《（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 6.3 等比数列及其前n项和课件 理 新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 6.3 等比数列及其前n项和课件 理 新人教a版（72页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 等比数列及其前n项和(全国卷5年5考),【知识梳理】 1.等比数列定义与等比中项 (1)定义: 文字语言:从_起,每一项与它的前一项的_都 等于_一个常数;,第2项,比,同,符号语言:_(nN*,q为非零常数). (2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么_叫做a与b 的等比中项.即:G是a与b的等比中项a,G,b成等比数 列G2=_.,G,ab,2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)通项公式:an=_. (2)前n项和公式:Sn=,a1qn-1,【常用结论】 1.在等比数列an中,an=amqn-m. 2.在等比数列an中,若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则 ana
2、m=apaq. 3.若an是公比为q的等比数列,则ak, (k,mN*)是公比为qm的等比数列.,4.若Sn是公比为q(q-1)的等比数列an的前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,是公比为qn的等比数列.,【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)等比数列an的公比q1,则该数列单调递增. ( ),(2)数列an,bn都是等比数列,则数列anbn, 仍 然是等比数列. ( ) (3)数列an的通项an=an,则其前n项和为Sn= ( ) (4)设Sn是等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn, S3n-S2n是等比数列. ( ),提
3、示:(1).在等比数列an中,若公比q1,当a10时,该数列为递增数列,a10时,该数列为递减数列,所以(1)错误;,(2).设等比数列an,bn的公比分别为q1,q2,则 =q1q2(与n无关的常数), (与n无关的常 数),所以(2)正确;,(3).对于数列an=an,当a=1时,Sn=na,当a1时,则其 前n项和为Sn= 所以(3)错误; (4).在公比q=-1,n为偶数时,Sn=S2n-Sn=S3n-S2n=0,此 时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不是等比数列,所以(4)错误.,2.数列an满足a1=2, an+1= (an0),则an= ( ) A.10n-2 B.10n-1
4、,【解析】选D.因为数列an满足a1=2, an+1= (an0), 所以log2an+1=2log2an, 即 =2,所以数列log2an是公比为2的等比数列, 所以log2an=log2a12n-1,即an= .,题组二:走进教材 1.(必修5P53 练习T3改编)对任意等比数列an,下列说法一定正确的是 ( ) A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列 C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列,【解析】选D.因为数列an为等比数列,设其公比为q, 则a3a9=a1q2a1q8= 所以a3,a6,a9一定成等比数列.,2.(必修5P53 习题T1
5、改编)已知等比数列an的前n项 和为Sn,且a1+a3= ,a2+a4= ,则q= ( ) A. B.4 C.2 D.,【解析】选C.由等比数列可得, a2+a4= q= q = ,解得q=2.,考点一 等比数列的基本运算 【题组练透】 1.已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn, 且S3=14,a3=8,则a6等于 ( ) A.16 B.32 C.64 D.128,【解析】选C.因为S3=14,a3=8,所以q1, 所以 , 解得a1=2,q=2, 所以a6=a1q5=232=64.,2.已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+ a7= ( ) A.21
6、B.42 C.63 D.84,【解析】选B.设数列an的公比为q,则a1(1+q2+q4)=21,又a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),所以a3=6,a5=12,a7=24,所以a3+a5+a7=42.,3.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn= ( ) A.2n-1 B. C. D.,【解析】选D.因为an+1=Sn+1-Sn, 所以Sn=2an+1=2(Sn+1-Sn),所以 所以数列Sn是以S1=a1=1为首项, 为公比的等比数 列,所以Sn=,4.已知Sn是等比数列an的前n项和,若存在mN*, 满足 则数列an的公比为( )
7、A.-2 B.2 C.-3 D.3,【解析】选B.设公比为q,若q=1,则 =2,与题中条件 矛盾,故q1.因为 =qm+1=9,所以qm=8. 所以 所以m=3,所以q3=8,所以q=2.,【易错警示】解答本题易出现以下两种错误:一是不考虑公比等于1的情况,二是不善于运用整体代换思想简化运算过程.,5.(2017全国卷)设等比数列an满足a1+a2=-1, a1-a3=-3,则a4=_.,【解析】由题意可得: 则a4=a1q3=-8. 答案:-8,6.(2018全国卷)记Sn为数列an的前n项和. 若Sn=2an+1,则S6=_.,【解析】依题意, 作差得an+1=2an, 所以数列an是公
