《（课标ⅰ卷）2020届高考数学一轮复习 第十二章 概率与统计 12.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差课件 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（课标ⅰ卷）2020届高考数学一轮复习 第十二章 概率与统计 12.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差课件 理（114页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差,高考理数 (课标专用),考点一 离散型随机变量及其分布列,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,1.(2019课标,21,12分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为 此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随 机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种 药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为 了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,则甲 药得1分,乙药
2、得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲药得-1 分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为和,一轮试验中 甲药的得分记为X.,(1)求X的分布列; (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认 为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,7),其中a=P(X=-1),b=P(X =0),c=P(X=1).假设=0.5,=0.8. (i)证明:pi+1-pi(i=0,1,2,7)为等比数列; (ii)求p4,并根据p4的值解释这
3、种试验方案的合理性.,解析 本题主要考查概率与数列的综合,考查离散型随机变量的分布列,等比数列的判定及累 加法的应用,考查学生灵活运用概率与数列知识去分析、解决实际问题的能力,综合考查学生 的逻辑推理能力、数学运算能力以及应用意识、创新意识. (1)X的所有可能取值为-1,0,1. P(X=-1)=(1-),P(X=0)=+(1-)(1-), P(X=1)=(1-). 所以X的分布列为,(2)(i)证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1. 因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1
4、).又因为p1-p0=p10,所以pi+1 -pi(i=0,1,2,7)是公比为4,首项为p1的等比数列. (ii)由(i)可得p8=p8-p7+p7-p6+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+(p1-p0)= p1. 由于p8=1,故p1= , 所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)= p1= . p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0. 8时,认为甲药更有效的概率为p4= 0.003 9,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试 验方案合理. 试题分析 本题以试验新药疗效为背景,命制了一个概
5、率与数列的综合性问题,试题很新颖,创 新度高,考查学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.本题层次分明,内容丰富,区分度较 高,使不同学生的理性思维的广度和深度得到了充分展示.,2.(2017课标,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售 价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每 天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气 温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的 订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温
6、数据,得下面的频数分布表:,以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位: 瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?,解析 本题考查随机变量的分布列,数学期望. (1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500, 由表格数据知 P(X=200)= =0.2, P(X=300)= =0.4, P(X=500)= =0.4. 因此X的分布列为,(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200n5
7、00. 当300n500时, 若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n; 若最高气温位于区间20,25), 则Y=6300+2(n-300)-4n=1 200-2n; 若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此EY=2n0.4+(1 200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n. 当200n300时, 若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n; 若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n. 所以n=300时,Y的数学期望达到
8、最大值,最大值为520元. 名师点拨 求离散型随机变量的分布列、均值与方差需过四关:“题目的理解关”.要抓住 题中关键字句,尽可能转化为自己熟悉的模型.“随机变量的取值关”.准确无误地找出随机,变量的所有可能取值.“事件的类型关”.概率问题中的事件涉及等可能事件、互斥事件、 对立事件、相互独立事件等,在计算相应的概率前要先确定事件的类型.“概率的运算关”. 运用公式P(A)= ,P(A+B)=P(A)+P(B),P(AB)=P(A)P(B),P(=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n)时,要 注意准确无误.,3.(2016课标,19,12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年
9、后即被淘汰.机器有一易 损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件 不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理 了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图: 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表,示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (1)求X的分布列; (2)若要求P(Xn)0.5,确定n的最小值; (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?
10、,解析 (1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2. 可知X的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22, P(X=16)=0.20.2=0.04; P(X=17)=20.20.4=0.16; P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24; P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24; P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2; P(X=21)=20.20.2=0.08; P(X=22)=0.20.2=0.04. (4分) 所以X的分布列为,(6分) (2)
11、由(1)知P(X18)=0.44,P(X19)=0.68,故n的最小值为19. (8分) (3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元). 当n=19时, EY=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4 040. (10分) 当n=20时, EY=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4 080. 可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19. (12分) 思路分析 (1)确定X的可能取值,分别求其对应的概率,进而可列出
12、分布列. (2)根据(1)中求得的概率可得P(X18)以及P(X19)的值,由此即可确定n的最小值. (3)求出n=19,n=20时的期望值,比较大小即可作出决策.,考点二 离散型随机变量的均值与方差 1.(2019课标,13,5分)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个 车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高 铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .,答案 0.98,解析 本题考查离散型随机变量的均值计算;考查抽象概括能力和运算求解能力;考查的核心 素养为数学抽象和数学运算. 设经停该站高铁列车所有车
13、次中正点率为0.97的事件为A,正点率为0.98的事件为B,正点率为 0.99的事件为C,则用频率估计概率有P(A)= = ,P(B)= = ,P(C)= = ,所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.97 +0.98 +0.99 =0.98.,2.(2017课标,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽 取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX= .,答案 1.96,解析 本题主要考查二项分布. 由题意可知XB(100,0.02),由二项分布可得DX=1000.02(1-0.02)=1.96.,3.(2018课标,20,12分)某工厂的
14、某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前 要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件做检 验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p (0p1),且各件产品是不是不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0. (2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产 品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿 费用. (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检
15、验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?,解析 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)= p2(1-p)18. 因此f (p)= 2p(1-p)18-18p2(1-p)17=2 p(1-p)17(1-10p). 令f (p)=0,得p=0.1,当p(0,0.1)时, f (p)0; 当p(0.1,1)时, f (p)400,故应该对余下的产品做检验.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 离散型随机变量及其分布列 1.(2019北京,17,13分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来
16、,移动支付已成为 主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中 随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下:,(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率; (2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于 1 000元的人数,求X的分布列和数学期望; (3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3 人,发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本 月支付金额大于2 000元的人数有变化?说明理由.,解析 本题主要考查用样本分布估计总体分布,离散型随机变量的分布列
