《（课标专用）2020届高考数学一轮复习 第六章 数列 6.4 数列求和、数列的综合应用课件 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（课标专用）2020届高考数学一轮复习 第六章 数列 6.4 数列求和、数列的综合应用课件 文（72页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.4 数列求和、数列的综合应用,高考文数 (课标专用),1.(2017课标全国,17,12分)设数列an满足a1+3a2+(2n-1)an=2n. (1)求an的通项公式; (2)求数列 的前n项和.,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,解析 (1)因为a1+3a2+(2n-1)an=2n, 故当n2时,a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1). 两式相减得(2n-1)an=2.所以an= (n2). 又由题设可得a1=2,适合上式, 从而an的通项公式为an= (nN*). (2)记 的前n项和为Sn. 由(1)知 = = - . 则Sn= - + - + - = .,思路分析 (
2、1)条件a1+3a2+(2n-1)an=2n的实质就是数列(2n-1)an的前n项和,故可利用an与 Sn的关系求解.(2)利用(1)的结果求得 的通项公式,然后用裂项相消法求和.,易错警示 (1)要注意n=1时,是否符合所求得的通项公式;(2)裂项相消后,注意留下了哪些项, 避免遗漏.,2.(2016课标全国,17,12分)等差数列an中,a3+a4=4,a5+a7=6. (1)求an的通项公式; (2)设bn=an,求数列bn的前10项和,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,2.6=2.,解析 (1)设数列an的公差为d, 由题意有 解得 (3分) 所以an的通项公式为an= .
3、(5分) (2)由(1)知,bn= . (6分) 当n=1,2,3时,1 2,bn=1; 当n=4,5时,2 3,bn=2;当n=6,7,8时,3 4,bn=3; 当n=9,10时,4 5,bn=4. (10分) 所以数列bn的前10项和为13+22+33+42=24. (12分),思路分析 (1)设等差数列an的公差为d,根据已知构造关于首项和公差的方程组,从而得通 项公式. (2)根据bn=an,列出数列bn的前10项,相加可得答案.,评析 本题考查了等差数列,同时对考生的创新能力进行了考查,充分理解x的意义是解题的 关键.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 数列求和,1.(201
4、8天津,18,13分)设an是等差数列,其前n项和为Sn(nN*);bn是等比数列,公比大于0,其 前n项和为Tn(nN*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6. (1)求Sn和Tn; (2)若Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.,解析 本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查数 列求和的基本方法和运算求解能力. (1)设等比数列bn的公比为q.由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0.因为q0,可得q=2,故bn=2n-1.所以Tn= =2n-1. 设等差数列an的公差为d.由b4=a3+a5,可
5、得a1+3d=4. 由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,从而a1=1,d=1,故an=n, 所以Sn= . (2)由(1),有T1+T2+Tn=(21+22+2n)-n= -n=2n+1-n-2. 由Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn可得 +2n+1-n-2=n+2n+1, 整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍)或n=4. 所以n的值为4.,2.(2017山东,19,12分)已知an是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3. (1)求数列an的通项公式; (2)bn为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求数列 的前n项和
6、Tn.,解析 (1)设an的公比为q, 由题意知:a1(1+q)=6, q=a1q2, 又an0,解得a1=2,q=2,所以an=2n. (2)由题意知:S2n+1= =(2n+1)bn+1, 又S2n+1=bnbn+1,bn+10,所以bn=2n+1. 令cn= ,则cn= . 因此Tn=c1+c2+cn= + + + + , 又 Tn= + + + + , 两式相减得 Tn= + - ,所以Tn=5- .,3.(2015安徽,18,12分)已知数列an是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8. (1)求数列an的通项公式; (2)设Sn为数列an的前n项和,bn= ,求数列bn的前
7、n项和Tn.,解析 (1)由题设知a1a4=a2a3=8, 又a1+a4=9,可解得 或 (舍去). 由a4=a1q3得公比为q=2,故an=a1qn-1=2n-1. (2)Sn= =2n-1,又bn= = = - , 所以Tn=b1+b2+bn= + + = - =1- .,评析 本题考查等比数列通项公式及等比数列性质,等比数列求和.,考点二 数列的综合应用 1.(2015福建,16,4分)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可 适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于 .,答案 9,解析 依题意有a,b是方程x
8、2-px+q=0的两根, 则a+b=p,ab=q, 由p0,q0可知a0,b0. 由题意可知ab=(-2)2=4=q,a-2=2b或b-2=2a, 将a-2=2b代入ab=4可解得a=4,b=1, 此时a+b=5,将b-2=2a代入ab=4可解得a=1,b=4, 此时a+b=5,则p=5,q=4,故p+q=9.,2.(2019天津,18,13分)设an是等差数列,bn是等比数列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3. (1)求an和bn的通项公式; (2)设数列cn满足cn= 求a1c1+a2c2+a2nc2n(nN*).,解析 本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公
