1 2019 年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛 暨 2019 年福建省高中数学竞赛试卷参考答案 2019 年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛 暨 2019 年福建省高中数学竞赛试卷参考答案 （考试时间：2019 年 5 月 19 日上午 9：00－11：30，满分 160 分） 一、填空题（共 10 小题，每小题 6 分，满分 60 分请直接将答案写在题中的横线上） （考试时间：2019 年 5 月 19 日上午 9：00－11：30，满分 160 分） 一、填空题（共 10 小题，每小题 6 分，满分 60 分请直接将答案写在题中的横线上） 1． 已知 2 ( )2f xxx， 集合( ( ))0Axf f x， 则集合A中所有元素的和为 【答案】【答案】4 【解答】【解答】方程( ( ))0f f x化为 2 (2 )0f xx，即 222 (2 )2(2 )0xxxx ∴ 22 (2 )(22)0xx xx 解得， 1 0x ， 2 2x ， 3 13x ， 4 13x ∴ 0 2 13 13A ，，，，A中所有元素的和为 4。
2.在ABC△中，若2AC ，2AB ，且 3sincos5 tan 123cossin AA AA ，则BC 【答案】【答案】2 【解答】【解答】由 3sincos5 tan 123cossin AA AA ，得 2sin() 5 6 tan 12 2cos() 6 A A ，即 5 tan()tan 612 A ∴ 5 612 Ak ，kZ结合0A，得 5 612 A ， 4 A ∴由余弦定理，得 22222 2cos( 2)222 2 cos2 4 BCACABAC ABA ∴2BC 2 3．函数 2 ( )2f xxxx的值域为 【答案】【答案】021 ， 【解答】解法一：【解答】解法一： 2 ( )1 (1)f xxx 设1sinx （ 22 ） ，则( )cos(1 sin)2sin() 1 4 f x 由 22 ，得 3 444 ， 2 sin()1 24 。
∴( )f x值域为021 ， 解法二：解法二： 22 221 ( )11 2 22 xx fx xxxx （02x） ∵ 2 01 2 x 时，( )0fx； 2 12 2 x时，( )0fx ∴( )f x在区间 2 0 1 2 ，上为增函数，在区间 2 12 2 ，上为减函数 ∴( )f x值域为021 ， 4．已知复数z， 1 z， 2 z（ 12 zz）满足 22 12 22 3zzi ，且 12 4zzzz，则 z 【答案】【答案】2 3 【解答】【解答】先求复数22 3 i 的平方根 设 2 ()22 3xyii （x，yR） ，则 22 ()222 3xyxyii 22 2 22 3 xy xy ，解得 1 1 1 3 x y ， 2 2 1 3 x y 由 22 12 22 3zzi ， 12 zz，知 1 z、 2 z为复数22 3 i 的两个平方根。
由对称性，不 妨设 1 13zi ， 2 13zi 于是， 12 4zz， 1212 4zzzzzz，复数z， 1 z， 2 z对应的点Z， 1 Z， 2 Z构成边长为 4 的正三角形 又复数 1 z， 2 z对应的点 1 Z， 2 Z关于原点O对称， ∴OZ为 12 ZZ Z△的高，故2 3zOZ 3 5．已知 32 ( )2f xxaxbx的图象关于点(2 0)，对称，则(1)f 【答案】【答案】4 【解答】解法一：【解答】解法一：由( )f x的图象关于点(2 0)，对称，知 3232 (2)(2)(2)(2)2(6)(412)4210f xxa xb xxaxbaxab为 奇 函数 ∴ 60 42100 a ab ， 6 7 a b ∴(1)121 6724fab 解法二：解法二：由( )f x的图象关于点(2 0)，对称，知 对任意xR，(2)(2)0fxfx 于是，对任意xR， 3232 (2)(2)(2)2(2)(2)(2)20xaxbxxaxbx。
即 2 (212)(8220)0axab恒成立 ∴ 2120 84200 a ab ， 6 7 a b ∴(1)121 6724fab 解法三：解法三：依题意，有 3 ( )(2)(2)f xxm x 利用(0)822fm ，得5m 于是， 3 ( )(2)5(2)f xxx，(1)1 ( 5)4f 4 6． 如图， 在三棱锥PABC中，PAABC 平面，120ABC，4PA 若三棱锥PABC 外接球的半径为2 2，则直线PC与ABC平面所成角的正切值为 【答案】【答案】 2 3 3 【解答】【解答】 如图， 设 1 O为ABC△的外心，O为三棱锥PABC 外接球的球心 由PAABC 平面， 1 OOABC 平面，知 1 PAOO∥ 取PA中点D，由2 2OPOA，知D为PA中点，且四 边形 1 DAOO为矩形 又4PA ， ∴ 1 2OOAD，ABC△外接圆的半径 1 2rO A 在ABC△中，由2 sin AC r ABC ，得 2 2 sin1202 3AC 。
