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1、第4练平面向量明考情向量是高考的必考考点，难度不大，一般以选择、填空题的形式考查，也会与三角函数、解析几何知识交汇命题.知考向1.平面向量的线性运算.2.平面向量的数量积.3.平面向量的综合应用.考点一平面向量的线性运算要点重组(1)平面向量的线性运算：加法、减法、数乘.(2)共线向量定理.(3)平面向量基本定理.方法技巧(1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点.(2)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得st，且st1，s，tR.(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决.1.设D为ABC所在平面内一
2、点，3，则()A. B.C. D.答案A解析3，3()，即43，.2.如图，在ABC中，N是AC边上一点，且，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为()A. B. C.1 D.3答案B解析，mm.又B，N，P三点共线，m.3.在平面直角坐标系中，已知向量a(1，2)，ab(3，1)，c(x，3)，若(2ab)c，则x等于()A.2 B.4 C.3 D.1答案D解析ab(3，1)，a(3，1)b，则b(4，2)，2ab(2，6).又(2ab)c，66x，解得x1.4.已知AB，DC为梯形ABCD的两腰，若(1，3)，(1x，2x)，则x_.答案3解析由梯形的性质知，且同向，则12x3(1x)0，
3、解得x3.5.在ABC中，点M是线段BC延长线上一点，且满足|BM|3|CM|，若xy，则xy_.答案2解析因为，所以()，所以x，y，则xy2.考点二平面向量的数量积要点重组(1)ab|a|b|cos .(2)|a|2aa；cos .方法技巧(1)向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法.(2)向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法.6.已知三点A(1，1)，B(3，1)，C(1，4)，则向量在向量方向上的投影为()A. B.C. D.答案A解析(2，3)，(4，2)，向量在向量方向上的投影为，故选A.7.(2017全国)设非零向量a，b满足|ab|ab|，则()A
4、.ab B.|a|b|C.ab D.|a|b|答案A解析方法一|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.故选A.方法二利用向量加法的平行四边形法则.在ABCD中，设a，b，由|ab|ab|知，|，从而四边形ABCD为矩形，即ABAD，故ab.故选A.8.(2016全国)已知向量，则ABC等于()A.30 B.45 C.60 D.120答案A解析|1，|1，cosABC.又0ABC180，ABC30.9.已知在ABC中，|2且|1，则函数f(t)|t(1t)|的最小值为()A. B. C. D.答案B解析由|2及|1知，在ABC中，A90，|，则f2(t)
5、t222t(1t)(1t)2242，故当t时，f(t)min.10.(2017北京)已知点P在圆x2y21上，点A的坐标为(2，0)，O为原点，则的最大值为_.答案6解析方法一根据题意作出图象，如图所示，A(2，0)，P(x，y).由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为(x，0).|cos ，|2，|，cos ，所以2(x2)2x4.点P在圆x2y21上，所以x1，1.所以的最大值为246.方法二如图所示，因为点P在圆x2y21上，所以可设P(cos ，sin )(02)，所以(2，0)，(cos 2，sin )，2cos 4246，当且仅当cos 1，即0，P(1，0)时“”号成立.
6、考点三平面向量的综合应用方法技巧(1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为不含向量的问题.(2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解题.11.向量a，b(cos ，1)，且ab，则cos等于()A. B. C. D.答案B解析ab，tan cos .sin .又cossin ，cos.12.函数ytan的部分图象如图所示，则()等于()A.6 B.4 C.4 D.6答案A解析由ytan0，得xk，解得x4k2，由题图得A(2，0).由ytan1，得xk，解得x4k3.由题图得B(3，1).所以(5，1)，(1，1).所以(
7、)51116.13.设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量积：ab(a1，a2)(b1，b2)(a1b1，a2b2).已知向量m，n，点P在ycos x的图象上运动，点Q在yf(x)的图象上运动，且满足mn(其中O为坐标原点)，则yf(x)在区间上的最大值是()A.2 B.2C.2 D.4答案D解析设点P(x0，cos x0)，点Q(x，y)，则mn(x0，cos x0)，所以点Q的坐标为.由向量的坐标运算，可得解得y4cos，所以f(x)4cos.又因为x，所以，由余弦函数的单调性知，当2x0即x时，函数f(x)取得最大值4.14.(2017天津)在ABC中，A60，AB3，
8、AC2，若2，(R)，且4，则的值为_.答案解析由题意知，|3，|2，32cos 603，()，()223322254，解得.15.(2016上海)在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(0，1)，P是曲线y上一个动点，则的取值范围是_.答案0，1解析由题意知y表示以原点为圆心，1为半径的上半圆.设P(cos ，sin )，0，(1，1)，(cos ，sin 1)，所以cos sin 1sin10，1，所以的取值范围是0，1.1.对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A.|ab|a|b|B.|ab|a|b|C.(ab)2|ab|2D.(ab)(ab)a2b2答案B解析选项B中，当向量
9、a，b反向及不共线时，有|ab|，故B中关系式不恒成立.2.已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()A.k2 B.kC.k1 D.k1答案C解析若点A，B，C不能构成三角形，则向量，共线，(2，1)(1，3)(1，2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1).1(k1)2k0，解得k1.3.已知向量a(1，2)，b(1，1)，且a与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围是_.答案解析ab(1，2)，由a(ab)0，可得.又a与ab不共线，0.故且0.4.在ABC中，有如下命题，其中正确的是_.(填序号)；0；若()()0，则ABC为等
10、腰三角形；若0，则ABC为锐角三角形.答案解析在ABC中，错误；若0，则B是钝角，ABC是钝角三角形，错误.解题秘籍(1)熟练掌握向量数量积的概念，并且要从几何意义理解数量积的性质.(2)注意向量夹角的定义和范围.在ABC中，和的夹角为B；向量a，b的夹角为锐角要和ab0区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理).1.已知向量a和b满足a(2，)，|b|1，且ab0，则的值为()A.2 B.2 C.3 D.3答案C解析由已知得ab0，得ab，故|3，故的值是3，故选C.2.设向量a(2，1)，ab(m，3)，c(3，1)，若(ab)c，则cosa，b等于()A. B. C. D
11、.答案D解析由(ab)c，可得m3(3)10，解得m1，所以ab(1，3)，故b(ab)a(3，4).所以cosa，b，故选D.3.设点O是面积为4的ABC内部一点，且有20，则AOC的面积为()A.2 B.1 C. D.答案B解析设AB的中点为D，20，O为中线CD的中点，AOC，AOD，BOD的面积相等，AOC与AOB的面积之比为12，同理BOC与AOB的面积之比为12，AOC是ABC面积的，AOC的面积为1.4.在平面直角坐标系内，(1，4)，(3，1)，且与在直线l的方向向量上的投影长度相等，则直线l的斜率为()A. B. C.或 D.答案C解析直线l的一个方向向量可设为l(1，k)，由题意得|14k|3k|，解得k或k.5.已知0，|1，|2，0，则|的最大值为()A. B.2 C. D.2答案C解析由题意得，故点B，D都在以AC为直径的圆上.又|，|的最大值为.6.已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题：p1：|ab|1；p2：|ab|1；p3：|ab|1；p4：|ab|1，其中的真命题是()A.p1，p4 B.p1，p3 C.p2，p3 D.p2，p4答案A解析由1，可得cos ，.由|ab|1，可得cos ，.故p1，p4正确.7.已知向量a(sin ，2)，b(1，cos )，且ab，则2si
