高中数学方法讲解之反证法

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1、第 1 页 共 10 页反证法从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法。它是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律” 。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律” ；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A 或者非 A”，这

2、就是逻辑思维中的“排中律” 。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律” ，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律” ，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定推理否定” 。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定” 。应用反证法第 2 页 共 10 页证明的主

3、要三步是：否定结论 推导出矛盾 结论成立。实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法” ；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法” 。在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一” 。一般来讲，反证法常用

4、来证明的题型有：命题的结论以“否定形式” 、 “至少”或“至多” 、 “唯一” 、 “无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。例 1.05.北京 设 是定义在 上的函数，若存在 使得()fx0,1(0,1)x在 上单调递增，在 上单调递减，则称 为 上的()fx0, )f单峰函数， 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间。x对任意的 上单峰函数 ，下面研究缩短其含峰区间长度的,1()fx方法。求证：对任意的 若 ，则 为含1212,0,12()fxf2(0,)x第 3 页 共 10 页峰区

5、间；若 则 为含峰区间；12(),fxf1(,)x【巧证】：设 为 的峰点，则由单峰函数定义可知 在 ,()fx上单调递增，0,x在 上单调递减。,1当 时，假设 ，则 从而2()fxf2(0,)x12,x1 ,这与 矛盾，所以 ，即 是含峰区间。2()fxf 2(,)x2(0,)x当 时，假设 ，则 ，从而1112()(),fxffx这与 矛盾，所以 ，即 是含峰区间。1 1(,)x1(,)x例 2. 求证：函数 f(x)=sinx 的最小正周期是 2【巧证】：由诱导公式知，对任意 xR，有sin(x2)=sinx，即 2 是函数 sinx 的一个周期下面再用反证法证明 2 是sinx 的最

6、小正周期，假设还有一个正数 T 也是 sinx 的周期，且 0T2，则对任意 xR 都有sin(xT)=sinx特别地，对 x=0，有 sinT=sin0=0，而在(0，2)中，只有 T= 才使 sinT=0，但 不是 sinx 的周期，故 sinx 的最小正周期是 2注：若直接证明比较困难，因适合 0T2 的正数有无第 4 页 共 10 页穷多个，我们无法直接验证当“反设”中断言某些性质对于变量的一切值都成立时，显然对变量的一些特殊值也成立，故常赋予特殊值，便可得到一些等式或不等式，从而推得矛盾，反证原命题 例 3 xyxy221y若 、 都 是 正 数 ， 且 ， 求 证 ： 和 中 至少

7、 有 一 个 成 立 xy证 明 ： 如 果 和 都 不 成 立 ， 则 有 和 同 时 成 立 ， 因 为 、 均 为 正 数 ， 故 必 有12 2xyxx1x2y，且 1y2x两式相加，得 2(xy)2(xy)，即 2xy，这与已知矛盾，故1x2y 和 中 至 少 有 一 个 成 立 注：“集合 M 中至少有一个元素 m 不具有性质 a”的否定是“集合 M 中所有元素都具有性质 a”反之亦对因为“集合 M 中至少有一个元素不具有性质 a”，它包含了“M 中有一个元素不具有性质 a、两个元素不具有性质 a所有元素都不具有性质 a”等各种情形因此它的否定是“M 中所有元素都具有性质 a”如“

8、三角形中至少有一个内角大于或等于60”的否定是“三角形中所有内角都小于 60”注意“都不是”的否定不是“都是” ，而是“不都是” ，也即“至少有一个是” 如“a、b 都不是零”的否定是“a，b 中至少有一个是零” 第 5 页 共 10 页例 4 ABCsinAsinBsin在 已 知 锐 角 中 ， ， 求 证 ： ， ， 且 32232证 明 ： 结 论 的 否 定 是 ， 或 ， 或 sinsinBsinC32232若 ， 因 是 锐 角 三 角 形 ，sinABC32CBA60ABC180，这不可能 sinA32同 理 可 证 ， iBsinC32注 ： 这 里 最 容 易 出 现 的

