《2018年高考数学二轮复习 专题19 排列、组合、二项式定理教学案 理》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2018年高考数学二轮复习 专题19 排列、组合、二项式定理教学案 理(19页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、专题19 排列、组合、二项式定理 1.排列、组合与二项式定理每年交替考查,主要以选择、填空的形式出现,试题难度中等或偏易.2.排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性,常与实际相结合,转化为基本的排列组合模型解决问题,需用到分类讨论思想,转化思想.3.与二项式定理有关的问题比较简单,但非二项问题也是今后高考的一个热点,解决此类问题的策略是转化思想. 1两个重要公式(1)排列数公式An(n1)(n2)(nm1)(n,mN*,且mn)(2)组合数公式C(n,mN*,且mn)2三个重要性质和定理(1)组合数性质C(n,mN*,且mn);C(n,mN*,且mn);C1.(2)二项式定理(ab)nCanC
2、an1b1Can2b2CankbkCbn,其中通项Tr1Canrbr.(3)二项式系数的性质CC,CC,CC;CCCC2n;CCCCCC2n1. 考点一 排列与组合例1【2017课标II,理6】安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A12种 B18种 C24种 D36种【答案】D 【变式探究】【2016年高考四川理数】用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为(A)24 (B)48 (C)60 (D)72【答案】D【解析】由题意,要组成没有重复数字的五位奇数,则个位数应该为1或3或5,其他位置共有种排法,所以奇数的个
3、数为,故选D.【变式探究】(2015四川,6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( )A144个 B120个C96个 D72个解析 由题意,首位数字只能是4,5,若万位是5,则有3A72个;若万位是4,则有2A个48个,故40 000大的偶数共有7248120个选B.答案 B考点二 排列组合中的创新问题例2用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1a)(1b)的展开式1abab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来依此
4、类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )A(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5B(1a5)(1bb2b3b4b5)(1c)5C(1a)5(1bb2b3b4b5)(1c5)D(1a5)(1b)5(1cc2c3c4c5)解析 分三步:第一步,5个无区别的红球可能取出0个,1个,5个,则有(1aa2a3a4a5)种不同的取法;第二步,5个无区别的蓝球都取出或都不取出,则有(1b5)种不同取法;第三步,5个有区别的黑球看作5个不同色,从5个不同色的黑球中任取0个,1个,5个,有(1
5、c)5种不同的取法,所以所求的取法种数为(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5,故选A. 答案 A【变式探究】设集合A(x1,x2,x3,x4,x5)|xi1,0,1,i1,2,3,4,5,那么集合A中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为( )A60 B90 C120 D130 答案 D考点三 二项展开式中项的系数例3【2016年高考北京理数】在的展开式中,的系数为_.(用数字作答)【答案】60.【解析】根据二项展开的通项公式可知,的系数为。 【变式探究】(2015新课标全国,10)(x2xy)5的展开式中,x5y2的系数为( )A10 B20C30 D60解析
6、Tk1C(x2x)5kyk,k2.C(x2x)3y2的第r1项为CCx2(3r)xry2,2(3r)r5,解得r1,x5y2的系数为CC30.答案 C考点四 二项展开式中的常数项例4【2016年高考四川理数】设i为虚数单位,则的展开式中含x4的项为(A)15x4 (B)15x4 (C)20i x4 (D)20i x4【答案】A【解析】二项式展开的通项,令,得,则展开式中含的项为,故选A. 【变式探究】(2015湖南,6)已知的展开式中含x的项的系数为30,则a( )A. B C6 D6解析 的展开式通项Tr1Cx(1)rarx(1)rarCxr,令r,则r1,T2aCx,aC30,a6,故选D
7、.答案 D考点五 二项式定理的综合应用例5【2017课标1,理6】展开式中的系数为A15B20C30D35【答案】C 【变式探究】【2016高考山东理数】若(ax2+)5的展开式中x5的系数是80,则实数a=_.【答案】2【解析】因为,所以由,因此 【变式探究】(2015陕西,4)二项式(x1)n(nN)的展开式中x2的系数为15,则n( )A4 B5C6 D7解析 由题意易得:C15,CC15,即15,解得n6.答案 C 1.【2017课标1,理6】展开式中的系数为A15B20C30D35【答案】C【解析】因为,则展开式中含的项为,展开式中含的项为,故前系数为,选C.2.【2017课标II,
8、理6】安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A12种 B18种 C24种 D36种【答案】D 3.【2017天津,理14】用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有_个.(用数字作答)【答案】 1080【解析】 4.【2017山东,理11】已知的展开式中含有项的系数是,则 .【答案】4【解析】由二项式定理的通项公式,令得:,解得1.【2016高考新课标2理数】如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最
9、短路径条数为( ) (A)24 (B)18 (C)12 (D)9【答案】B【解析】由题意,小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为6,再从F处到G处最短路径的条数为3,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为,故选B.2.【2016年高考四川理数】设i为虚数单位,则的展开式中含x4的项为(A)15x4 (B)15x4 (C)20i x4 (D)20i x4【答案】A【解析】二项式展开的通项,令,得,则展开式中含的项为,故选A.3.【2016年高考四川理数】用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为(A)24 (B)48 (C)60 (D)72【答案】D 4.【2016
10、高考新课标3理数】定义“规范01数列”如下:共有项,其中项为0,项为1,且对任意,中0的个数不少于1的个数.若,则不同的“规范01数列”共有( )(A)18个 (B)16个 (C)14个 (D)12个【答案】C【解析】由题意,得必有,则具体的排法列表如下:000011111011101101001110110100110100011101101001105.【2016年高考北京理数】在的展开式中,的系数为_.(用数字作答)【答案】60.【解析】根据二项展开的通项公式可知,的系数为。6.【2016高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是 .(用数字填写答案)【答案】10 7.【2016高考天津理
11、数】的展开式中x2的系数为_.(用数字作答)【答案】56【解析】展开式通项为,令,所以的故答案为56 8.【2016高考山东理数】若(ax2+)5的展开式中x5的系数是80,则实数a=_.【答案】2【解析】因为,所以由,因此9.【2016高考江苏卷】(本小题满分10分)(1)求 的值;(2)设m,nN*,nm,求证: (m+1)+(m+2)+(m+3)+n+(n+1)=(m+1).【答案】(1)0(2)详见解析 1(2015广东,12)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了_条毕业留言(用数字作答)解析 依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选
12、两人的排列数,所以全班共写了A40391 560条毕业留言答案 1 5602(2015北京,9)在(2x)5的展开式中,x3的系数为_(用数字作答)解析 展开式通项为:Tr1C25rxr,当r3时,系数为C25340.答案 403(2015天津,12)在的展开式中,x2的系数为_解析 的展开式的通项Tr1Cx6rCx62r;当62r2时,r2,所以x2的系数为C.答案 1. 【2014高考广东卷理第8题】设集合,那么集合中满足条件“”的元素个数为( ) A. B. C. D.【答案】D 【考点定位】计数原理 2. 【2014高考湖北卷理第2题】若二项式的展开式中的系数是84,则实数( )A.2 B. C. 1 D. 【答案】C【解析】因为,令,得,所以,解得,故选C.【考点定位】二项式定理的通项公式3. 【2014高考湖南卷第4题】的展开式中的系数是( )A. B. C.5 D.20【答案】A【解析】根据二项式定理可得第项展开式为,则时, ,所以的系数为,故选A.【考点定位】二项式定理4. 【2014大纲高考理第5题】有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )A6