《2020届高考数学一轮复习 第二讲 函数与导数课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届高考数学一轮复习 第二讲 函数与导数课件（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二讲 函数与导数,高考预测:函数与导数是高考命题的主干之一,也是高考命题的重点,小题的命题点比较多,分段函数问题、函数的单调性与奇偶性的应用、基本初等函数的相关性质以及函数零点、导数的几何意义等是命题的热点,多属于中等以下难度,解答题以利用导数解决函数的极值与最值、不等式的证明、由不等式恒成立求参数以及函数零点问题为主,试题属于压轴题,有一定的难度.,一、函数的定义、表示与性质 1.函数定义域优先,即求解函数的任何问题,都要先求函数的定义域. (1)已知解析式求函数定义域的依据 偶次方根被开方数非负; 分母不为0; 对数的真数为正数; 正切函数y=tan x中xk+ (kZ). (2)求抽象
2、函数的定义域 若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式ag(x)b即可求出y=f(g(x)的定义域; 若y=f(g(x)的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得y=f(x)的定义域. (3)已知函数定义域求参数范围,可将问题转化成含参数的不等式(组),然后求解.,2.分段函数问题,坚持一个原则分段 (1)分段函数是一个函数,“分段求解”是解决分段函数问题的基本原则; (2)在求分段函数的值f(x0)时,要先判断x0属于定义域的哪个子集,再代入相应的解析式; (3)分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各解析式的取值集合的并集; (4)当自变量范围不确定时,要根据定义域
3、分成的不同子集进行讨论.,3.求函数的最值(值域)的五种方法,4.函数的单调性 掌握一个核心自变量与函数值大小的互化;两大工具导数与图象. (1)确定函数单调性的4种方法 直接法.识记基本初等函数的单调性. 性质法.利用函数单调性的性质,尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时,需先确定简单函数的单调性. 导数法.适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数. 图象法.由图象确定函数的单调区间需注意两点:一是单调区间必须是函数定义域的子集;二是图象不连续的,单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“”连接. 注意求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间.,(2)函数单调性应用问题的
4、3种常见类型及解题策略 比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决. 解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. 利用单调性求参数.视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数. 注意(1)区分两个概念:“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”,前者指函数具备单调性的“最大”的区间,后者是前者“最大”区间的子集. (2)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.,5.函数的奇偶性 注意定义域的
5、对称性,掌握式与图的特征 (1)判定函数奇偶性的3种常用方法 定义法,图象法,性质法 ()设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇. ()复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇,一偶则偶”. 注意(1)“性质法”中的结论在两个函数的公共定义域内才成立. (2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(-x)与f(x)的关系,只有各段上的x都满足相同关系时,才能判断其奇偶性.,(2)函数奇偶性的4个应用 求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. 求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶
6、性求出. 求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程(组),进而得出参数的值. 画函数图象:利用奇偶性可画出对称区间上的图象.,6.函数的周期性把握一个关系,即对称中心、对称轴与周期之间的关系(类比三角函数的性质) (1)判断函数周期性的方法 定义法.判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T0)便可证明函数是周期函数,且周期为T. 结论法.对f(x)定义域内任一自变量的值x. ()若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a0);,(2)函数周期性的应用 根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即利
7、用周期性可将未知区间上的函数值、解析式、图象转化到已知区间上,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(kZ且k0)也是函数的周期.,7.函数性质的综合应用 (1)函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性. (2)函数周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. (3)解决函数的奇偶性、周期性、单调性的综合问题通常先利用周期性转化到已知的自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.,二、基本初等函数 1.运算遵循规则,即遵循指数与对数的运算法则,进行运算
8、,遵循先化简后运算的原则. 2.性质应用,牢记底数要分类. (1)注意底数对指数函数与对数函数单调性的影响,若底数不确定,则需分类讨论. (2)注意指数函数与对数函数的性质之间的相互印证. (3)对于有关指数型与对数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数、对数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换求解.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. (4)有关指数或对数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型、对数型函数图象,数形结合求解.,3.比较指数值与对数值、幂值的大小 (1)单调性法:同底构函数,异底化同底; (2)中间值法:通过中间数比较大小,常借助0与1这两个特殊
