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1、1第十三章 机械振动一. 选择题: C 1. （基础训练 4） 一质点作简谐振动，周期为 T当它由平衡位置向 x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12 (B) T /8 (C) T /6 (D) T /4【提示】如图，在旋转矢量图上，从二分之一最大位移处到最大位移处矢量转过的角位移为 ，即 ，所以对应的时间为3 t.32/6Tt B 2. （基础训练 8） 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为 (A) (B) 23(C) (D) 01【提示】如图，用旋转矢量进行合成，可得合振动的振幅为 ,初相位
2、为 .2A B 3、 （自测提高 2）两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同第一个质点的振动方程为 x1 = Acos(t + )当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处则第二个质点的振动方程为 (A) (B) )cos(2tAx )21cos(2tAx(C) 23(D) )cs(2tx【提示】由旋转矢量图可见，x 2 的相位比 x1 落后 /2 。 B 4、 （自测提高 3）轻弹簧上端固定，下系一质量为 m1 的物体，稳定后在 m1下边又系一质量为 m2 的物体，于是弹簧又伸长了 x若将 m2 移去，并令其振动，则振动周期为A21 o x
3、x x t O A/2 -A x1x2 1A2合xOA2A12(A) (B) gmxT12gmxT21(C) (D) 2 )(21【提示】对轻弹簧和 m1 构成的弹簧振子，其周期表达式： ；1Tk因为加载另一质量为 m2 的物体后弹簧再伸长 x， 显然 ，由此得 ；2mgx2mgx代入周期公式，即可求出周期 T. C 5、 （自测提高 6）如图 13-24 所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为 m 的物体，再用此弹簧改系一质量为 4m 的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧并联后悬挂质量为 m 的物体，则这三个系统的周期值之比为 (A) 12 (B) 1 2 /(C) 12 (D) 121/
4、4 【提示】从左到右三个弹簧振子分别记为 1，2 和 3；第一个： ； 第二个：11, kTm 12, 4kTm第三个：将一根弹簧一分为二，每节的弹性系数变成 2k，然后并联，总的弹性系数为 4k，所以 ； 得： .31342, 2123:T D 6、 （自测提高 7）一物体作简谐振动，振动方程为 则)21cos(tAx该物体在 t = 0 时刻的动能与 t = T/8（T 为振动周期）时刻的动能之比为：(A) 1:4 (B) 1:2 (C) 1:1 (D) 2:1 (E) 4:1【提示】在 t=0 时， ，势能 ，动能 ；cos02xA0pE21KEkt=T/8， ，势能 ，所以动能为cs(
5、)42214pkxA.21KpEkA图 13-24m 4m m 3二 填空题1、 （基础训练 12）一系统作简谐振动, 周期为 T，以余弦函数表达振动时，初相为零在 0t 范围内，系统在 t =T/8 时刻动能和势能相等 T4【提示】初相为零，所以 ，在 0t 范围内， ；依题意，动()cosxA410Ax能和势能相等，为总能量的一半，即 ， ，所以 ，221kx4t.48Tt2、 （基础训练 15）一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动,当这物块的位移等于振幅的一半时,其动能是总能量的 3/4（设平衡位置处势能为零） 当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长l，这一振动系统的周期为 gl2【提示】当
6、物体偏离平衡位置为振幅的一半时， ， ，2Ax22184PEEkxA；3 4kPE当物体在平衡位置时，合力为零： ， ，mgklmgkl.22lTk3、 （基础训练 16）两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为： (SI) ， (SI) )215cos(1062tx )5cos(102tx它们的合振动的振辐为 ，初相为0(m08.43tg【提示】用旋转矢量图求解。由图可见： 0112243.86)(tgtA或用公式计算： 22 121210cos(5) , , A0.6m, 0.; xtAA2A142 211210cos()0()sini 318.4coAAmtgtg4、 （自测提高
7、8）在静止的升降机中，长度为 l 的单摆的振动周期为 T0当升降机以加速度 竖直下降时，摆的振动周期 ga2102T【提示】当升降机以加速度加速下降时，对于单摆，等效加速度为 ；所以，单12ga摆的周期变为 02lTga5 （自测提高 13）一台摆钟每天慢 2 分 10 秒，其等效摆长 l = 0.995 m， 摆锤可上、下移动以调节其周期假如将此摆当作质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向上移动 2.99mm，才能使钟走得准确？【提示】钟摆周期的相对误差 钟的相对误差 ，等效单摆的周期T/t/，这里 g 不变，则有 ，2/Tl12dl得： 302.95.946tll m6、 （自测
