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1、交通大学2000年保送生数学试题一、选择题(本题共15分，每小题3分在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内)1若今天是星期二，则31998天之后是( )A星期四B星期三C星期二D星期一2用13个字母A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是( )ABCD3方程cos2x-sin2x+sinxm+1有实数解，则实数m的取值范围是( )ABm -3Cm -1D4若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x2+px+q0的两个根，则此数列各项的积是( )ApmBp2mCqm
2、Dq2m5设f (x0)2，则( )A-2B2C-4D4二、填空题（本题共24分，每小题3分）1设f(x)的原函数是，则_2设，则函数(的最小值是_3方程的解x_4向量在向量上的投影_5函数的单调增加区间是_6两个等差数列200，203，206，和50，54，58都有100项，它们共同的项的个数是_7方程7x2-(k+13)x+k2-k-20的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k的取值范围是_8将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是_三、证明与计算（本题61分）1(6分)已知正数列a1，a2
3、，an，且对大于1的n有，试证：a1，a2，an中至少有一个小于12(10分)设3次多项式f(x)满足：f(x+2)-f(-x)，f(0)1，f(3)4，试求f(x)3(8分)求极限4(10分)设在x0处可导，且原点到f(x)中直线的距离为，原点到f(x)中曲线部分的最短距离为3，试求b，c，l，m的值(b,c0)5(8分)证明不等式：，6(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率OyxB1A2A1B27(11分)如图所示，设曲线上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形OB1A1，A1B2A2，直角顶点在曲
4、线上试求An的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在复旦大学2000年保送生招生测试数学试题（理科）一、填空题（每小题10分，共60分）1将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，第n组含n个数，即1；2，3；4，5，6；令an为第n组数之和，则an_2_3_4已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为_5正实数x,y满足关系式x2-xy+40，又若x1，则y的最小值为_6一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，
5、然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了_米二、解答题（每小题15分，共90分）1数列an适合递推式an+13an+4，又a11，求数列前n项和Sn2求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明3正六棱锥的高等于h，相邻侧面的两面角等于，求该棱锥的体积()4设z1,z2,z3,z4是复平面上单位圆上的四点，若z1+z2+z3+z4=0求证：这四个点组成一个矩形5设，其中xn,yn为整数，求n时，的极限6设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1问
6、：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点请证明你的结论2001年上海交通大学联读班数学试题一、填空题（本题共40分，每小题4分）1数的位数是_2若log2log3(log4x)log3log4(log2y)log4log2(log3z)0，则x+y+z_3若log23p，log35q，则用p和q表示log105为_4设sina和sinb分别是sinq与cosq的算术平均和几何平均，则cos2a:cos2b_5设，则函数f(x)cosx+xsinx的最小值为_6有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排成正三角形，已知正三角形每边比正方形每边多2个小球，则这盒小球的个数为_7若在数列
7、1，3，2，中，前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项，则这个数列的前100项之和是_8在(1+2x-x2)4的二项展开式中x7的系数是_9某编辑在校阅教材时，发现这句：“从60角的顶点开始，在一边截取9厘米的线段，在另一边截取a厘米的线段，求两个端点间的距离”，其中a厘米在排版时比原稿上多1虽然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍相符合，则排错的a_10任意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰能排列成公差为1的等差数列的概率为_二、选择题（本题共32分，每小题4分）11a0，b0，若(a+1)(b+1)2，则arctana+arctanb( )ABCD12一个人向正
8、东方向走x公里，他向左转150后朝新方向走了3公里，结果他离出发点公里，则x是( )ABC3D不能确定13( )ABCD14设t表示 t的最大整数，其中t0且S(x,y)|(x-T)2+y2T2,Tt-t，则( )A对于任何t，点(0,0)不属于SBS的面积介于0和p之间C对于所有的t5，S被包含在第一象限D对于任何t，S的圆心在直线yx上15若一个圆盘被2n(n0)条相等间隔的半径和一条割线所分隔，则这个圆盘能够被分成的不交迭区域的最大个数是( )A2n+2B3n-1C3nD3n+116若i2-1，则cos45+icos135+incos(45+90n)+i40cos3645( )ABCD1
9、7若对于正实数x和y定义，则( )A”*”是可以交换的，但不可以结合B”*”是可以结合的，但不可以交换C”*”既不可以交换，也不可以结合D”*”是可以交换和结合的18两个或两个以上的整数除以N(N为整数，N1)，若所得的余数相同且都是非负数，则数学上定义这两个或两个以上的整数为同余若69，90和125对于某个N是同余的，则对于同样的N，81同余于( )A3B4C5D7三、计算题（本题共78分）19(本题10分)已知函数f(x)x2+2x+2，xt,t+1的最小值是g(t)试写出g(t)的解析表达式20(本题12分)设对于x0，求f(x)的最小值21(本题16分)已知函数，对于n1,2,3,定义
10、fn+1(x)f1fn(x)若f35(x)f5(x)，则f28(x)的解析表达式是什么？22(本题20分)已知抛物线族2yx2-6xcost-9sin2t+8sint+9，其中参数tR (1) 求抛物线顶点的轨迹方程；(2) 求在直线y12上截得最大弦长的抛物线及最大弦长xPnyOXn+1XnPn+123(本题20分)设xn为递增数列，x11，x24，在曲线上与之对应的点列为P1(1,1),P2(4,2),，且以O为原点，由OPn、OPn+1与曲线PnPn+1所围成部分的面积为Sn，若Sn(nN)是公比为的等比数列，图形XnXn+1Pn+1Pn的面积为，试求S1+S2+Sn+和复旦大学2001
11、年选拔生考试数学试题一、填空(每小题5分，共45分)1sinx+siny=0，则cos2x-sin2y=_2平面p1, p2成a的二面角，平面p1中的椭圆在平面p2中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比为_3(x2+2x+2)(y2-2y+2)1，则x+y=_4电话号码0，1不能是首位，则本市电话号码从7位升到8位，使得电话号码资源增加_52002=83a3+82a2+8a1+a0，0a0,a1,a2,a37正整数，则a0=_6的常数项为_7_8空间两平面a,b，是否一定存在一个平面均与平面a,b垂直？_9在ABC中，cos(2A-C)cos(2C-B)，则此三角形的形状是_二、解答题(共87分
12、)1求解：cos3xtan5xsin7x2数列3，3-lg2，,3-(n-1)lg2问当n为几时，前n项的和最大？3求证：xR时，|x-1|4|x3-1|4a为何值时，方程有解？只有一解？5一艘船向西以每小时10公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里速度向正北方向移动，船与台风中心距离300米，在台风中心周围100米处将受到影响，问此船航行受台风影响的时间段长度？6x3-2y31的所有整数解(x,y)，试证明：上海交通大学2002年保送生考试数学试题一、填空题（本题共64分，每小题4分）1设方程x3=1的一个虚数根为(n是正整数)=_2设a,b是整数，直线y=ax+b和3条抛物线：y=x2+3,y=x2+6x+7与y=x2+4x+5的交点个数分别是2，1，0，则(a,b)=_3投掷3个骰子，其