9、值; (3)图象法:利用图象的直观性比较大小. 4.把握二次函数的图象与性质 (1)确定二次函数图象应关注的三个要点 一是二次项系数的符号,它确定二次函数图象的开口方向; 二是对称轴和最值,它确定二次函数图象的具体位置; 三是函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点,函数图象的最高点或最低点等. 从这三个方面入手,能准确地判断出二次函数的图象.反之,也可以从图象中得到如上信息.,(2)二次函数最值的求法 二次函数的区间最值问题一般有三种情况:对称轴和区间都是给定的;对称轴变动,区间固定;对称轴固定,区间变动.解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合,三点指的是区间两
10、个端点和中点,一轴指的是对称轴.具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解. 对于,通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论. (3)与二次函数有关的不等式恒成立的条件,af(x)恒成立af(x)max,af(x)恒成立af(x)min.,三、函数图象 1.识别函数图象(活用性质进行排除) 函数图象的识别可从以下五个方面入手: (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置; (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复; (5)从函数的特征点,排除不符合要求的图象.,2.
11、图象变换 (1)平移变换,(2)对称变换,(3)翻折变换,3.利用函数图象所解题型 (1)研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点常借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系. (2)研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标. (3)研究不等式 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求
12、解.,(4)活用两种数学思想 数形结合思想:借助函数图象,可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质;利用函数的图象,还可以判断方程f(x)=g(x)的解的个数、求不等式的解集等. 分类讨论思想:画函数图象时,如果解析式中含参数,那么要对参数进行讨论,分别画出其图象.,四、函数的综合应用 1.函数零点问题要把握一个等价关系,2.判定函数零点个数的三种方法 直接求零点.令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点. 利用函数性质判定.若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图象是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)f(b)0,则在区间(a,b)内,函数y=f(x
13、)至少有一个零点,即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解. 利用图象交点的个数判定.画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.,3.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 定义法:若函数y=f(x)的图象在区间a,b上是连续不断的,且f(a)f(b)0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点. 图象法:若一个函数由两个基本初等函数的和(或差)构成,则可考虑用图象法求解,如f(x)=g(x)-h(x),作出y=g(x)和y=h(x)的图象,其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.,4.解函数应用题需抓住一个核心建模,利
14、用所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题.,五、导数及其应用 1.导数的几何意义 导数的几何意义就是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面: (1)已知切点A(x0,f(x0)求斜率k,即求该点处的导数值k=f(x0). (2)若求过点P(x0,y0)的切线方程,可设切点为A(x1,y1),由,(3)函数图象上每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况. 注意函数y=f(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方
15、向,其大小|f(x)|反映了变化的快慢,|f(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.,2.导数与函数的单调性 (1)确定函数单调区间的步骤 确定函数f(x)的定义域. 求f(x). 解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间. 解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. 注意对解析式中含参数的函数,要根据参数的取值范围以及参数对导函数符号的影响进行分类讨论.,(2)根据函数单调性求参数的一般思路 利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集. f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a,b)都有f(x)0且在(a,b
16、)内的任一非空子区间上,f(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解. 函数在某个区间内存在单调区间可转化为不等式有解问题.,3.导数与函数的极值与最值 (1)求函数f(x)极值的一般解题步骤 确定函数的定义域; 求导数f(x); 解方程f(x)=0,求出函数定义域内的所有根; 列表表示f(x)在每一个根的左右两侧的正负情况; 确定极值. (2)根据函数极值情况求参数的两个要领 列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解. 验证:求解后验证根的合理性.,(3)求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤 求函数在(a,b)内的极值. 求函数在区间端点的函数值f(a),f(b). 将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. (4)利用导数解决不等式恒成立问题的两
