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1、 郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。 初中数学作辅助线的方法 一：中点、中位线，延线，平行线。 如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。 二：垂线、分角线，翻转全等连。 如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。 三：边边若相等，旋转做实验。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有
2、时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。 四:造角、平、相似，和、差、积、商见。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。” （托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表） 五：两圆若相交，连心公共弦。 如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。 六：两圆相
3、切、离，连心，公切线。 如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。 七：切线连直径，直角与半圆。 如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。 如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。 八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。 如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。 如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅
4、助线；反之，亦成立。 如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。 有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。 九：面积找底高，多边变三边。 如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。 如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。 另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。 三角形中作辅助线的常用方法举例 一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证
5、不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如： 例1：已知如图1-1：D、E为ABC内两点,求证:ABACBDDECE. 证明：（法一）将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N， 在AMN中，AMAN MDDENE;（1） 在BDM中，MBMDBD； （2） 在CEN中，CNNECE； （3） 由（1）（2）（3）得： AMANMBMDCNNEMDDENEBDCE ABACBDDEEC （法二：）如图1-2， 延长BD交 AC于F，延长CE交BF于G， 在ABF和GFC和GDE中有： ABAF BDDGGF （三角形两边之和
6、大于第三边）（1） GFFCGECE（同上）（2） DGGEDE（同上）（3） 由（1）（2）（3）得： ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDE ABACBDDEEC。 二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理： 例如：如图2-1：已知D为ABC内的任一点，求证：BDCBAC。 分析：因为BDC与BAC不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使BDC处于在外角的位置，BAC处于在内角的位置； 证法一：延长BD交A
7、C于点E，这时BDC是EDC的外角， BDCDEC，同理DECBAC，BDCBAC 证法二：连接AD，并延长交BC于F BDF是ABD的外角 BDFBAD，同理，CDFCAD BDFCDFBADCAD 即：BDCBAC。 注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。 三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如： 例如：如图3-1：已知AD为ABC的中线，且12,34,求证：BECFEF。 分析：要证BECFEF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而
8、由已知12，34，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同一个三角形中。 证明：在DA上截取DNDB，连接NE，NF，则DNDC， 在DBE和DNE中： DBEDNE （SAS） BENE（全等三角形对应边相等） 同理可得：CFNF 在EFN中ENFNEF（三角形两边之和大于第三边） BECFEF。 注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。 四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。 例如：如图4-1：AD为ABC的中线，且12，34，求证：BECFEF 证
9、明：延长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF。在BDE和CDM中， BDECDM （SAS） 又12，34 （已知） 1234180（平角的定义） 32=90 即：EDF90 FDMEDF 90 在EDF和MDF中 EDFMDF （SAS） EFMF （全等三角形对应边相等） 在CMF中，CFCMMF（三角形两边之和大于第三边） BECFEF 注：上题也可加倍FD，证法同上。 注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。 五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。 例如：如图5-1：AD为 ABC的中线，求证：ABAC2A
10、D。 分析：要证ABAC2AD，由图想到： ABBDAD,ACCDAD，所以有ABAC BDCDADAD2AD，左边比要证结论多BDCD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE2AD AD为ABC的中线 （已知） BDCD （中线定义） 在ACD和EBD中 ACDEBD （SAS） BECA（全等三角形对应边相等） 在ABE中有：ABBEAE（三角形两边之和大于第三边） ABAC2AD。 （常延长中线加倍，构造全等三角形） 练习：已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边
11、为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF2AD。 六、截长补短法作辅助线。 例如：已知如图6-1：在ABC中，ABAC，12，P为AD上任一点。 求证：ABACPBPC。 分析：要证：ABACPBPC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边ABAC，故可在AB上截取AN等于AC，得ABACBN， 再连接PN，则PCPN，又在PNB中，PBPNBN， 即：ABACPBPC。 证明：（截长法） 在AB上截取ANAC连接PN , 在APN和APC中 APNAPC （SAS） PCPN （全等三角形对应边相等） 在BPN中，有
12、PBPNBN （三角形两边之差小于第三边） BPPCABAC 证明：（补短法） 延长AC至M，使AMAB，连接PM， 在ABP和AMP中 ABPAMP （SAS） PBPM （全等三角形对应边相等） 又在PCM中有：CMPMPC(三角形两边之差小于第三边) ABACPBPC。 七、延长已知边构造三角形： 例如：如图7-1：已知ACBD，ADAC于A ，BCBD于B， 求证：ADBC 分析：欲证 ADBC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：ADC与BCD，AOD与BOC，ABD与BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。
13、 证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点， ADAC BCBD （已知） CAEDBE 90 （垂直的定义） 在DBE与CAE中 DBECAE （AAS） EDEC EBEA （全等三角形对应边相等） EDEAECEB 即：ADBC。 （当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。） 八 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 例如：如图8-1：ABCD，ADBC 求证：AB=CD。 分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。 证明：连接AC（或BD） ABCD ADBC （已知） 12，34 （两直线平行，内错角相等）
14、 在ABC与CDA中 ABCCDA （ASA） ABCD（全等三角形对应边相等） 九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图9-1：在RtABC中，ABAC，BAC90，12，CEBD的延长于E 。求证：BD2CE 分析：要证BD2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与ABC的平分线垂直，想到 要将其延长。 证明：分别延长BA，CE交于点F。 BECF （已知） BEFBEC90 （垂直的定义） 在BEF与BEC中， BEFBEC（ASA）CE=FE=CF （全等三角形对应边相等） BAC=90 BECF （已知） BACCAF90 1BDA901BFC90 BDABFC 在ABD与ACF中 ABDACF （AAS）BDCF （全等三角形对应边相等） BD2CE 十、连接已知点，构造全等三角形。 例如：已知：如图10-1；AC、BD相交于O点，且ABDC，ACBD，求证：AD。 分析：要证AD，可证它们所在的三角形ABO和DCO全等，而只有ABDC和对顶角两个条件，差一个条件，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由ABDC，ACBD，若连接BC，则ABC和DCB全等，所以，证得AD。 证明：连接BC，在ABC和DCB中 ABCDC