9、错 误 是 把 对 结 论 的 否 定 说 成 “若 ，sinA32sinBsinCx ， ” 注 意 且 的 否 定 是 或 ” 例 如 23或 ， 即 的 否 定 是 ， 即 且 xABxABxB例 5. 88.全国理给定实数 a，a0 且 a1，设函数 y xa1(其中 xR 且 x )，证明：.经过这个函数图像上任意两个不同1a点的直线不平行于 x 轴； .这个函数的图像关于直线 yx 成轴对称图像。 。【分析】 “不平行”的否定是“平行” ，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设。第 6 页 共 10 页【巧证】： 设 M (x ,y )、M (x ,y )是函数图像上任意两个1122不

10、同的点，则 x x ,12假设直线 M M 平行于 x 轴，则必有 y y ，即 ，12xa121整理得 a(x x )x x1212x x a1， 这与已知“a1”矛盾， 因此假设不对，即直线 M M 不平行于 x 轴。12 由 y 得 axyyx1,即(ay1)xy1,所以 xxa，ya1即原函数 y 的反函数为 y ，图像一致。xa1xa1由互为反函数的两个图像关于直线 yx 对称可以得到，函数 y的图像关于直线 yx 成轴对称图像。xa1【注】对于“不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知 a1 互相矛盾。第问中，对称问题

11、使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质运用熟练。例 6、已知 a + b + c 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求证：a, b, c 0 【巧证】：设 a 0, bc 0, 则 b + c = a 0ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0 矛盾， 必有 a 0第 7 页 共 10 页同理可证：b 0, c 0例 7. 求证：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个平面也相交【巧证】：如图 1-8-6，设平面 直线AB=A，下面用反证法证明 AB 与 相交假设 AB 与 不相交，则必须考虑两种情形：(1)若 AB，过 A

12、B 作平面 ，使 =CD，则ABCDAB=A，A，且 A，设 =AB又 ，ABCD，于是在平面 内过 A 点有两条直线 AB 与 AB分别平行于直线 CD，这和平行公理矛盾AB不能平行于平面 (2)AB=A若 ， ， 则 ， 且 ， 于 是 与 相交于过点 A 的一条直线，但与已知 矛盾，AB 不在 内由(1)、(2)可知，直线 AB 与平面 相交注：用反证法证题时，如果欲证命题的反面只有一种情况，那么只要将这种情况驳倒即可，这种反证法又叫归谬法；如果结论的反面不仅有一种情况，就必须把所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫穷举法第 8 页 共 10 页巧练一：1. 已知函数

13、f(x)在其定义域内是减函数，则方程 f(x)0 _。A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根2. 已知 aab ab B. ab aba C. aba ab D. ab 22 2ab a23. 已知 l，a ，b ，若 a、b 为异面直线，则_。A. a、b 都与 l 相交 B. a、b 中至少一条与l 相交C. a、b 中至多有一条与 l 相交 D. a、b 都与 l 相交4. 四面体顶点和各棱的中点共 10 个，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法有_。(97 年全国理)A. 150 种 B. 147 种 C. 144 种 D. 141 种十三、反证法巧练一：【巧解

14、】：1 小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选 A；2 小题：采用“特殊值法” ，取 a1、b0.5，选 D；3 小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选 B；第 9 页 共 10 页4 小题：分析清楚结论的几种情况，列式是：C C 436,1046选 D。巧练二：设 0 , (1 b)c , (1 41c)a ,41则三式相乘：ab (1 a)b(1 b)c(1 c)a 6又0 a, b, c 1 412)1()(0aa同理： , 4)(b41)(c以上三式相乘： (1 a)a(1 b)b(1 c)c 641与矛盾原式成立巧练三：若下列方程：x 4ax4a30， x (a1)2 2xa 0, x 2ax2a0 至少有一个方程有实根。试求实数 a 的22取值范围。巧练三：【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。先求出反面情况时 a 的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。【巧解】： 设三个方程均无实根，则有：第 10 页 共 10 页,解得 ,即 a1。 12226430a()3210a或 32所以当 a1 或