《（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用课件（210页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2 导数的应用,高考数学 (江苏省专用),五年高考,A组 统一命题课标卷题组,考点一 导数与函数的单调性 (2017江苏,11,5分)已知函数f(x)=x3-2x+ex- ,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)0,则实 数a的取值范围是 .,答案,解析 本题考查用导数研究函数单调性、函数单调性的应用. 易知函数f(x)的定义域关于原点对称. f(x)=x3-2x+ex- , f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x- =-x3+2x+ -ex=-f(x), f(x)为奇函数, 又f (x)=3x2-2+ex+ ,则f (x)3x2-2+2=3x20(当且仅当x=0时,取“
2、=”),从而f(x)在R上单调递 增, 所以f(a-1)+f(2a2)0f(a-1)f(-2a2)-2a2a-1, 解得-1a .,考点二 导数与函数的极值和最值,1.(2018江苏,11,5分)若函数f(x)=2x3-ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有一个零点,则f(x)在-1,1 上的最大值与最小值的和为 .,答案 -3,解析 本题考查利用导数研究函数的极值和最值. f(x)=2x3-ax2+1,f (x)=6x2-2ax=2x(3x-a). 若a0,则x0时, f (x)0,f(x)在(0,+)上为增函数,又f(0)=1,f(x)在(0,+)上没有零点,a 0. 当0 时, f (
3、x)0, f(x)为增函数,x0时, f(x)有极小值,为f =- +1. f(x)在(0,+)内有且只有一个零点, f =0,a=3. f(x)=2x3-3x2+1,则f (x)=6x(x-1). 令f (x)=0,得x=0或x=1.,f(x)在-1,1上的最大值为1,最小值为-4. 最大值与最小值的和为-3.,2.(2017江苏,20,16分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a0,bR)有极值,且导函数f (x)的极值点是f (x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b23a; (3)若f(x), f (x
4、)这两个函数的所有极值之和不小于- ,求a的取值范围.,解析 本题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极值及零点问题,考查综合运用数学 思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力. (1)由f(x)=x3+ax2+bx+1,得f (x)=3x2+2ax+b=3 +b- . 当x=- 时, f (x)有极小值b- . 因为f (x)的极值点是f(x)的零点, 所以f =- + - +1=0,又a0,故b= + . 因为f(x)有极值,故f (x)=0有实根,从而b- = (27-a3)0,即a3. 当a=3时, f (x)0(x-1),故f(x)在R上是增函数, f(x)没有极值; 当a3时, f
5、 (x)=0有两个相异的实根x1= ,x2= . 列表如下:,故f(x)的极值点是x1,x2. 从而a3. 因此b= + ,定义域为(3,+). (2)证明:由(1)知, = + . 设g(t)= + ,则g(t)= - = . 当t 时,g(t)0,从而g(t)在 上单调递增. 因为a3,所以a 3 , 故g(a )g(3 )= ,即 . 因此b23a. (3)由(1)知, f(x)的极值点是x1,x2, 且x1+x2=- a, + = . 从而f(x1)+f(x2)= +a +bx1+1+ +a +bx2+1,= (3 +2ax1+b)+ (3 +2ax2+b)+ a( + )+ b(x1
6、+x2)+2= - +2=0. 记f(x), f (x)所有极值之和为h(a), 因为f (x)的极值为b- =- a2+ , 所以h(a)=- a2+ ,a3. 因为h(a)=- a- 0, 于是h(a)在(3,+)上单调递减. 因为h(6)=- ,于是h(a)h(6),故a6. 因此a的取值范围为(3,6.,易错警示 (1)函数f(x)的极值点x0满足f (x0)=0,函数f(x)的零点x0满足f(x0)=0,而f (x)的极值点x0 应满足f (x0)=0.(2)求函数的关系式必须确定函数的定义域.,3.(2015江苏,19,16分)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,bR). (1
7、)试讨论f(x)的单调性; (2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-,- 3) ,求c的值.,解析 (1)f (x)=3x2+2ax,令f (x)=0,解得x1=0,x2=- . 当a=0时,因为f (x)=3x20(x0),所以函数f(x)在(-,+)上单调递增; 当a0时,若x (0,+),则f (x)0,若x ,则f (x)0,若x ,则f (x)0时, a3-a+c0或当a0时, a3-a+c0. 设g(a)= a3-a+c,因为函数f(x)有三个零点时,a的取值范围恰好是(-,-3) ,则在(-,-3)上,g(a)0均恒成
8、立, 从而g(-3)=c-10,且g =c-10,因此c=1. 此时, f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)x2+(a-1)x+1-a, 因函数f(x)有三个零点,故x2+(a-1)x+1-a=0有两个异于-1的不等实根,所以=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a -30,且(-1)2-(a-1)+1-a0, 解得a(-,-3) . 综上,c=1.,名师点睛 (1)求函数的单调区间的步骤:确定函数y=f(x)的定义域;求导数y=f (x),令f (x)= 0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根;把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标 和上面各实数根按由小到大的顺序排列
