专题36 数系的扩充与复数的引入【标题01】复数虚部的概念理解错误【习题01】已知复数满足， 是虚数单位，则复数的虚部为 .【经典错解】由题得，所以复数的虚部为.【详细正解】由题得，所以复数的虚部为.【深度剖析】（1）经典错解错在复数虚部的概念理解错误.（2）复数 的虚部是,而不是.【习题01针对训练】设是虚数单位，复数的虚部为（ ）A． B． C． D． 【标题02】共轭复数概念理解错误【习题02】的共轭复数是 （ ）A． B． C． D． 【经典错解】∵ ∴的共轭复数是,所以选择.【详细正解】∵ ∴的共轭复数是.所以选.【习题02针对训练】复数的共轭复数为 ( )．A．－ B. C．－ D．【标题03】对复数中实数的概念理解错了【习题03】已知复数，,且是实数，则实数（ ）A． B． C． D．【经典错解】 所以选择. 【详细正解】【习题03针对训练】已知为虚数单位，，如果复数是实数，则的值为（ ）A. B. 2 C. D. 【标题04】错在【习题04】复数= （ ）A． B． C． D．【经典错解】∵所以选择.【详细正解】解法1： 所以选择.解法2：故选.【深度剖析】（1）经典错解错在，实际上，是以为周期的函数.【习题04针对训练】复数且，对应的点在第一象限，若复数，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数的值．【标题05】纯虚数概念理解错误【习题05】若,,且为纯虚数，则实数的值为___________.【经典错解】∵,,∴ 又∵为纯虚数.∴ ∴ .∴填.【详细正解∵,,∴∵为纯虚数，∴ 解得.∴填.【习题05针对训练】取何实数时，复数＋.(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．【标题06】对复数的概念和运算法则理解不到位【习题06】下列命题中（1）两个复数不能比较大小；（2）若，则当且仅当时，为纯虚数；（3）；（4）;（5）若实数与对应，则实数集与纯虚集一一对应.其中正确的命题的个数是 （ ）A．0 B．1 C．2 D．3【经典错解】(1)错误，因为两个复数是实数时，可以比较大小.（2）正确. (3)正确.（4）正确.（5）错误，若不再是纯虚数.所以选.所以选择.【详细正解】(1)错误，因为两个复数是实数时，可以比较大小.（2）错误，因为已知并没有说，所以时，.(3)错误，只有当时命题才成立，如：时满足条件，但是结论不成立.（4）错误，只有当时才成立，否则命题不一定成立.（5）错误，若不再是纯虚数.所以选.【习题06针对训练】在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个复数 ，当且仅当，下面命题①1i0;②若，，则；③若，则对于任意，；④对于复数，则其中真命题是 【标题07】虚数概念的理解不准确【习题07】设为虚数单位，若复数是虚数，则实数满足( )A. B. C. D. 【经典错解】由题得，所以选择.【详细正解】由题得，所以选择.【习题07针对训练】已知，复数＋，当为何值时．(1)；(2)是虚数；(3) 是纯虚数．【标题08】审题错误【习题08】已知为共轭复数，且，求和.【经典错解】由题得因为两个方程都没有实数解，所以没有解.【详细正解】设, ()，代入原式得所以所求的复数为,或，或，或,.【深度剖析】（1）经典错解错在审题错误. （2）错解以为,直接利用了复数相等的概念，导致错误.【习题08针对训练】已知复数，求实数，使.【标题09】复数和它对应的点的关系没有弄清错在第一象限点的特征没有弄清【习题09】已知是复数，,均为实数（为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一象限.求实数的取值范围.【经典错解】设(),∵ 由题意得 .∵ 由题意得,∴ .∵ ∵在复平面上的点在第一象限，∴解得.∴实数的取值范围是.【详细正解】设(),∵ 由题意得 .∵ 由题意得,∴ .∵ ∵在复平面上的点在第一象限，∴解得.∴实数的取值范围是.【习题09针对训练】设复数同时满足下列条件：(1)复数在复平面内对应的点位于第二象限；(2) ()，试求 的取值范围．【标题10】把复数的运算法则和实数的运算法则完全等同起来了【习题10】复数的值是 （ ） A． B． C． D． 【经典错解】∵，所以选.【详细正解】原式= （令 ）所以选.【习题10针对训练】式子的化简结果是 （ ）A. B. C. D.无意义【标题11】不能理解题意导致错误【习题11】设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，（ ）A.2 B.4 C.6 D.8【经典错解】 【详细正解】表示满足的最小正整数，满足的最小整数为，所以选.【深度剖析】（1）经典错解错在不能理解题意导致错误.