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1、第一章集合与 常用逻辑用语常用逻辑用语1.1 集合的概念与运算一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素（若 则 ），则称AaB集合 A 为集合 B 的子集，记为 A B 或 B A；如果 A B，并且 A B，这时集合 A 称为集合 B 的真子集，记为 A B 或 B A.4.集合的相等：如果集合 A、B 同时满足 A B、B A，则 A=B.5.补集：设 A S，由 S 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 S 的子集 A 的补集，记为
2、.Cs6.全集：如果集合 S 包含所要研究的各个集合，这时 S 可以看做一个全集，全集通常记作 U.7.交集：一般地，由所有属于集合 A 且属于 B 的元素构成的集合，称为 A 与 B 的交集，记作 A B.8.并集：一般地，由所有属于集合 A 或者属于 B 的元素构成的集合，称为 A 与 B 的并集，记作 A B.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作 .10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.13.常用数集的记法：自然数集记作 N，正整数集记作 N+或 N ，整数集记作
3、 Z，有理数集记作 Q，实*数集记作 R. 二、疑难知识1.符号 ， ， ， ，=，表示集合与集合之间的关系，其中“ ”包括“ ”和“=”两种情况，同样“ ”包括“ ”和“=”两种情况.符号 ， 表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断空集是任何集合的子集，
4、但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式 中，B= 易漏掉的情况.5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用. 9.含有 n 个元素的集合的所有子集个数为： ，所有真子集个数为： -1 n2n2三、经典例题例 1 已知集合 M=y|y =x21,xR,N=y| y =x1,xR，则 MN=（ ）A（0，1），（1，
5、2） B（0，1），（1，2）Cy|y=1,或 y=2 Dy|y1错解：求 MN 及解方程组 得 或 选 B12xy0y21错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么事实上 M、N 的元素是数而不是实数对( x,y)，因此 M、N 是数集而不是点集,M、N 分别表示函数 y=x21(xR)， y=x1(xR)的值域，求 MN 即求两函数值域的交集正解：M= y|y=x21,xR= y|y1， N=y|y=x1,xR=y|yRMN= y|y1y|(yR)= y|y1, 应选 D注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分 x|y=x21、
6、y|y=x21, xR、(x,y)|y=x21, xR，这三个集合是不同的例 2 已知 A=x|x2 3x2=0,B= x|ax2=0且 AB=A，求实数 a 组成的集合 C错解：由 x23 x2=0 得 x=1 或 2当 x=1 时， a=2， 当 x=2 时，a=1错因：上述解答只注意了 B 为非空集合，实际上，B= 时，仍满足 AB=A.当 a=0 时，B= ，符合题设，应补上，故正确答案为 C=0，1，2正解：AB=A B A 又 A=x|x2 3x2=0=1，2B= 或 C=0，1 ，221或例 3已知 m A,n B, 且集合 A= ，B= ，又 C=Zax,2| Zax,12|，
7、则有： （ ）Zax,14|A m+n A B. m+n B C.m+n C D. m+n 不属于 A，B，C 中任意一个错解： m A， m=2a,a ,同理 n=2a+1,a Z, m+n=4a+1,故选 C错因是上述解法缩小了 m+n 的取值范围.正解： m A, 设 m=2a1,a1 Z, 又 n , n=2a2+1,a2 Z , m+n=2(a1+a2)+1,而 a1+a2 Z , m+n B, 故选 B.例 4 已知集合 A=x|x23x100，集合 B=x|p1x2p1若 B A，求实数 p 的取值范围错解：由 x23x 100 得2x5欲使 B A，只须 351pp p 的取值
8、范围是3p3.错因：上述解答忽略了空集是任何集合的子集这一结论，即 B= 时，符合题设 正解：当 B 时，即 p12p1 p2.由 B A 得：2p1 且 2p15.由3p3. 2p3当 B= 时，即 p12p1 p2.由、得：p3.点评：从以上解答应看到：解决有关 AB= 、AB= ，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题例 5 已知集合 A=a,ab,a2b，B=a,ac,ac 2若 A=B，求 c 的值分析：要解决 c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式
