《（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 8.3 合情推理与演绎推理课件 理 新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 8.3 合情推理与演绎推理课件 理 新人教a版（91页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 合情推理与演绎推理(全国卷5年3考),【知识梳理】 1.合情推理 (1)归纳推理 定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该 类事物的_对象都具有这些特征的推理,或者由个别 事实概括出_的推理,称为归纳推理(简称归纳).,全部,一般结论,特点:由_到整体、由_到一般的推理.,部分,个别,(2)类比推理 定义:由两类对象具有某些_和其中一类 对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些 特征的推理称为类比推理(简称类比). 特点:由_到_的推理.,类似特征,特殊,特殊,(3)合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、 分析、比较、联想,再进行归纳、_,然后提出猜 想的
2、推理,我们把它们统称为合情推理.,类比,2.演绎推理 (1)演绎推理 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论, 我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是 由_到_的推理.,一般,特殊,(2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: 大前提已知的_; 小前提所研究的_; 结论根据一般原理,对_做出的判断.,一般原理,特殊情况,特殊情况,【常用结论】 1.类比推理的注意点 在进行类比推理时要尽量从本质上去类比,不要被表面现象迷惑,如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比,那么就会犯机械类比的错误.,2.合情推理的注意点 (1)合情推理是合乎情理的推理. (2)合情推理既可以发现结论,
3、也可以发现思路与方向.,3.演绎推理的特征 演绎推理是由一般到特殊的推理.它常用来证明和推理数学问题,解题时应注意推理过程的严密性,书写格式的规范性.,【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误(正确的打“”错误的打“”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确. ( ),(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理. ( ) (3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适. ( ) (4)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确. ( ),提示:根据合情推理和演绎推理的相关定义知(1)(3)(4)是错误的,(2)
4、是正确的. 答案:(1) (2) (3) (4),2.正弦函数是奇函数,f(x)=sin (x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin (x2+1)是奇函数,以上推理 ( ) A.结论正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.全不正确,【解析】选C.f(x)=sin (x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确.,3.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列结论:,垂直于同一个平面的两条直线互相平行; 垂直于同一条直线的两条直线互相平行; 垂直于同一个平面的两个平面互相平行; 垂直于同一条直线的两个平面互相平行. 则正确的结论是_.(填序号),【解析】显然正
5、确;对于,在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行,也可以异面或相交;对于,在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行,也可以相交. 答案:,题组二:走进教材 1.(选修2-2P71 例1改编 )在数列an中,a1= 且 Sn=n(2n-1)an,通过计算a2,a3,a4,猜想an的表达式 是an=_.,【解析】当n=2时,a1+a2=6a2,即a2= a1= ; 当n=3时,a1+a2+a3=15a3, 即a3= (a1+a2)= ; 当n=4时,a1+a2+a3+a4=28a4, 即a4= (a1+a2+a3)= .,所以a1= = ,a2= 故猜想an= 答案:,2.(选修2-2P74
6、例3改编)在RtABC中,若C=90, AC=b,BC=a,则ABC外接圆半径r= 运用类比 方法,若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别 为a,b,c,则其外接球的半径R=_.,【解析】通过类比可得R= .证明:作一个在 同一个顶点处棱长分别为a,b,c的长方体,则这个长方 体的体对角线的长度是 ,故这个长方体的外 接球的半径是 ,这也是所求的三棱锥的外接 球的半径. 答案:,考点一 类比推理 【题组练透】 1.等差数列an的公差为d,前n项的和为Sn,则数列 为等差数列,公差为 .类似地,若各项均为正数 的等比数列bn的公比为q,前n项的积为Tn,则等比数 列 的公比为 ( ),【解析】
7、选C.由题设,得Tn=b1b2b3bn =b1b1qb1q2b1qn-1= q1+2+(n-1)= 所以 所以等比数列 的公比为 .,2.在平面上,设ha,hb,hc是ABC三条边上的高,P为三角 形内任一点,P到相应三边的距离分别为Pa,Pb,Pc,我们 可以得到结论: =1.把它类比到空间,则三 棱锥中的类似结论为_.,【解析】设ha,hb,hc,hd分别是三棱锥A-BCD四个面上 的高,P为三棱锥A-BCD内任一点,P到相应四个面的 距离分别为Pa,Pb,Pc,Pd,于是可以得出结论: 答案:,3.(2018中山模拟)在ABC中,不等式 成立;在凸四边形ABCD中,不等式 成立;在凸五边