8、比为2的等比数列, 又因为a1=S1=2a1+1, 所以a1=-1,所以an=-2n-1, 所以S6= =-63. 答案:-63,【规律方法】解决等比数列问题的常用思想方法 (1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.,(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公 比q的分类讨论,当q=1时,an的前n项和Sn=na1;当q1 时,an的前n项和Sn=,考点二 等比数列的判断与证明 【典例】(1)已知数列an中,a1=1,若an=2an-1+1(n2), 则a5的值是_. (2)已知数列an的前n
9、项和Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(nN*), 若bn=an+1-2an,求证:bn是等比数列.,【解析】(1)因为an=2an-1+1, 所以an+1=2(an-1+1),所以 =2, 又a1=1,所以an+1是以2为首项,2为公比的等比数列, 即an+1=22n-1=2n,所以a5+1=25,即a5=31. 答案:31,(2)因为an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an, 所以 =2.,因为S2=a1+a2=4a1+2,所以a2=5. 所以b1=a2-2a1=3. 所以数列bn是首项为3,公比为2的等比数列.,【互动探究】 1.若本例(2)中的条件
10、不变,试求an的通项公式.,【解析】由(2)知bn=an+1-2an=32n-1, 所以 故 是首项为 ,公差为 的等差数列. 所以 = +(n-1) = , 所以an=(3n-1)2n-2.,2.在本例(2)中,若cn= ,证明:数列cn为等比数列. 【证明】由互动探究1知,an=(3n-1)2n-2,所以 cn=2n-2. 所以 =2.又c1= 所以数列cn是首项为 ,公比为2的等比数列.,【规律方法】 1.等比数列的判定方法 (1)定义法:对于数列an,若 =q(q0),则数列an 是等比数列. (2)等比中项:对于数列an,若anan+2= ,则数列an 是等比数列.,(3)通项公式法
11、:an=cqn (c,q均是不为0的常数, nN*)an是等比数列.,2.证明某数列不是等比数列 若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.,【对点训练】 (2018郑州模拟)已知数列an满足a1a2a3an= (nN*),且对任意nN*都有 t,则实数 t的取值范围为 ( ),【解析】选D.因为数列an满足a1a2a3an= , 所以n=1时,a1=2,当n2时,a1a2a3an-1= ,可 得:an= ,所以 当n=1时,也适合an=22n-1, 数列 为等比数列,首项为 ,公比为 ,所以,因为对任意nN*都有 t,则t的取值范 围为,考点三 等比数列的性质及其应用
12、 【明考点知考法】 等比数列性质作为考查等比数列运算知识的最佳 载体,因其考查知识、数学素养较多,成为高考命题的 热点,试题常以选择题、填空题的形式出现,有时也会,出现在解答题中,考查数列的运算、数列前n项和的最值等问题.解题过程中常常渗透数学运算核心素养.,命题角度1 与等比数列性质有关的运算问题 【典例】在等比数列an中,若a7+a8+a9+a10= , a8a9= 则 =_.,【解析】因为 由等比数列的性质知a7a10=a8a9, 所以 答案:,【状元笔记】 在等比数列中凡是涉及两项的乘积问题,首先考虑其项数和是否相等,若相等则利用等比数列的性质进行运算.,命题角度2 依据等比数列性质求
13、解最值问题 【典例】(2018衡水模拟)已知正数组成的等比数列an,若a1a20=100,那么a7+a14的最小值为 ( ) A.20 B.25 C.50 D.不存在,【解析】选A.(a7+a14)2= +2a7a144a7a14= 4a1a20=400.所以a7+a1420.,【状元笔记】 1.等比数列an中,若m,n,p,qN*且m+n=p+q,则 aman=apaq. 2.a,b0,若a,b为常数,则a+b有最小值2 ,当且仅当 a=b时,取得最小值.,【对点练找规律】 1.在等比数列an中,a2a3a4=8,a7=8,则a1= ( ) A.1 B.1 C.2 D.2,【解析】选A.因为
14、数列an是等比数列,所以a2a3a4= =8,所以a3=2,所以a7=a3q4=2q4=8,所以q2=2,a1= =1.,2.在等比数列an中,a1,a5为方程x2-10x+16=0的两根,则a3= ( ) A.4 B.5 C.4 D.5,【解析】选A.因为a1,a5为方程x2-10x+16=0的两根,所 以a1+a5=10,a1a5=16,则a1,a5为正数,在等比数列an中, =a1a5=16,则a3=4,因为a1,a5为正数,所以a3=4.,3.在正项等比数列an中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12, an-1anan+1=324,则n等于 ( ) A.12 B.13 C.14
15、D.15,【解析】选C.因为数列an是各项均为正数的等比数列,所以a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,a10a11a12,也成等比数列.不妨令b1=a1a2a3,b2=a4a5a6,则公比q= =3.所以bm=43m-1. 令bm=324,即43m-1=324, 解得m=5,所以b5=324,即a13a14a15=324. 所以n=14.,思想方法系列11等比数列前n项和的分类讨论思想 【思想诠释】因为等比数列的前n项和公式,分两种情 况,一是公比q=1时,前n项和为Sn=na1,二是q1时,其 前n项和为Sn= ;在判断等比数列单调性时,也 必须对a1与q分类讨论.,所以涉及求等比数列前n项和或等比数列的单调性时,应注意以下三点: (1)明确等比数列的首项和公比q. (2)分清等比数列首项的正负,公比与1的关系. (3)注意该数列是递增还是递减以及该数列共有多少项.,【典例】设等比数列an的前n项和为Sn,若