9、 解：分两种情况进行讨论 （1）若 ab=ac 且 a2b=ac 2，消去 b 得：aac 22ac=0，a=0 时，集合 B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故 a0c 22c1=0，即 c=1，但 c=1 时，B 中的三元素又相同，此时无解（2）若 ab=ac 2且 a2b=ac，消去 b 得：2ac 2aca=0，a0，2c 2c1=0，即(c1)(2c1)=0，又 c1，故 c= 1点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.例 6 设 A 是实数集，满足若 aA，则 A， 且 1A.a若 2A，则 A 中至少还有几个元素？求出这几个元素.A 能否
10、为单元素集合？请说明理由.若 aA，证明：1 A.a求证：集合 A 中至少含有三个不同的元素.解：2A 1A A 2A21 A 中至少还有两个元素：1 和如果 A 为单元素集合，则 a 1即 02a该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集aA A A A，即 1 A1a1a由知 aA 时， A， 1 A .现在证明 a,1 , 三数互不相等.若 a=aa1,即 a2-a+1=0 ，方程无解，aa1a若 a=1 ，即 a2-a+1=0，方程无解a1 若 1 = ，即 a2-a+1=0，方程无解1 .1a综上所述，集合 A 中至少有三个不同的元素.点评：的证明中要说明三个数互不相等，否
11、则证明欠严谨.例 7 设集合 A= | = , N +，集合 B= | = , N +，试证：A Ba12nb542k证明：任设 A， 则 = =( 2) 24( 2)5 ( N +),12n nN*， n2N* aB 故 显然，1 ，而由*2,1|NnaAB= | = , N += | = ， N +知 1B，于是 AB b542kb1)2(kk由、 得 A B点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义四、典型习题1集合 A=x|x23x100，xZ，B=x|2x 2x60， x Z，则 AB 的非空真子集的个数为（）
12、A16 B14 C15 D322数集1，2，x 23中的 x 不能取的数值的集合是（）A2，-2 B2， C2， D ， 5553. 若 P=y|y=x2,xR，Q=y|y=x 21,xR，则 PQ 等于（ ）APBQ C D不知道4. 若 P=y|y=x2,xR，Q=(x，y)|y=x 2,xR，则必有（ ）APQ= BP Q CP=Q DP Q5若集合 M ，N | ，则 M N （ ）1|xx2A B10|xC D0| 6.已知集合 A=x|x2(m2)x1=0,xR，若 AR = ，则实数 m 的取值范围是_7.（06 高考全国 II 卷）设 ，函数 若 的解集为 A，aR2().fx
13、a()0fx，求实数 的取值范围。|13,BxAB8.已知集合 A= 和 B= 满足012|2bx|2bxAB= ，A B= ，I=R，求实数 a,b 的值.ICI41.2常用逻辑用语一、知识导学1逻辑联结词：“且”、“或”、 “非”分别用符号“ ”“ ”“ ”表示.2命题：能够判断真假的陈述句 3简单命题：不含逻辑联结词的命题4复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p 或 q；p 且 q；非 p5四种命题的构成：原命题：若 p 则 q； 逆命题：若 q 则 p；否命题：若 p 则 q ；逆否命题：若q 则 p.6原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若 p 则
14、q” “若 q 则 p ” .7反证法：欲证“若 p 则 q”，从“非 q”出发，导出矛盾，从而知“若 p 则非 q”为假，即“若 p 则 q”为真 . 8充分条件与必要条件 ：p q ：p 是 q 的充分条件；q 是 p 的必要条件； p q ：p 是 q 的充要条件 . 9常用的全称量词：“对所有的” 、 “ 对任意一个” “ 对一切” “ 对每一个” “任给”等；并用符号“ ” 表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.10常用的存在量词：“存在一个” 、 “至少有一个” 、 “有些” 、 “有一个” 、 “有的” 、 “对某个” ； 并用符号“ ”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.二、疑难知识1基本题型及其方法 （1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；（2）给 定 两 个 简
