《（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 4.3 三角函数的图象与性质课件 理 新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 4.3 三角函数的图象与性质课件 理 新人教a版（89页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 三角函数的图象与性质 (全国卷5年11考),【知识梳理】 1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ),-1,1,-1,1,2,奇函数,偶函数,-+2k,2k,2k,+2k,2.周期函数 (1)前提:对于函数f(x),存在一个_T;当x 取定义域内每一个值时,都有_. (2)结论:周期:非零常数T;最小正周期:所有周期 中存在一个_.,非零常数,f(x+T)=f(x),最小的正数,【常用结论】 1.正弦函数与余弦函数图象的五个关键点 y=sin x,x0,2,y=cos x,x0,2的五个关键点是零点和极值点(最值点).,2.一个关注点 求函数y=Asin(x+)的单调区间时,应
2、注意的符号,只有当0时,才能把x+看作一个整体,代入y= sin t的相应单调区间求解,否则将出现错误.,3.求周期的三种方法 (1)利用周期函数的定义: f(x+T)=f(x). (2)利用公式:y=Asin(x+)和y=Acos(x+)的最 小正周期为 ,y=tan(x+)的最小正周期为 . (3)利用图象:图象重复的x轴上一段的长度.,【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)正切函数y=tan x在定义域内是增函数 ( ) (2)已知y=ksin x+1,xR,则y的最大值为k+1 ( ),(3)y=sin |x|是偶函数 ( ) (4)由 知,
3、 是正弦函数y=sin x(xR) 的一个周期 ( ),提示:根据三角函数的图象与性质知(1)(2)(4)是错误的,(3)是正确的. 答案:(1) (2) (3) (4),2.最小正周期为且图象关于直线x= 对称的函数 是 ( ),【解析】选B.由函数的最小正周期为,排除C:由函数 图象关于直线x= 对称知,该直线过函数图象的最高 点或最低点,对于B,因为 =1,所以选B.,3.若函数f(x)=2sin (0)的最小正周期为 , 则 的值为_.,【解析】因为函数f(x)=2sin (0)的最小正 周期为 , 所以 ,即=4, 所以f(x)=2sin , 所以 答案:0,4.函数f(x)=sin
4、 的单调递增区间是_. 【解析】令 kZ, 得k- x +k,kZ, 故函数f(x)的单调递增区间是 ,(kZ). 答案: ,(kZ),题组二:走进教材 1.(2017全国卷)函数f(x)= 的最小正周期 为 ( ) (源于必修4P35例2) A.4 B.2 C. D.,【解析】选C.由题意T= =.,2.(必修4P45T3改编)函数y=tan 2x的定义域是 ( ),【解析】选D.由2xk+ ,kZ,得x kZ,所以y=tan 2x的定义域为,3.(必修4P38例3改编)函数y=3-2cos 的最大值为 _,此时x=_.,【解析】函数y=3-2cos 的最大值为3+2=5,此时 x+ =+2
5、k,kZ,即x= +2k(kZ). 答案:5 +2k(kZ),考点一 求三角函数的定义域、值域(最值)问题 【题组练透】 1.函数y=lg sin x+ 的定义域为_.,【解析】要使函数有意义,则有 即 解得 所以2kx +2k,kZ.,所以函数的定义域为 答案:,2.函数f(x)=2sin (0x9)的最大值与最小值之和为_.,【解析】因为0x9,所以 即 所以 故f(x)的最大值为2,最小值为- ,它们的和为2- . 答案:2-,3.函数f(x)=1-3sin 的值域为_. 【解析】因为-1sin 1, 所以-3-3sin 3, 所以-21-3sin 4, 所以函数f(x)=1-3sin
6、的值域为-2,4. 答案:-2,4,4.(2017全国卷)函数f(x)=sin2x+ cos x- 的最大值是_.,【解析】f(x)=1-cos2x+ cos x- =-cos2x+ cos x + = 因为x ,所以cos x0,1, 所以当cos x= 时,函数取得最大值为1. 答案:1,【规律方法】三角函数定义域、值域(最值)的求法 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解.,(2)求三角函数的值域(最值)的三种类型及解法思路: 形如y=asin x+bcos x+c的三角函数化为y=Asin(x +)+k的形式,再求值域(最值); 形如y
7、=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值);,形如y=asin xcos x+b(sin xcos x)+c的三角函数,可先设t=sin xcos x,化为关于t的二次函数求值域(最值).,考点二 三角函数的单调性 【典例】(1)若f(x)=2sin x(0)在区间 上是增函数,则的取值范围是_. (2)已知函数f(x)=-4sin -1,g(x)=f 且 lg g(x)0,求g(x)的单调区间.,【解析】(1)因为x (0), 所以x , 因为f(x)=2sin x在 上是增函数,所以 答案:,【一题多解微课】 【一题多解】本例(1)
