.(2)由
5、EFAC，得.由AB5，AC6，得DOBO4.所以OH1，DHDH3.于是OD2OH2(2)2129DH2，故ODOH.由(1)知，ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面BHD，于是ACOD.又由ODOH，ACOHO，所以OD平面ABC.又由，得EF.则五边形ABCFE的面积S683.所以五棱锥DABCFE的体积V2.B组能力提升练1(2018重庆调研)已知三棱锥ABCD中，平面ABC平面BCD，BCCD，ABAC，CD2，BC2，则该三棱锥外接球的表面积为(C)A4 B.4C12 D.9解析：如图，取BC的中点E，BD的中点O，连接OA，OE，OC，AE，则OECD.由平面ABC平面
6、BCD，平面ABC平面BCDBC，CD平面BCD，CDBC，得CD平面ABC，则OE平面ABC，所以OEBC，OEAE.在RtABC中，AEBCBECE，则RtOCERtOAERtOBE，所以OCOAOB.又OBOD，所以O为三棱锥ABCD的外接球的球心，外接球的半径RBD，则三棱锥ABCD的外接球的表面积S4R212，故选C.2(2016高考全国卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是(B)A4 B.C6 D.解析：由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直
7、三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R，该球的体积最大，VmaxR3.故选B.3已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为(A)A. B.C. D.解析：在直角三角形ASC中，AC1，SAC90，SC2，所以SA；同理SB.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB(图略)，因为SACSBC，所以BDSC，故SC平面ABD，且平面ABD为等腰三角形，因为ASC30，所以ADSA，则ABD的面积为1 ，则三棱锥的体积为2.故选A.4四棱锥SABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方
8、形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于88，则球O的体积等于(A)A. B.C16 D.解析：依题意，设球O的半径为R，四棱锥SABCD的底面边长为a，高为h，则有hR，即h的最大值是R.又AC2R，则四棱锥SABCD的体积VSABCD2R2h.因此，当四棱锥SABCD的体积最大，即hR时，其表面积等于(R)24R 88，解得R2，因此球O的体积等于，故选A.5(2018广州调研)如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为(C)A. B.6C11 D.12解析：根据三视图知，可将该三棱锥放在长方体中，如图中三棱
9、锥SABC所示，取线段AC的中点O1，过O1作直线垂直于平面ABC交长方体的上底面于点P.因为ABC是直角三角形，所以外接球的球心O必在线段PO1上，连接SO，SP，OC，设OO1x，球的半径为R，易得SP，所以解得R2，所以该三棱锥外接球的表面积S4R211，故选C.6一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_12_.解析：由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h，则622h2，解得h1.底面正六边形的中心到其边的距离为，故侧面等腰三角形底边上的高为2，故该六棱锥的侧面积为12212.7(2018郑州质量预测)三棱锥ABCD的所有顶点都在
10、球O的表面上，AB平面BCD，BCCD，AB1，BC2，CD3，则球O的表面积为_14_.解析：因为BCCD，BC2，CD3，所以BD2BC2CD213，且BD为BCD外接圆的直径又AB平面BCD，所以ABBD，则AD为球O的直径，所以2RAD，解得R，所以球O的表面积S4R214.8(2018沈阳质量监测)已知在正四棱锥SABCD中，SA6，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为_6_.解析：设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h，因为在正四棱锥SABCD中，SA6，所以h2(6)2，即a22162h2，所以正四棱锥的体积VSABCDa2h72hh3.令y72hh3，则y722h2.令y0，得
11、0h6；令y6，所以当该棱锥的体积最大时，它的高为6.9(2016高考全国卷)如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积解析：(1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E，所以ABDE.因为PDDED，所以AB平面PED，故ABPG.又由已知，可得PAPB，所以G是AB的中点(2)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点
12、F，F即为E在平面PAC内的正投影理由如下：由已知可得PBPA，PBPC.又EFPB，所以EFPA，EFPC.因此EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CDCG.由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以DEPC，因此PEPG，DEPC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA6，可得DE2，PE2.在等腰直角三角形EFP中，可得EFPF2，所以四面体PDEF的体积V222.10如图所示，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2，AD4.将CBD沿BD折起到EBD
13、的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求证：ABDE；(2)求三棱锥EABD的侧面积和体积解析：(1)证明：在ABD中，AB2，AD4，DAB60，BD2.AB2BD2AD2，ABBD.又平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD，AB平面EBD.又DE平面EBD，ABDE.(2)由(1)知ABBD.CDAB，CDBD，从而DEBD.在RtDBE中，DB2，DEDCAB2，SEDBDBDE2.AB平面EBD，BE平面EBD，ABBE.BEBCAD4，SEABABBE4.DEBD，平面EBD平面ABD，ED平面ABD，而AD平面ABD，EDAD，SEADADDE4.综上，三棱锥EABD的侧面积SSEDBSEABSEAD82.DE平面ABD，且SABDSEBD2，DE2，VEABDSABDDE22.9