（2）对于某些习题已知条件比较抽象的习题，我们可以通过举实例来帮助理解题意，再解答.【习题11针对训练】复数()的模为 ( )．A． B． C． D．【标题12】理解错误【习题12】满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是 （ ）A．一条直线 B．两条直线 C．圆 D．椭圆【经典错解】由|知在复平面上对应的图形是点和的垂直平分线.所以选.【详细正解】设（)代入中计算得即. ∴ 的轨迹是表示以为圆心，以为半径的圆，所以选 .【习题12针对训练】若复数满足，求复数对应的点的轨迹.【标题13】审题不严谨【习题13】已知满足，求的值.【经典错解】根据复数相等的概念得【详细正解】当为实数时，根据复数相等的概念得.当为虚数时，设,则【深度剖析】（1）经典错解错在审题不严谨. （2）误认为是一个实数，实际上是一个复数，所以要分类讨论.【习题13针对训练】已知是关于的方程的一个根，求实数的值．【标题14】把复数范围内的一元二次方程和实数范围内的一元二次方程完全等同起来【习题14】方程有实数解，求的值.【经典错解】由题得【详细正解】因为方程有实数解，所以设（），所以 【习题14针对训练】关于的方程有实数根，则实数的值为______．【标题15】对的几何意义理解错误【习题15】若，且,则的最小值是_________.【经典错解】由得复数对应的点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，表示圆上的点为的距离，数形结合分析得最小值为.【详细正解】由得复数对应的点的轨迹是以为圆心，以 为半径的圆，表示圆上的点为的距离，数形结合分析得最小值为.【深度剖析】（1）经典错解错在对的几何意义理解错误.(2)设, 所以，所以它表示复数对应的点的轨迹是以为圆心，以 为半径的圆，后面也犯了同样的错误.所以要明白表示复数对应的点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，不是以为圆心.【习题15针对训练】已知复数满足，求的最大值与最小值．【标题16】审题不认真误认为是一个实数【习题16】若,则关于的一元二次方程的解集为 .【经典错解】由题得，所以原方程没有实数解.所以解集为.【习题16针对训练】设是虚数单位，复数为方程的一个根，则=________.【标题17】没有经过严格推理只是根据感觉【习题17】设是复数, 则下列命题中的假命题是（ ） A. 若, 则 B. 若, 则C. 若, 则 D. 若, 则 【经典错解】感觉是对的，所以选.【习题17针对训练】设复数，下列四个命题①复数，当时，为纯虚数；②若，那么；③如果，那么；④为实数，且．以上命题中，正确命题的个数为（ ） A．0个B．1个C．2个D．3个【标题18】给出下列四个命题：①若，则；②的虚部是；③若；④若,复数，则.其中正确命题的个数为（ ）A．0 B.1 C.2 D.3【经典错解】①是错误的，因为；②是错误的，因为的虚部是2；③是错误的，因为都是虚数，不能比较大小；④是错误的，因为复数不能比较大小.故选A.【详细正解】①是错误的，因为；②是错误的，因为的虚部是2；③是错误的，因为都是虚数，不能比较大小；④是正确的，因为，所以是一个实数，所以.故选B.【习题18针对训练】给出下列五个命题：①两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件；②两个共轭虚数的差为纯虚数；③复数与它的模相等的充要条件是为正实数；④若,复数是实数，则，则.⑤若复数满足.其中正确命题的个数为（ ）A．0 B.1 C.2 D.3 高中数学经典错题深度剖析及针对训练第36讲：数系的扩充与复数的引入参考答案【习题01针对训练答案】 【习题01针对训练解析】因为，所以，复数的虚部为，所以选.【习题02针对训练答案】【习题02针对训练解析】 ，其共轭复数为.【习题03针对训练答案】 【习题03针对训练解析】是实数，则，故，选.【习题04针对训练答案】，.【习题04针对训练解析】 ＝. (由，得，∵复数，，对应的点构成正三角形，∴.把代入化简得.又∵点在第一象限，∴.由①②得 故所求值为，.【习题05针对训练答案】（1）当时；（2）当且时；（3）当或时.【习题05针对训练解析】(1)当即时，∴当时， 是实数．(2)当即时，∴当且时，是虚数．(3)当即时，∴当或时，是纯虚数.【习题06针对训练答案】①②③【习题06针对训练解析】命题①， 的实部是,的实部是, ①正确；命题②，设，由已知得或，或，显然有，若，则，若，则，，也有，故②正确；命题③，设，由得或，从而或且，∴,③正确；命题4，，，，则有，但，，显然有，故④错误．填空①②③．【习题07针对训练答案】（1）＝－3；（2）且.（3）或.【习题07针对训练解析】(1)由，得解得＝－3.(2)由是虚数，得，且，解得且.(3)由是纯虚数，得,解得。