9、起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个 小区间;确定f (x)在各个区间内的符号,根据符号判断函数在相应区间内的单调性.(2)已知函 数的零点个数问题的处理方法:利用函数的单调性、极值画出函数的大致图象,数形结合求解. (3)已知不等式解集求参数的方法:利用不等式解集与对应方程根的关系找等量关系或不等关 系.,考点三 导数的实际应用与综合应用,1.(2019江苏,19,16分)设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,cR, f (x)为f(x)的导函数. (1)若a=b=c, f(4)=8,求a的值; (2)若ab,b=c,且f(x)和f (x)的零点均在集合-3
10、,1,3中,求f(x)的极小值; (3)若a=0,0b1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M .,解析 本题主要考查利用导数研究函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题 以及逻辑推理能力.满分16分. (1)因为a=b=c,所以f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=(x-a)3. 因为f(4)=8,所以(4-a)3=8,解得a=2. (2)因为b=c,所以f(x)=(x-a)(x-b)2=x3-(a+2b)x2+b(2a+b)x-ab2,从而f (x)=3(x-b) . 令f (x)=0,得x=b或x= . 因为a,b, 都在集合-3,1,3中,且ab, 不妨设ba,则b
11、a, 所以 =1,a=3,b=-3. 此时, f(x)=(x-3)(x+3)2, f (x)=3(x+3)(x-1). 令f (x)=0,得x=-3或x=1. 列表如下:,所以f(x)的极小值为f(1)=(1-3)(1+3)2=-32. (3)因为a=0,c=1,所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x3-(b+1)x2+bx, f (x)=3x2-2(b+1)x+b. 因为00, 则f (x)有2个不同的零点,设为x1,x2(x1x2). 由f (x)=0,得x1= ,x2= . 列表如下:,所以f(x)的极大值M=f(x1). 解法一: M=f(x1)= -(b+1) +bx1 =3 -2
12、(b+1)x1+b - x1+ = + + ( )3 = - + 3 + . 因此M . 解法二: 因为0b1,所以x1(0,1). 当x(0,1)时, f(x)=x(x-b)(x-1)x(x-1)2. 令g(x)=x(x-1)2,x(0,1),则g(x)=3 (x-1).,令g(x)=0,得x= .列表如下:,所以当x= 时,g(x)取得极大值,且是最大值,故g(x)max=g = . 所以当x(0,1)时, f(x)g(x) .因此M .,2.(2018江苏,17,14分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆 弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米
13、,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上 修建两个温室大棚,大棚内的地块形状为矩形ABCD,大棚内的地块形状为CDP,要求A, B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为. (1)用分别表示矩形ABCD和CDP的面积,并确定sin 的取值范围; (2)若大棚内种植甲种蔬菜,大棚内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之 比为43.求当为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.,解析 本题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识,考查直观想象和数学建模 及运用数学知识分析和解决实际问题的能力. (1)解法一:设PO的延长线交MN于H,则PHMN,所以OH=10
14、米. 过O作OEBC于E,则OEMN,所以COE=, 故OE=40cos 米,EC=40sin 米, 则矩形ABCD的面积为240cos (40sin +10) =800(4sin cos +cos )平方米, CDP的面积为 240cos (40-40sin ) =1 600(cos -sin cos )平方米. 过N作GNMN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,连接OG,则GK=KN=10米. 令GOK=0,则sin 0= ,0 . 当 时,才能作出满足条件的矩形ABCD, 所以sin 的取值范围是 .,答:矩形ABCD的面积为800(4sin cos +cos )平方米,CDP的面积为1
15、 600(cos -sin cos )平 方米,sin 的取值范围是 . 解法二:设PO的延长线交MN于H,则PHMN,所以OH=10米. 过O作OEBC于E,则OEMN,所以COE=, 故AB=2OE=240cos =80cos 米,OC=OP=40米,COP= -, 所以OPC=OCP= + . 设DC的中点为Q,则PQ= 米,AD= 米, 故矩形ABCD的面积为80cos =800(4sin cos +cos )平方米, CDP的面积为 DCPQ= = =1 600(cos -sin cos )平方米. 过N作GNMN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,连接OG,则GK=KN=10米. 令GOK=0,则sin 0= ,0 . 当 时,才能作出满足条件的矩形ABCD, 所以sin 的取值范围是 .,答:矩形ABCD的面积为800(4sin cos +cos )平方米,CDP的面积为1 600(cos -sin cos )平 方米,sin 的取值范围是 . 解法三:如图,设PO的延长线交MN于H,则OH=10米. 过O作OEBC于E,则OEMN,所以COE=, 以O为原点,OE所在直线为x轴,OP所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系. 则直线OC的方程为y=tan
