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1、第六节 正弦定理和余弦定理 (全国卷5年14考),【知识梳理】 1.正弦定理与余弦定理,b2+c2-2bccos A,a2+c2-2accos B,a2+b2-2abcos C,2Rsin B,2Rsin C,sin A,sin Bsin C,2.ABC的面积公式 (1)SABC= (h表示a边上的高). (2)SABC= (3)SABC= r(a+b+c)(r为内切圆半径).,【常用结论】 三角形中的必备结论 (1)abAB(大边对大角). (2)A+B+C=(三角形内角和定理).,(3)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C, (4)射影定理:bcos C+ccos
2、B=a,bcos A+acos B=c, acos C+ccos A=b.,【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误(正确的打“”错误的打“”) (1)在ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求边c. ( ),(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形. ( ) (3)在ABC中,sin Asin B的充分不必要条件是AB.( ),提示:根据正弦定理和余弦定理知(3)是错误的,(1)(2)是正确的. 答案:(1) (2) (3),2.在锐角ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,2asin B =b, 则角A等于 ( ),【解析】
3、选C.由2asin B=b可得:2sin Asin B=sin B, 故,3.已知锐角ABC的面积为 BC=4,CA=3,则角C的大 小为 ( ) A.75 B.60 C.45 D.30,【解析】选B.由三角形的面积公式,得 BCCA sin C= 又因为 三角形为锐角三角形,所以C=60.,4.在ABC中,sin2Asin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是_.,【解析】由已知不等式结合正弦定理得a2b2+c2-bc, 所以b2+c2-a2bc,所以 因为y=cos x在 上为减函数. 故A的取值范围是 答案:,题组二:走进教材 1.(必修5 P10 B组T2改编)在AB
4、C中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cbcos A,则ABC为 ( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形,【解析】选A.依题意得sin C0,于是有cos B0,B为钝角,ABC是钝角三角形.,2.(2018全国卷)在ABC中, BC=1, AC=5,则AB= ( ) (源于必修5P8练习T1),【解析】选A. 在 ABC中,由余弦定理得AB2=CA2+CB2-2CACBcos C, 所以,3.(2017全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c.已知C=60,b= ,c=3,则A=_. (源于必修5 P4 例2),【解析】由题意: 结合bc
5、 可得B=45 ,则A=180-B-C=75. 答案:75,4.(必修5 P3 例1改编)在ABC中,A=60,AC=4,BC= 则ABC的面积等于_.,【解析】设ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c.由 题意及余弦定理得 解得c=2.所以 答案:,考点一 利用正、余弦定理解三角形 【题组练透】 1.在ABC中,已知a=2,b= ,A=45,则满足条件的三 角形有 ( ) A.一个 B.两个 C.0个 D.无法确定,【解析】选B.由正弦定理得 因为ba,所以B=60或120,故满足条件的三角形有 两个.,2.已知锐角ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若B=2A,则
6、的取值范围是 ( ),【解析】选D.因为B=2A, 所以sin B=sin 2A=2sin Acos A, 由正弦定理得b=2acos A,因为ABC是锐角三角形, 所以 所以 即 的取值范围是,3.在ABC中, AB=2,D为AB的中点,BCD的面积 为 则AC等于 ( ),【解析】选B.由题意可知在BCD中, BD=1, 所以BCD的面积 解得BC=3,在ABC中,由余弦定理可得: AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=22+32-223 =7,所 以AC=,4.如图所示,在平面四边形ABCD中, ABAD,ACCD,AD=3AC,则AC=_.,【解析】设AC=x,AD=3x, 在
7、RtACD中,得 所以 在ABC中,由余弦定理得,由于BAC+CAD= 所以cosBAC=sinCAD, 即 解得x=3 答案:3,【规律方法】 1.利用正弦定理可以解决的两类问题 (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求出其他的边和角.由于三角形的形状不能唯一确定,会出现两解、一解和无解三种情况.,在ABC中,已知a,b和A,解的个数见下表,2.利用余弦定理可以解决的两类问题 (1)已知两边及夹角,先求第三边,再求其余两个角. (2)已知三边,求三个内角.,考点二 判断三角形的形状 【典例】(1)设ABC的内角A,B,C所对的边
8、分别为a,b, c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定,(2)在ABC中,若2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,且sin B+sin C=1,试判断ABC的形状.,【解析】 (1)选B.因为bcos C+ccos B=asin A, 由正弦定理得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A, 所以sin(B+C)=sin Asin A,可得sin A=1, 所以 所以三角形为直角三角形.,【答题模板微课】本例（1）的求解过程可模板化为： 建模板：选B.