9、式及其前n项和公式等基础知识.考查数 列求和的基本方法和运算求解能力,体现了数学运算素养. (1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q. 依题意,得 解得 故an=3+3(n-1)=3n,bn=33n-1=3n. 所以,an的通项公式为an=3n,bn的通项公式为bn=3n. (2)a1c1+a2c2+a2nc2n =(a1+a3+a5+a2n-1)+(a2b1+a4b2+a6b3+a2nbn) = +(631+1232+1833+6n3n) =3n2+6(131+232+n3n).,思路分析 (1)利用等差、等比数列的通项公式求出公差d,公比q即可.(2)利用cn的通项公式, 进
10、行分组求和,在计算差比数列时采用错位相减法求和. 解题关键 根据n的奇偶性得数列cn的通项公式,从而选择合适的求和方法是求解的关键.,3.(2018浙江,20,15分)已知等比数列an的公比q1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列 bn满足b1=1,数列(bn+1-bn)an的前n项和为2n2+n. (1)求q的值; (2)求数列bn的通项公式.,解析 本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,同时考查运算求解能力和 综合应用能力. (1)由a4+2是a3,a5的等差中项得a3+a5=2a4+4, 所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8. 由
11、a3+a5=20得8 =20, 解得q=2或q= ,因为q1,所以q=2. (2)设cn=(bn+1-bn)an,数列cn的前n项和为Sn. 由cn= 解得cn=4n-1. 由(1)可知an=2n-1,所以bn+1-bn=(4n-1) , 故bn-bn-1=(4n-5) ,n2, bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b3-b2)+(b2-b1),=(4n-5) +(4n-9) +7 +3. 设Tn=3+7 +11 +(4n-5) ,n2, Tn=3 +7 +(4n-9) +(4n-5) , 所以 Tn=3+4 +4 +4 -(4n-5) , 因此Tn=14-(4n+3)
12、,n2, 又b1=1,所以bn=15-(4n+3) .,易错警示 利用错位相减法求和时,要注意以下几点: (1)错位相减法求和,只适合于数列anbn,其中an为等差数列,bn为等比数列. (2)在等式两边所乘的数是等比数列bn的公比. (3)两式相减时,一定要错开一位.,4.(2017天津,18,13分)已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且 公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求an和bn的通项公式; (2)求数列a2nbn的前n项和(nN*).,解析 (1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知b
13、2+b3=12,得b1(q+q2)=12, 而b1=2,所以q2+q-6=0. 又因为q0,解得q=2. 所以,bn=2n. 由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8. 由S11=11b4,可得a1+5d=16, 联立, 解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2. 所以,an的通项公式为an=3n-2,bn的通项公式为bn=2n.,方法总结 (1)等差数列与等比数列中分别有五个量,a1,n,d(或q),an,Sn,一般可以“知三求二”, 通过列方程(组)求关键量a1和d(或q),问题可迎刃而解. (2)数列anbn,其中an是公差为d的等差数列,bn是公比q1的等比数列,求anbn的前n项
14、和 应采用错位相减法.,5.(2016四川,19,12分)已知数列an的首项为1,Sn为数列an的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q0,n N*. (1)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列an的通项公式; (2)设双曲线x2- =1的离心率为en,且e2=2,求 + + .,解析 (1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到an+2=qan+1,n1. 又由S2=qS1+1得到a2=qa1, 故an+1=qan对所有n1都成立. 所以,数列an是首项为1,公比为q的等比数列. 从而an=qn-1. 由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+
15、a2+a3, 所以a3=2a2,故q=2. 所以an=2n-1(nN*).,易错警示 (2)中求等比数列前n项和时要注意公比是q2.,C组 教师专用题组 考点一 数列求和,1.(2012课标全国,12,5分)数列an满足an+1+(-1)nan=2n-1,则an的前60项和为 ( ) A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830,答案 D 当n=2k,kN*时,a2k+1+a2k=4k-1, 当n=2k-1,kN*时,a2k-a2k-1=4k-3, a2k+1+a2k-1=2,a2k+1+a2k+3=2, a2k-1=a2k+3, a1=a5=a61. a1+a2+a3+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+(a60+a61)=3+7+11+(260-1)= =3061= 1 830.,2.(2019浙江,20,15分)设等差数列an的前n项和为Sn,a3=4,a4=S3.数列bn满足:对每个nN*,Sn+ bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列. (1)求数列an,bn的通项公式; (2)记cn= ,nN*,证明:c1+c2+cn2 ,nN*.,解析