8、提高 14）两个互相垂直的不同频率谐振动合成后的图形如图 13-27 所示由图可知 x 方向和 y 方向两振动的频率之比 xy =4:3 【提示】 x ： y = y 方向的交点数：x 方向的交点数 = 4：3三 计算题1、 （基础训练 19）一木板在水平面上作简谐振动，振幅是 12 cm，在距平衡位置 6 cm 处速率是 24 cm/s如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动（振动频率不变） ，当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩擦系数 为多少？解：（）对于木板：由已知条件：振幅 A=12cm；并且当 x=6cm 时，v=24
9、cm/s ，根据机械能守恒，有： ，22211kAxmv将已知数据代入得： ，解出()64216(/)3krads在最大位移处，加速度也达到最大值， 22/4cAam（）对于物块：水平方向的合力为静摩擦力。在最大位移处，摩擦力为最大静摩擦力，故图 13-27x y 5tA2t/42，magf065.894.gm2、 （基础训练 20）一质点作简谐振动，其振动方程为 (SI) )413cos(10.62tx (1) 当 x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？(2) 质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？ 解：（1）系统的势能为 ，系统的总能量为 ，2PEkx21EkA依题意 1所以
10、 2xA得 2310()m（2）由旋转矢量图可见，质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间满足： )(43,4stt 3. （基础训练 23）有两个同方向的简谐振动，它们的方程(SI 单位) 如下： 410cos6.4310cos5. 21 txtx，(1) 求它们合成振动的振幅和初位相。 (2) 若另有一振动 ，)0cos(7.3tx问 为何值时， 的振幅为最大； 为何值时， 的振幅为最小。312解：（1）由旋转矢量图可见，合振动的振幅为 2210.5.60.78()Am初相位为 110024.4Atgtg或 1 1003.5sin0.6sin4tata84.coco4 A2AA1/4 /4
11、6(2) 若另有一振动 ，要使 振幅最大，则 同相，即)10cos(7.3tx31x31x和，取 ，得 ；102, 02n 合n04为了使 的振幅最小，则 x2 和 x3 反相，即3x，取 ，得 .20, ,1 =+合 2054. （基础训练 24） 有一轻弹簧，下悬质量为 1.0 克的物体时，伸长量为 4.9 厘米；用这个弹簧和一个质量为 8.0 克的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开 1.0 厘米后，给予向上的初速度 厘米/秒。试求小球的振动周期及振动的表式。0.5v解：(1)m=1.0g ，x=4.9cm， ，得：kxmg;20.19.804mgNkx（2）设 m=8.0g，则
12、；sradmk/51082.3；)(4.05sT（3）设小球的振动表达式为： ；)cos(0tAx由初始条件：t=0 时， 00 01., sin5./vAcms得： ， )(220mvxA0001,4tgx所以，小球的振动表达式为： （m）)45cos(12tx5、 （自测提高 16）一简谐振动的振动曲线如图 13-28 所示，求该谐振动的振动周期和初相。解：设简谐振动的表达式为 ，由图中可见，0cosxAt时， ，且 ，故初0t0cos2xA0v相位为 .3时， ，且 ，2ts2cos03x2v图 13-285t (s) 2 x(cm)o-10107故此时的相位为 ，即 ， ，得32327
13、124 ()Ts【或者，画出旋转矢量图求解。 】【附加题】1 （自测提高 20）一定滑轮的半径为 R，转动惯量为 J，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为 m 的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所示设弹簧的劲度系数为 k，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力现将物体 m 从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率证明：对滑轮和物体做受力分析，如图。平衡位置： ，kgxkg00m处 ， 得以此作为原点，向下为 x 轴正方向建立坐标系（如图） 。设物体由平衡位置向下拉伸 x，则有1220 (1)2 (3)()4TaRJkx联立解出 ，又xJmRa22dtxa所以 这是典型的谐振方程，所以,022kdtx物体作谐振。并且 .JmRk22、 （自测提高 21）质量为 的圆盘挂在劲度系数为 k 的轻弹簧下，0并处于静止状态，如图 13-30 所示。一质量为 m 的物体，从距圆盘为 h的高度自由下落，并粘在盘上和盘一起振动。设物体和盘相碰瞬间 t=0，而且碰撞时间很短。取碰后系统的平衡位置为坐标原点，竖直向下为坐标的正方向。试求系统的振动方程。解：设系统的振动方程为 .（1）0cos()xAtmO x mg T T T m k图 13-30mM h8以下确定三个特征量。（1）依题意，系统由轻弹簧（k）