9、“由正弦定理得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A,” 由正弦定理边化角,“所以sin(B+C)=sin Asin A,” 三角恒等变形 “可得sin A=1,所以 ,” 得出内角的值或关系 “所以三角形为直角三角形.” 判断三角形形状,套模板： 在ABC中，若c-acos B=(2a-b)cos A,则ABC的形状为_.,【解析】因为c-acos B=(2a-b)cos A,所以由正弦定理得sin C-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A, 由正弦定理边化角,所以sin(A+B)-sin Acos B=2sin Acos A-sin
10、 Bcos A, 故cos A(sin B-sin A)=0, 三角恒等变形,所以cos A=0或sin A=sin B. 即 或A=B. 得出内角的值或关系 故ABC为等腰或直角三角形. 判断三角形的形状 答案：等腰或直角三角形,(2)由已知,结合正弦定理, 得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc, 又由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A, 所以bc=-2bccos A,即 由于A为三角形的内角,所以,对于已知2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C, 结合正弦定理,有2sin2A=(2sin B+sin C)sin B+ (2s
11、in C+sin B)sin C, 即sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C= 又由sin B+sin C=1,得sin2B+sin2C+2sin Bsin C=1,所以sin Bsin C= 从而有sin B=sin C= 因为0B,0C,0B+C, 所以B=C= 所以ABC是等腰的钝角三角形.,【互动探究】 1.若本例(1)条件改为“asin A+ bsin Bcsin C”,那么ABC的形状为_.,【解析】根据正弦定理可得a2+b2c2, 由余弦定理得 故C是钝角, 所以ABC是钝角三角形. 答案:钝角三角形,2.若本例(1)条件改为“若2sin Acos B=sin
12、C”,那么ABC的形状为_.,【解析】方法一:由已知得2sin Acos B=sin C =sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B,即sin(A-B)=0, 因为-A-B,所以A=B. 所以ABC为等腰三角形.,方法二:由正弦定理得2acos B=c, 再由余弦定理 得 所以ABC为等腰三角形. 答案:等腰三角形,【规律方法】判断三角形形状的两种思路 (1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. (2)化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=这个结论.,【对点训练】 1.在ABC中,若sin 2
13、A=sin B=sin C,且(b+c-a)(b +c+a)=3bc,则该三角形的形状是 ( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形,【解析】选D.在ABC中,由sin B=sin C,结合正弦定理可得b=c.代入(b+c-a)(b+c+a)=3bc得(2b-a)(2b+a) =3b2,整理得b2=a2,即b=a.此时有a=b=c,即ABC为等边三角形.,2.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=bcos C,则ABC的形状一定是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形,【解析】选B.由条件a=bcos C及余弦定理可
14、得到 = a2+c2=b2.所以ABC为直角三角形.,考点三 正、余弦定理的综合问题 【明考点知考法】 正弦定理和余弦定理,是解三角形要用到的非常重要的两个定理,很多题型中两个定理都用,并且会与三角恒等变换综合.试题常以选择题、填空题形式出现,有时也以解答题的形式出现.,命题角度1 三角形的面积问题 【典例】在ABC中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知(a+b-c)(a+b+c)=3ab,且c=4,则ABC面积的最大值为_.,【解析】由已知有a2+b2-c2=ab, 所以 又16=a2+b2-ab2ab-ab=ab, 则ab16, 当且仅当a =b=4时等号成立. 故ABC面积的
15、最大值为 答案:,【状元笔记】 求三角形面积的方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积,代入公式求面积.,(2)若已知三角形的三边,可先求其一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积,总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.,命题角度2 与三角恒等变换有关的综合问题 【典例】(2017全国卷)ABC的内角A,B,C的对边 分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2, c= 则C= ( ),【解析】选B.由题意得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C) =0, sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0, 即,所以 由正弦定理,【状元笔记】 在三角形中求边、角的方法 (1)若求角,寻求得到这个角的一个函数的方程,结合角的范围求解.