8、还可以采用以下方法: (数形结合法)画出函数f(x)=2sin x(0)的图象如图所示.,要使f(x)在 上是增函数, 答案:,(子集法)由- +2kx +2k(kZ)得 故f(x)的单调递增区间是 (kZ), 由题意 (kZ,0),从而有 答案:,(2)由题意得,g(x)= =4sin -1, 又由lg g(x)0,得g(x)1, 所以4sin -11,所以 所以 其中当 时,g(x)单调递增,即kxk+ ,kZ, 所以g(x)的单调递增区间为 ,kZ. 又因为当 kZ时, g(x)单调递减,即 kZ. 所以g(x)的单调递减区间为 kZ.,【误区警示】解答本例(2),容易忽视lg g(x)
9、0中对x取值范围的限制而导致单调区间求错.,【互动探究】 若本例(2)的条件改为g(x)= 求g(x)的单调递增区间.,【解析】g(x)= 欲求函数g(x)的单调递增区间, 只需求y=cos 的单调递减区间. 由2k2x- 2k+,kZ, 得k+ xk+ ,kZ.,故函数的单调递增区间为 (kZ). 因为x , 所以函数g(x)的单调递增区间是,【规律方法】 1.求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法:就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t),利用复合函数的单调性列不等式求解.,(2)图象法:画出三角函数的正、余弦曲线,结合图象求它的单调区间.,2.已知三角函数的单
10、调区间求参数的取值范围的三种方法 (1)子集法:求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式(组)求解.,(2)反子集法:由所给区间求出整体角的范围,由该范围 是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等 式(组)求解. (3)周期法:由所给区间的两个端点到其相应对称中心 的距离不超过 周期列不等式(组)求解.,提醒:要注意求函数y=Asin(x+)的单调区间时的符号,若0,那么一定先借助诱导公式将化为正数,同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域.,【对点训练】 1.(2018合肥模拟)已知函数f(x)=2sin(x+), (0,0), =0且f(x)在(0,)上 单调.下列
11、说法正确的是 ( ),A.= B. C.函数f(x)在 上单调递增 D.函数y=f(x)的图象关于点 对称,【解析】选C.由题意得函数f(x)的最小正周期为T= , 因为f(x)在(0,)上单调, 所以 ,解得01. 因为 所以,所以f(x)=2sin . 对于选项A,显然不正确.对于选项B, 故B不正确. 对于选项C,当-x- 时,0 所以函数f(x)在 上单调递增,故C正确.,对于选项D, 0,所以点 不是函数f(x)图象的对称中心,故D不正确.,2.已知函数f(x)=2sin ,设 c=f ,则a,b,c的大小关系是_.,【解析】f(x)= a= b= c= 因为y=sin x在 上单调
12、递增,且,所以 即cab. 答案:cab,考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性 【明考点知考法】 三角函数的奇偶性、周期性及对称性,是三角函数非常重要的性质,很多题型都是在考查其一个或多个性质.试题常以选择题、填空题形式出现,有时也以解答题的形式出现.,命题角度1 三角函数的周期性 【典例】(2018佛山模拟)函数y= 的最小正周期和振幅分别是 ( ) A., B.,2 C.2,1 D.2,【解析】选B.y= 所以T= =,振幅为2.,【状元笔记】 周期的计算方法: 利用函数y=Asin(x+),y=Acos(x+)(0)的周 期为 ,函数y=Atan(x+)(0)的周期为 求解.,命题角
13、度2 三角函数的奇偶性 【典例】将函数y=sin(2x+)的图象沿x轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取 值为 ( ) A. B. C.0 D.-,【解析】选B.将函数y=sin(2x+)的图象沿x轴向左平 移 个单位,得到函数y=sin =sin , 因为此时函数为偶函数, 所以 += +k,kZ, 即= +k,kZ,当k=0时,= .,【状元笔记】 奇偶性的判断方法: 三角函数中奇函数一般可化为y=Asin x或y=Atan x 的形式,而偶函数一般可化为y=Acos x+b的形式.,命题角度3 三角函数的图象及其对称性 【典例】函数f(x)=Asin(x+) 的图象
14、关于直线x= 对称,它的最小正周期为,则函 数f(x)图象的一个对称中心是 ( ),【解析】选B.由题意可得 =,所以=2,可得f(x)=Asin(2x+), 再由函数图象关于直线x= 对称, 故 =A,故可取=- . 故函数f(x)=Asin ,令2x- =k,kZ,可得x= ,kZ,故函数的对称中心为 kZ. 故函数f(x)图象的一个对称中心是 .,【状元笔记】 解决对称性问题的关键:熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心.,提醒:对于函数y=Asin(x+),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.,【对点练找规律】 1.函数y=(sin 2x-cos 2x)2的最小正周期是( ) A.2 B. C. D. 【解析】选C.由函数y=(sin 2x-cos 2x)2=sin22x+ cos22x-2sin 2xcos 2x=1-sin 4x,所以函数的最小