∴ 42 3 tan 32 3 PA PCA AC ∴PC与ABC平面所成角的正切值为 2 3 3 （第（第 6 题图）题图） （第（第 6 题答题图）题答题图） 5 7．已知椭圆 1 C： 22 22 1 xy ab （0ab）与双曲线 2 C： 22 22 1 xy mn （0m ，0n ）有 相同的焦点 1 F、 2 F，其中 1 F为左焦点点P为两曲线在第一象限的交点， 1 e、 2 e分别为曲线 1 C、 2 C的离心率，若 12 PFF△是以 1 PF为底边的等腰三角形，则 21 ee的取值范围 为 【答案】【答案】 2 () 3 ， 【解答】【解答】设双曲线的焦距为2c 则依题意，有 212 2PFFFc， 1 2222PFacmc， 1 c e a ， 2 c e m 由 12 2121 222 422 PFacPFc PFFFcPFac ，得 2 3 ac ac ，于是， 1 11 32 e 又 1 2 1 21 2 ecc e mace ∴ 1 211 1 1 2 e eee e 。
设 1 1 2et，则 1 (0) 3 t，， 1 211 1 1111 () 1 1 2222 ett eeet ett 由 11 ( )() 1 2 f tt t 在区间 1 (0) 3 ，上为减函数，得 ( )f t值域为 2 () 3 ， ∴ 21 ee的取值范围为 2 () 3 ， （第（第 7 题答题图）题答题图） 6 8．已知I为ABC△的内心，且54()IABICI uu ruu ruu r 记R、r分别为ABC△的外接圆、内切 圆半径，若15r ，则R 【答案】【答案】32 【解答】解法一：【解答】解法一：取BC中点D，依题意，有54()8IAIBICID uu ruu ruu ruu r ∴A、I、D共线，ABAC 由15rID，知24IA 作IEAB于E， 则15IEID， 155 sin 248 BAD， 39 cos 8 BAD， 5 tan 39 BAD ∴ 5 22tan2 3910 39 39 BCBDADBAD 又 5395 39 sinsin22 8832 BACBAD。
∴ 32 210 3964 sin5 39 BC R BAC ，32R 解法二：解法二：依题意，有5440IAIBIC uu ruu ruu ruu r 由三角形内心的向量表示：若a、b、c分别为ABC△的内角A、 B、C的对边，I为ABC△的内心，则0aIAbIBcIC uu ruu ruu ruu r 可得，: :5:4:4a b c ，设10ak，则8bck. 作ADBC于D，则39ADk， 2 1 5 39 2 ABC SBCADk △ 又15r ， 1 ()13 2 ABC SABBCCA rkr △ ，因此， 13 15 39 5 39 k 又 39 sin 8 AD B AB ∴ 88 28 3964 sinsin39 bk R BB ，32R （第（第 8 题答题图）题答题图） 7 9．已知集合1 2 3 4 5U ，，，，，IXXU，从集合I中任取两个不同的元素A、 B，则AB中恰有 3 个元素的概率为 【答案】【答案】 5 62 【 解 答 】【 解 答 】 当AB确 定 后 ， 如3 4 5AB，，时 ， 设3 4 5A A ，，， 3 4 5B B ，，，AB ， 则AB，的 情 况 有 ： 1，，2，， 1 2， ，， 12，，共 4 种情形。
∴所求的概率为 3 5 2 32 410 4 25 32 3162 C C 10．已知 532 ( )10f xxxaxbxc，若方程( )0f x 的根均为实数，m为这 5 个实根 中最大的根，则m的最大值为 【答案】【答案】4 【解答】【解答】设( )0f x 的 5 个实根为 1234 xxxxm，则由韦达定理，得 1234 0mxxxx， 1234121314232434 ()()10m xxxxx xx xx xx xx xx x 于是， 2 121314232434 10x xx xx xx xx xx xm ∴ 22222 12341234121314232434 ()2()xxxxxxxxx xx xx xx xx xx x 222 2( 10)20mmm 另一方面，由柯西不等式，知 22222 12341234 ()4()xxxxxxxx 于是， 22 4(20)mm， 2 16m ，4m 又对 4532 ( )(4)(1)1020154f xxxxxxx，方程( )0f x 的根均为实数，且 5 个 实根中最大的根4m 。