8、形ABCDE中,不等式 成立依此类推,在凸n边形A1A2An中,不等式 _成立.,【解析】因为 所以 (nN*,n3). 答案: (nN*,n3),【变式备选】如图,在RtABC中,C=90,设a,b,c分别表示三条边的长度,由勾股定理,得c2=a2+b2.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.,【解析】如题图所示,在RtABC中,C=90. 设a,b,c分别表示3条边的长度,由勾股定理,得c2=a2+b2.,类似地,在四面体P-DEF中,PDF=PDE=EDF=90. 设S1,S2,S3和S分别表示PDF,PDE,EDF和PEF的 面积,相应于直角三角形的2条直角边a
9、,b和1条斜边c, 图中的四面体有3个“直角面”S1,S2,S3和1个“斜 面”S.于是,类比勾股定理的结构,我们猜想S2= 成立.,【互动探究】若本例3中条件“由勾股定理,得c2=a2 +b2”换成“cos 2A+cos2B=1”,则在空间中,给出四面体性质的猜想.,【解析】如图,在RtABC中, cos 2A+cos 2B=,于是把结论类比到四面体P-ABC中,我们猜想, 四面体P-ABC中,若三个侧面PAB,PBC, PCA两两互相垂直,且分别与底面所成的角为 ,则cos 2+cos 2+cos 2=1.,【规律方法】类比推理的分类,考点二 演绎推理 【典例】(1)(2018洛阳模拟)下
10、列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是 ( ) A.大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:是无理数;结论:是无限不循环小数,B.大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:是无限不循环小数;结论:是无理数 C.大前提:是无限不循环小数;小前提:无限不循环小数是无理数;结论:是无理数 D.大前提:是无限不循环小数;小前提:是无理数;结论:无限不循环小数是无理数,(2)数列an的前n项和为Sn,已知a1=1, an+1= Sn(nN*).证明: 数列 是等比数列; Sn+1=4an.,【解析】(1)选B. A中小前提不是大前提的特殊情况,不符合三段论的推理形式,故A错误;C,D都不是由一
11、般性命题到特殊性命题的推理,所以C,D都不正确,只有B正确.,(2)因为an+1=Sn+1-Sn,an+1= Sn, 所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn. 故 =2 ,(小前提) 故 是以2为公比,1为首项的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义),由可知 所以Sn+1=4(n+1) =4an(n2).(小前提) 又因为a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) 所以对于任意正整数n,都有Sn+1=4an.(结论),【规律方法】演绎推理的推证规则 (1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解决问题时,应
12、当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略. (2)在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成.,【对点训练】 已知函数y=f(x)满足:对任意a,bR,ab,都有af(a) +bf(b)af(b)+bf(a),试证明:f(x)为R上的单调递增函数.,【证明】设x1,x2R,取x1x1f(x2)+x2f(x1), 所以x1f(x1)-f(x2)+x2f(x2)-f(x1)0, f(x2)-f(x1)(x2-x1)0, 因为x10,f(x2)f(x1). 所以y=f(x)为R上的单调递增函数.,【变式备选】设各项均为正数的数列an的前n项和为 Sn,满足
13、4Sn= -4n-1,nN*,且a2,a5,a14构成等比数 列. (1)证明:a2= (2)求数列an的通项公式. (3)证明:对一切正整数n,有,【解析】(1)当n=1时,4a1= -5, =4a1+5, 又因为an0,所以a2=,(2)当n2时,4Sn-1= -4(n-1)-1, 所以4Sn-4Sn-1=4an= - -4, 即 = +4an+4=(an+2)2, 又因为an0,所以an+1=an+2, 所以当n2时,an是公差为2的等差数列. 又因为a2,a5,a14成等比数列,所以 =a2a14,即(a2+6)2=a2(a2+24), 解得a2=3. 结合(1)知a1=1, 又因为a
14、2-a1=3-1=2, 所以数列an是首项a1=1,公差d=2的等差数列. 所以an=2n-1.,考点三 归纳推理 【明考点知考法】 归纳推理是每年高考的常考内容,题型多为选择题或填空题,难度稍大,属中高档题.高考常考与数字(数列)有关的等式的推理,与不等式(式子)有关的推理,与图形变化有关的推理等问题.,命题角度1 与数字有关的等式的归纳推理 【典例】由一个奇数组成的数阵排列如下: 1 3 7 13 21 5 9 15 23 11 17 25 19 27 ,29 则第30行从左到右第3个数是_.,【解析】观察每一行的第一个数,由归纳推理可得第 30行的第1个数是1+4+6+8+10+60=
15、-1=929. 又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n,第3个数比 第2个数大2n+2,所以第30行从左到右的第2个数比第 1个数大60,第3个数比第2个数大62,故第30行从左到右 第3个数是929+60+62=1 051. 答案:1 051,【状元笔记】 数字排列问题的解题方法:先从行的规律归纳开头与末尾的数与所在行的关系式,再从列的规律归纳数与所在行的关系式,最后归纳表中各个数与行列的关系式,命题角度2 与式子有关的归纳推理 【典例】(2016山东高考)观察下列等式:,照此规律, =_.,【解析】每组角的分母恰好等于右边两个相邻正 整数因数的和.因此答案为 n(n+1). 答案: n(n+1),【状元笔记】 与式子有关的推理 (1)与不等式有关的归纳推理:观察所给几个不等式两边式子的特点,注意纵向看、找出隐含规律. (2)与数列有关的归纳推理:通常是先求出几个特
