《（浙江专用）2020届高考数学一轮复习 第九章 直线和圆的方程 9.3 点、线、圆的位置关系课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（浙江专用）2020届高考数学一轮复习 第九章 直线和圆的方程 9.3 点、线、圆的位置关系课件（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、9.3 点、线、圆的位置关系,高考数学 (浙江专用),考点 直线与圆、圆与圆的位置关系 (2019浙江,12,6分)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(- 2,-1),则m= ,r= .,A组 自主命题浙江卷题组,五年高考,答案 -2;,解析 本题考查直线与圆的位置关系,两条直线的垂直关系等知识点.通过圆的切线的性质考 查学生的直观想象能力,考查学生的数学运算的核心素养. 设直线2x-y+3=0为l,则ACl,又kl=2, kAC= =- ,解得m=-2,C(0,-2), r=|AC|= = .,一题多解 由题知点C到直线的距离为 , r=|AC
2、|= . 由直线与圆C相切得 = ,解得m=-2, r= = .,考点 直线与圆、圆与圆的位置关系,B组 统一命题、省（区、市）卷题组,1.(2018课标全国理,6,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则 ABP面积的取值范围是 ( ) A.2,6 B.4,8 C. ,3 D.2 ,3 ,答案 A 本题考查直线与圆的位置关系. 由圆(x-2)2+y2=2可得圆心坐标为(2,0),半径r= ,ABP的面积记为S,点P到直线AB的距离记为 d,则有S= |AB|d.易知|AB|=2 ,dmax= + =3 ,dmin= - = ,所以2S6,
3、故选A.,方法总结 与圆有关的最值问题的解题方法: (1)与圆有关的长度或距离的最值问题,一般利用圆的几何性质数形结合求解. (2)与圆上点(x,y)有关的代数式的最值的常见类型及解法.形如u= 的最值问题,可转化为 过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题;形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截 距的最值问题;形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.,2.(2016课标全国,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= ( ) A.- B.- C. D.2,答案 A 圆的方程可化为(
4、x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为 =1,解得a=- .故选A.,3.(2015课标,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|= ( ) A.2 B.8 C.4 D.10,答案 C 设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b= =-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1, -2),|PA|= =5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-22 ,则|MN|=|(-2+ 2 )-(-2-2 )|=4 .,4.(2015重庆,8,5分
5、)已知直线l:x+ay-1=0(aR)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作 圆C的一条切线,切点为B,则|AB|= ( ) A.2 B.4 C.6 D.2,答案 C 圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知 直线l过点C,所以2+a1-1=0,得a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|= = = 6.故选C.,5.(2015山东,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线 所在直线的斜率为 ( ) A.- 或-
6、 B.- 或- C.- 或- D.- 或-,答案 D 由题意可知反射光线所在直线过点(2,-3),设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2), 即kx-y-2k-3=0. 反射光线所在直线与圆相切, =1,解得k=- 或k=- .,评析 本题主要考查直线和圆的位置关系.,6.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且 M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是 ( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4),答案 D 当直线AB的斜率不存在,且00和kAB4(y00),即
7、r2. 另一方面,由AB的中点为M知B(6-x1,2y0-y1), 点B,A在抛物线上,(2y0-y1)2=4(6-x1),=4x1, 由得 -2y0y1+2 -12=0, =4 -4(2 -12)0, 12. r2=(3-5)2+ =4+ 16,r4. 综上,r(2,4),故选D.,7.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB 为直径的圆C与直线l交于另一点D.若 =0,则点A的横坐标为 .,答案 3,解析 本题考查直线与圆的位置关系. 设A(a,2a),a0,则C , 圆C的方程为 +(y-a)2= +a2, 由 得
8、 =(5-a,-2a) = +2a2-4a=0,a=3或a=-1,又a0,a=3,点A的横 坐标为3.,一题多解 由题意易得BAD=45. 设直线DB的倾斜角为,则tan =- , tanABO=-tan(-45)=3,kAB=-tanABO=-3. AB的方程为y=-3(x-5), 由 得xA=3.,8.(2016课标全国,16,5分)已知直线l:mx+y+3m- =0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l 的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2 ,则|CD|= .,答案 4,解析 由题意可知直线l过定点(-3, ),该定点在圆x2+y2=12上,不妨设点A(-3, ),由
9、于|AB|=2 ,r=2 ,所以圆心到直线AB的距离为d= =3,又由点到直线的距离公式可得d= =3,解得m=- ,所以直线l的斜率k=-m= ,即直线l的倾斜角为30.如图,过点C作CH BD,垂足为H,所以|CH|=2 ,在RtCHD中,HCD=30,所以|CD|= =4.,解后反思 涉及直线与圆的位置关系的问题要充分利用圆的性质,利用数形结合的思想方法求解.,9.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(mR)相 切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .,答案 (x-1)2+y2=2,解析 由mx-y-2m-1=0可得m
10、(x-2)=y+1,由mR知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2 m-1=0的距离的最大值为 = ,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.,10.(2019江苏,18,16分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上 有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要 求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均 圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为 AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米). (1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长; (2)
11、在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由; (3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.,解析 本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数 学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分. 解法一: (1)过A作AEBD,垂足为E. 由已知条件得,四边形ACDE为矩形, DE=BE=AC=6,AE=CD=8. 因为PBAB,所以cosPBD=sinABE= = . 所以PB= = =15. 因此道路PB的长为15(百米).,(2)不能,理由如下: 若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线
12、段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以 P选在D处不满足规划要求. 若Q在D处,连接AD,由(1)知AD= =10, 从而cosBAD= = 0,所以BAD为锐角. 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求.,综上,P和Q均不能选在D处. (3)先讨论点P的位置. 当OBP90时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求; 当OBP90时,对线段PB上任意一点F,OFOB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于 圆O的半径,点P符合规划要求.,设P1为l上一点,且P1BAB,由(1)知,P1B=15, 此时P1D
13、=P1BsinP1BD=P1BcosEBA=15 =9; 当OBP90时,在PP1B中,PBP1B=15. 由上可知,d15. 再讨论点Q的位置. 由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ= = =3 . 此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径. 综上,当PBAB,点Q位于点C右侧,且CQ=3 时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+ CQ=17+3 .,因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3 )百米. 解法二: (1)如图,过O作OHl,垂足为H. 以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系. 因为B
14、D=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.,因为AB为圆O的直径,AB=10, 所以圆O的方程为x2+y2=25. 从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为 . 因为PBAB,所以直线PB的斜率为- , 直线PB的方程为y=- x- . 所以P(-13,9),PB= =15. 因此道路PB的长为15(百米).,(2)若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=45,所以P选在D处不满足规划要求. 若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3), 所以线段AD:y=- x+6(-4x4). 在线段AD上取点M ,
15、因为OM= =5,所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求. 综上,P和Q均不能选在D处.,(3)先讨论点P的位置. 当OBP90时,在PP1B中,PBP1B=15. 由上可知,d15. 再讨论点Q的位置. 由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由 AQ= =15(a4),得a=4+3 , 所以Q(4+3 ,9). 此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.,综上,当P(-13,9),Q(4+3 ,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+3 -(-13)=17+3 . 因
16、此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3 )百米.,11.(2017课标全国文,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的 坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题: (1)能否出现ACBC的情况?说明理由; (2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.,解析 (1)不能出现ACBC的情况,理由如下: 设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2. 又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为 =- ,所以不能出现ACBC的情况. (2)BC的中点坐标为 ,可得BC的中垂线方程为y- =x2 . 由(1)可
