《2020版高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式课件 新人教a版选修4-5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式课件 新人教a版选修4-5（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.三个正数的算术-几何平均不等式,1.了解三个正数的算术-几何平均不等式. 2.会应用三个正数的算术-几何平均不等式解决简单问题.,1,2,1,2,归纳总结 从不等式的式子结构入手,拼凑出所需形式是解决此类问题的突破点.,1,2,1,2,1.三个正数或三个以上正数的算术-几何平均不等式的应用条件,“二定”:包含两类求最值问题,一是已知n个正数的和为定值(即a1+a2+an为定值),求其积a1a2an的最大值;二是已知乘积a1a2an为定值,求其和a1+a2+an的最小值. “三相等”:取等号的条件是a1=a2=a3=an,不能只是其中一部分相等. 不等式a2+b22ab与a3+b3+c33a
2、bc的运用条件不一样,前者要求a,bR,后者要求a,b,cR+.要注意区别.,1,2,2.灵活使用基本不等式中的变形与拼凑方法,题型一,题型二,题型三,题型四,【例1】 已知0x1,求函数y=x(1-x2)的最大值.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思 式子拼凑,以便能利用算术-几何平均不等式求最值,是必须掌握的一种解题方法,但拼凑要合理,且要符合适用的条件,对于本题,有的学生可能这样去拼凑: 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值,但忽略了取等号的条件,显然x=2-2x=1+x无解,即无法取等号,也就是说,这种拼凑法是不正确的.这就要求平时多积累一些拼凑方法,同时注意算术-几何平均不等式
3、的使用条件,三个缺一不可.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,分析：先观察求证式子的结构,再通过变形转化为用算术-几何平均不等式证明.,证明：a,b,c0,题型一,题型二,题型三,题型四,反思 三个正数的算术-几何平均不等式定理,是根据不等式的意义、性质和比较法证出的,因此,凡是可以利用该定理证明的不等式,一般都可以直接应用比较法证明,只是在具备条件时,直接应用该定理会更简便.若不直接具备“一正、二定、三相等”的条件,要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明. 连续多次使用算术-几何平均不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致.,题型一,题型二,题型三,题
4、型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【例3】 如图,在一张半径是2 m的圆桌的正中央上空挂一盏电灯.大家知道,灯挂得太高了,桌子边缘处的亮度就小;挂得太低,桌子的边缘处仍然是不亮的.由物理学可知,桌子边缘一点处的亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角的正弦成正比,而和这一点到光源的距离r的平方成反比,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思 处理此类求最值的实际问题,应正确地找到各变量之间的关系,建立适当的函数解析式,把问题转化为求函数的最值问题,并将关系式配凑成可以用算术-几何平均不等式的形式,若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 设圆锥的母线长为1,试问圆锥的底面半径为多少时,圆锥的体积最大?,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思应用基本不等式求最值的易错点是忽视条件“一正、二定、三相等”,尤其易忽视等号成立的条件.,
