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1、第一章 统计数据的收集与整理1.1 算术平均数是怎样计算的？为什么要计算平均数？答：算数平均数由下式计算： nyni1，含义为将全部观测值相加再被观测值的个数除，所得之商称为算术平均数。计算算数平均数的目的，是用平均数表示样本数据的集中点，或是说是样本数据的代表。1.2 既然方差和标准差都是衡量数据变异程度的，有了方差为什么还要计算标准差？答：标准差的单位与数据的原始单位一致，能更直观地反映数据地离散程度。1.3 标准差是描述数据变异程度的量，变异系数也是描述数据变异程度的量，两者之间有什么不同？答：变异系数可以说是用平均数标准化了的标准差。在比较两个平均数不同的样本时所得结果更可靠。1.4
2、完整地描述一组数据需要哪几个特征数？答：平均数、标准差、偏斜度和峭度。1.7 从一个有限总体中采用非放回式抽样，所得到的样本是简单的随机样本吗？为什么？本课程要求的样本都是随机样本，应当采用哪种抽样方法，才能获得一随机样本？答：不是简单的随机样本。从一个有限总体中以非放回式抽样方法抽样，在前后两次抽样之间不是相互独立的，后一次的抽样结果与前一次抽样的结果有关联，因此不是随机样本。应采用随机抽样的方法抽取样本，具体说应当采用放回式抽样。1.8 证明 ni ni iiii Cyyy1122, 。其 中若用yii或iiCy编码时，前式是否仍然相等？答：（1）令 Cii则 y 平均数特性之。niiii
3、niiyy12212（2） 令 Cyi则 平均数特性之。 2121Cyyniiiinii用第二种编码方式编码结果，两式不再相等。1.9 有一个样本： ny,21 ，设 B 为其中任意一个数值。证明只有当 yB时 ，niBy12最小。这是平均数的一个重要特性，在后面讲到一元线型回归时还会用到该特性。答：令 2p， 为求使 p 达最小之 B，令02y则 ynBy02。 第二章 概率和概率分布2.2 每个人的一对第 1 号染色体分别来自祖母和外祖母的概率是多少？一位男性的 X染色体来自外祖父的概率是多少？来自祖父的概率呢？答： （1）设 A 为一对第 1 号染色体分别来自祖母和外祖母的事件，则412
4、P（2）设 B 为男性的 X 染色体来自外祖父的事件，则1（3）设 C 为男性的 X 染色体来自祖父的事件，则0P2.3 假如父母的基因型分别为 IAi 和 IBi 。他们的两个孩子都是 A 型血的概率是多少？他们生两个 O 型血女孩的概率是多少？答：父： 21A配 子配 子 iI母：配 子配 子 iP 16214AAiPIiP型 血型 血型 血 子 女两 名641226iPiP型 血型 血型 血 女 儿两 名2.4 白化病是一种隐性遗传病，当隐性基因纯合时（aa）即发病。已知杂合子（Aa）在群体中的频率为 1 / 70，问一对夫妻生出一名白化病患儿的概率是多少？假如妻子是白化病患者，她生出白
5、化病患儿的概率又是多少？答：（1）已知 4170AaPAaP所以601947AaPaA且 生 一 名（2）已知 217AaPAaP所以14027AaPa且 生 一 名2.5 在图 23 中，III 1 为 Aa 个体，a 在群体中的频率极低，可排除 a 多于一次进入该系谱的可能性，问 III2 亦为 a 的携带者的概率是多少？答：设：事件 A：III 1 含 a，事件 B：II 2 含 a，事件 C：I 3 含 a，事件 D：II 2 含 a，事件 E：III 2 含 a，事件 C：I 4 含 a，图 23211ABPA16218241DABCEPABCDEP同理可得：故 III2 含 a 总
6、的概率为：816P2.6 一个杂合子 AaBb 自交，子代基因型中有哪些基本事件？可举出哪些事件？各事件的概率是多少？答：1共有 16 种基因型，为 16 个基本事件。AABB AAbB aABB aAbBAABb AAbb aABb aAbbAaBB AabB aaBB aabBAaBb Aabb aaBb aabb2可举出的事件及其概率：A1： 包含四个显性基因 = AABB16APA2： 包含三个显性基因 = AABb, AAbB, AaBB, aABB42A3： 至少包含三个显性基因 = AABb, AAbB, AaBB, aABB, AABB 1653APA4： 包含两个显性基因 =
7、 AaBb, AabB, aABb, aAbB, AAbb, aaBB4A5： 至少包含两个显性基因 = AaBb, AabB, aABb, aAbB, AAbb, aaBBAABb, AAbB, AaBB, aABB, AABB165APA6： 包含两个不同的显性基因 = AaBb, AabB, aABb, aAbB4A7： 包含两个相同的显性基因 = AAbb, aaBB1627AP2.7 一对表型正常的夫妻共有四名子女，其中第一个是隐性遗传病患者。问其余三名表型正常的子女是隐性基因携带者的概率是多少？答：样本空间 W = AA, Aa, aA32隐 性 基 因 携 带 者P2.8 自毁容
