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1、第3讲平面向量的数量积及其应用一、选择题1(2016兰州诊断考试)已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|ab|()A0 B1 C2 D.解析|ab|.答案D2(2015陕西卷)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A|ab|a|b| B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2 D(ab)(ab)a2b2解析对于A，由|ab|a|b|cosa，b|a|b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立故选B.答案B3已知a(1，2)，b(x,2)，且ab，则|b|()A2 B. C10 D5解析ab，解得x1，b(1,2)，|b|.故选B.
2、答案B4(2015广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，(1，2)，(2,1)，则等于()A5 B4 C3 D2解析四边形ABCD为平行四边形，(1，2)(2,1)(3，1)23(1)15，选A.答案A5(2015重庆卷)已知非零向量a，b满足|b|4|a|，且a(2ab)，则a与b的夹角为()A. B.C. D.解析因为a(2ab)，所以a(2ab)0，得到ab2|a|2，设a与b的夹角为，则cos ，又0，所以，故选C.答案C二、填空题6(2016全国卷)设向量a(x，x1)，b(1,2)，且ab，则x_.解析由题意，得ab0x2(x1)0x.答案7(2016北
3、京卷)已知向量a(1，)，b(，1)，则a与b夹角的大小为_解析cosa，b，a，b0，a与b夹角的大小为.答案8已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，若ABC为锐角，则实数m的取值范围是_解析由已知得(3,1)，(2m,1m)若，则有3(1m)2m，解得m.由题设知，(3，1)，(1m，m)ABC为锐角，33mm0，可得m.由题意知，当m时，且与同向故当ABC为锐角时，实数m的取值范围是.答案三、解答题9已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61，(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面积解(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b
4、|261.又|a|4，|b|3，644ab2761，ab6.cos .又0，.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，|ab|.(3)与的夹角，ABC.又|a|4，|b|3，SABC|sinABC433.10(2017合肥一模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn.(1)求sin A的值；(2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的投影解(1)由mn，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，所以cos A.因为0Ab，所以AB，且B是ABC一内角，则B.由余弦定
5、理得(4)252c225c，解得c1，c7舍去，故向量在方向上的投影为|cos Bccos B1.11(教材改编)若平面向量a，b，c两两所成的角相等，且|a|1，|b|1，|c|3，则|abc|等于()A2 B5 C2或5 D.或解析由于平面向量a，b，c两两所成的角相等，故每两个向量成的角都等于或0，|abc|当夹角为0时，上式值为5；当夹角为时，上式值为2.故选C.答案C12(2015山东卷)已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则等于()Aa2 Ba2 C.a2 D.a2解析在菱形ABCD中，所以()a2aacos 60a2a2a2. 答案D13(2016商洛统考)已知A(1，cos
6、 )，B(sin ，1)，若|(O为坐标原点)，则锐角_.解析法一利用几何意义求解：由已知可知，是以OA，OB为邻边作平行四边形OADB的对角线向量，则是对角线向量，于是对角线相等的平行四边形为矩形故OAOB.因此0，锐角.法二坐标法：(sin 1，cos 1)，(sin 1，cos 1)，由|可得(sin 1)2(cos 1)2(sin 1)2(cos 1)2，整理得sin cos ，于是锐角.答案14在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上，且mn(m，nR)(1)若mn，求|；(2)用x，y表示mn，并求mn的最大值解(1)mn，(1,2)，(2,1)，(1,2)(2,1)(2,2)，|2.(2)m(1,2)n(2,1)(m2n,2mn)，两式相减，得mnyx.令yxt，由图知，当直线yxt过点B(2,3)时，t取得最大值1，故mn的最大值为1.5
