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1、1（1）双曲线的标准方程典型例题例 1讨论 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征9252kyx分析：由于 ， ，则 的取值范围为 ， ， ，分别进行讨论9k25k解：（1）当 时， ， ，所给方程表示椭圆，此时 ， ，09ka25kb92，这些椭圆有共同的焦点（4，0） ， （4，0） 1622bac（2）当 时， ， ，所给方程表示双曲线，此时， ， ，59kkk2k2，这些双曲线也有共同的焦点（4，0） ， ） （4，0） 22c（3）k25， ， 时，所给方程没有轨迹例 2 已知双曲线 的右焦点分别为 、 ，点 在双曲线上的左支上且 ，1692yx1F2P321PF求 21PF解：点 在双
2、曲线的左支上， ， ，21PF3622121F0221 ，04122bacF9021例 3 已知 、 是双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上且满足 ，求 的面积122yxP9021PF21PF解： 为双曲线 上的一个点且 、 为焦点 ,P1421F2 421a521c ，在 中，9021F21PRt02121FP ， ，62 1621P21PF 2121 SPF例 4 在 中， ，且 ，求点 的轨迹ABCABCsin21isn解：以 所在直线为 轴，线段 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系，则 ， xy01，B，C设 ，由 及正弦定理可得：yx， si21isn 2CB ， 点 在以 、 为焦点的
3、双曲线右支上设双曲线方程为：2BCABC012babyx，2 ， ， ， ， ， 所求双曲线方程为12a2c1ac4322acb 1342yx ， ， 点 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分0ACBxA5.在周长为 48 的直角三角形 中， ， ，求以 、 为焦点，MPN9043tanPMNN且过点 的双曲线方程解： 的周长为 48，且 ，t设 ， ，则 k3k4k5由 ，得 ， ，85412PN6M20N以 所在直线为 轴，以 的中点为原点建立直角坐标系，MNxMN设所求双曲线方程为 由 ，得 ， ， 12bya)0,(ba4M2a42a由 ，得 ， 由 ，得所求双曲线方程为 20c96
4、22ac 1962yx例 6 求下列动圆圆心 的轨迹方程： M（1）与 内切，且过点2yxC： 0，A（2）与 和 都外切121： 4122yxC：（3）与 外切，且与 内切932yx： 32：解：设动圆 的半径为 （1） 与 内切，点 在 外Mr1MAC ， ， ，点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的左支，且有：2rCACA， ， ， 双曲线方程为ac272acb 2172xyx（2） 与 、 都外切， ， ， M1 1rM2r12MC点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的上支，且有： ， ，2C1 a1c432acb所求的双曲线的方程为： 4342yxy（3） 与 外切，且与 内切， ， ，
5、M121rMC12r421MC3点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的右支，且有： ， ，M1C2 2a3c522acb所求双曲线方程为： 54xyx例 7 是双曲线 上一点， 、 是双曲线的两个焦点，且 ，求 的值P1362yx1F2 17PF2解：在双曲线 中， ， ，故 由 是双曲线上一点，得 428a6b0c 1621PF 或 又 ，得 12PF32 22cPF32PF说明：本题容易忽视 这一条件，而得出错误的结论 或 a1232例 8若椭圆 和双曲线 有相同的焦点 和 ，而 是这两条曲线12nymx)0(2tysx)0,(ts1F2P的一个交点，则 的值是() 21PFA B C Ds
6、s2smsm解：因为 在椭圆上，所以 又 在双曲线上，所以 21PPF21两式平方相减，得 ，故 选(A)(442sPF sF21例 9. 、 、 是我方三个炮兵阵地， 和 正东 6 千米， 在 正北偏西 30，相距 4 千米， 为敌炮阵地，ABCABCB某时刻 处发现敌炮阵地的某种信号，由于 、 两地比 距 地远，因此 后， 、 才同时发现这一信号，APsBC此信号的传播速度为 1 ， 若炮击 地，求炮击的方位角skm分析：点 到 、 距离相等，因此点 在线段 的垂直平分线上PP又 ，因此 在以 、 为焦点的双曲线的右支上4ABBA由交轨法可求 的坐标，进而求炮击的方位角解：如图，以直线 为 轴，线段 的中垂线为 轴建立坐标系，则 、 、 xy)0,3(B),(A)32,5(C因为 ，所以点 在线段 的垂直平分线上PCBBC因为 ， 中点 ，所以直线 3k)3,4(D)4(31xyD：又 ，故 在以 、 为焦点的双曲线右支上4AA4设 ，则双曲线方程为 ),(yxP1542yx)0(x联立、式，得 ， 所以 因此 83)3,8(P385PAk故炮击的方位角为北偏东 0