8、貌综合征是一种 X 连锁隐性遗传病，图 24 是一个自毁容貌综合征患者的家系图。该家系中 III2 的两位舅父患有该病，III2 想知道她的儿子患该病的概率是多少？（提示：用 Bayes 定理计算 II5 在已生四名正常男孩的条件下是携带者的条件概率）答：若 IV1 是患者， III2 必定是携带者，II5 亦必定是携带者。已知 II2 和 II3 为患者，说明 I2 为杂合子，这时 II5 可能是显性纯合子也可能是杂合子。称 II5 是杂合子这一事件为A1，II 5 是显性纯合子这一事件为 A2，则： 1221PP设 II5 生 4 名正常男孩的事件为事件 B，则 II5 为杂合子的条件下，
9、生 4 名正常男孩 （III3 至 III6）的概率为：16241APII5 为显性纯合子的条件下，生 4 名正常男孩的概率为：2B将以上各概率代入 Bayes 公式，可以得出在已生 4 名正常男孩条件下，II 5 为杂合子的图 24概率：17126211ABPAPB由此得出 III2 为杂合子的概率：P（III 2 为杂合子） 3412以及 III2 的儿子（ IV1）为受累者的概率：P（IV 1 为患者）%7.682.9 Huntington 舞蹈病是一种由显性基因引起的遗传病，发病年龄较迟，图 25 为一Huntington 舞蹈病的家系图。III 1 的外祖父 I1 患有该病， III
10、1 现已 25 岁，其母 II2 已 43 岁，均无发病迹象。已知 43 岁以前发病的占 64%，25 岁以前发病的占 8%，问 III1 将发病的概率是多少？（提示：用 Bayes 定理先求出 II2 尚未发病但为杂合子的条件概率）答：根据以上资料可以得出：II2 为杂合子的概率 21APII2 为正常纯合子的概率 II2 为杂合子，但尚未发病的概率 64.01B= 0.36II2 为正常纯合子，但尚未发病的概率 12AP 图 25 因此，II 2 尚未发病但为杂合子的概率 26.015.360.211 ABPAPBIII1 为杂合子的概率 16.03III1 为正常纯合子的概率 87.4I
11、II1 为杂合子，但尚未发病的概率 92.03III1 为正常纯合子，但尚未发病的概率 14ABP因此，III 1 尚未发病，但为杂合子的概率1.087.9203.433 APBAP所以，III 1 为该病患者的概率为 12%。2.10 一实验动物养殖中心，将每 30 只动物装在一个笼子中，已知其中有 6 只动物体重不合格。购买者从每一笼子中随机抽出 2 只称重，若都合格则接受这批动物，否则拒绝。问：（1）检查第一只时就不合格的概率？（2）第一只合格，第二只不合格的概率？（3）接受这批动物的概率？答：（1）设 A 为第一只不合格的事件，则306AP（2）设 B 为第二只不合格的事件，则 29B
12、（3）接受这批动物的概率 3042.11 一名精神科医生听取 6 名研究对象对近期所做梦的叙述，得知其中有 3 名为忧郁症患者，3 名是健康者，现从 6 名研究对象中选出 3 名，问：（1）一共有多少种配合？（2）每一种配合的概率？（3）选出 3 名忧郁症患者的概率？（4）至少选出两名忧郁症患者的概率？答：（1）20!63C（2） 0（3） 21456（4） 3602C2.12 图 26 为包含两个平行亚系统的一个组合系统。每一个亚系统有两个连续控制单元，只要有一个亚系统可正常工作，则整个系统即可正常运行。每一单元失灵的概率为 0.1，且各单元之间都是独立的。问：（1）全系统可正常运行的概率？
13、（2）只有一个亚系统失灵的概率？ 图 26（3）系统不能正常运转的概率？答：（1）P（全系统可正常运行）= 0.94 + 0.93 0.1 4 + 0.92 0.12 2 = 0.963 9（2）P（只有一个亚系统失灵） = 0.92 0.12 2 + 0.93 0.1 4 = 0.307 8（3）P（系统不能正常运转） = 0.14 + 0.13 0.9 4 + 0.12 0.92 4 = 0.036 1 或 = 1 0.963 9 = 0.036 12.13 做医学研究需购买大鼠，根据研究的不同需要，可能购买 A， B， C， D 四个品系中的任何品系。实验室需预算下一年度在购买大鼠上的开
14、支，下表给出每一品系 50 只大鼠的售价及其被利用的概率：品系 每 50 只的售价 /元 被利用的概率A 500.00 0.1B 750.00 0.4C 875.00 0.3D 100.00 0.2问：（1）设 Y 为每 50 只大鼠的售价，期望售价是多少？（2）方差是多少？答：（1）xypE 5.63210387510450（2） 22Y5.6318.2871040 222.14 Y 为垂钓者在一小时内钓上的鱼数，其概率分布如下表：y 0 1 2 3 4 5 6p(y) 0.001 0.010 0.060 0.185 0.324 0.302 0.118问：（1）期望一小时内钓到的鱼数？（2）它们的方差？答： YE0 0.001 + 1 0.010 + 2 0.060 + 3 0.185 + 4 0.324 + 5 0.302 + 6 0.118= 4.22 = 02 0.001 + 12 0.010 + 22 0.060 + 32 0.185 + 42 0.3
