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1、第三章 多维随机变量 考试模拟题（本卷共 100 分）一、选择题（每题 2 分共 20 分）1.设二维随机变量（X、Y）的联合分布为（）则 PXY=0=（）A. B.C. D.1 4112543解 1：PXY=0= PX=0，Y=0+ PX=0，Y=5+PX=2，Y=0=1/4+1/6+1/3=3/4解 2：PXY=0=1- =1- PX=2，Y=5=1-1/4=3/40XYP2.设两维随机变量（X,Y）的分布律为下表,则 PXY=1=( )YX-1 0 1-1 0.2 0.1 0.11 0.3 0.2 0.1A.0.4 B. 0.5 C. 0.3 D.0.2解：PXY=1=PX=-1,Y=-
2、1+P(X=1,Y=1)=0.2+0.1=0.3 选 C3已知 X，Y 的联合概率分布如下所示XY-1 0 20 0 1/6 5/121/3 1/12 0 01 1/3 0 0F（x,y）为其联合分布函数，则 F（0， ）= （ ）31YX0 50 41612 4A0 BC D126141解析： ， （阴影部分概率之和）选 D/02/03,)3,( YXPF注意：本题主要看你对离散型分布函数： 的理解。,),(yYxXPyxF4.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 F(x,y). 其联合概率分布为下表YX0 1 2-1 0.2 0.1 0.10 0 0.3 02 0.1 0 0.2则 F
3、（0,1）=A.0.2 B.0.6 C.0.7 D.0.8解析：同上题一样： 0.2+0.1+0+0.3=0.6 选 B1,0)1,0(YXPF5设随机变量 X， Y 相互独立，其联合分布为则有（ ）A B92,1 91,2C D3, 3,解析：根据离散型分布律性质：全部概率之和为 1 +=1/3，只有 A.B.符合，排除 C.D. 因为 X 与 Y 独立，所以有:PX=1PY=2=PX=1,Y=2 即（1/3）(1/9+）=1/9 =2/9PX=1PY=3=PX=1,Y=3 即(1/3)(1/18+)=1/18 =1/9，选 B.6.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为下列 ，则常数 c=（
4、 ）),(yxfC 01=1/8),(yxf2101=2 81)2(|)5.041(|4112505021 ydyxdy。解 2：由密度函数看出是二维均匀分布：PX1=2812定 义 区 域 面 积所 求 区 域 面 积三、计算题（共 60 分）1、在分别标有 1，2，3，3 的四张卡片中，每次取一张，取后不放回，取二次，以 X 表示第一次取的号码，Y 表示第二次取的号码。（12 分）求 （1）X,Y 的联合分布（2）X,Y 的边缘分布 （3）X 与 Y 是否互相独立？解析：(1) （计算见表内式子，结果见红字）（2）（边缘分布见“边缘”阴影部分）YX1 2 3 ,ip1 (1/4)(0/3)
5、=0 (1/4)(1/3)=1/12 (1/4)(2/3)=2/12 1/42 (1/4)(1/3)=1/12 (1/4)(0/3)=0 (1/4)(2/3)=2/12 1/43 (2/4)(1/3)=2/12 (2/4)(1/3)=2/12 (2/4)(1/3)=2/12 1/2jp,1/4 1/4 1/2(3)不独立，检验:PX=1,Y=1=0PX=1PY=1=(1/4)(1/4)=1/16。2设二维随机变量(X,Y)的概率密度为（8 分）2 x0， xe 10y),(yxf0 其它（1） 求(X,Y)分别关于 X,Y 的边缘概率密度 ，)(xf)yf（2） 判断 X 与 Y 的独立性，说
6、明理由解析：（1） = 2 dy=2 ； = 2 dx=- =1)(xf10xex2)(yf0xex20(2) 2 = =2 *1,所以 X 与 Y 独立),(yfx)(fyx23设二维随机变量(X,Y)的概率密度为（16 分）C ,yx210xy),(yxf0 其它(1) 求常数 c(2) 求(X,Y)分别关于 X,Y 的边缘概率密度 ， )(xf)yf(3) 判断 X 与 Y 的独立性，说明理由(4) 求 PX0.5,Y0.5解析：（1） C dxdy=C dy=C = =1,得 c=610yx210102ydx103x2yc6（2） = = =3 = = =)(xf1026yd)1(02
7、yx2x)(yf102dx)31(0yy2(3) 6 = =3 2 ,所以 X 与 Y 独立),(f2)(fxy（4）PX0.5,Y0.5=6 dy=6 15.015.02d15.03x15.02y=(1-0.53)(1-0.52)=0.656254设二维随机变量(X,Y)的分布律为（8 分）YX0 10 28/100 42/1001 12/100 18/100(1) 求 X,Y 的边缘分布(2) 判断 X 与 Y 的独立性，说明理由解析：（1）先求出边缘分布（如表）（2）4 组数据经检验都满足：PX=x,Y=y=PX=xPY=y,所以 X,Y 独立。YX0 1 ,ip0 28/100 42/
8、100 70/1001 12/100 18/100 30/100jp,40/100 60/100 15设随机变量 X,Y 互相独立，且 X,Y 的分布律分别为（8 分）X 0 1 Y 1 2P 1/4 3/4 P 1/3 2/3求（1）两维随机变量（X,Y）的分布律(2)随机变量 Z=X+Y 的分布律解析：（1）分布律YX1 20 (1/4)(1/3)=1/12 (1/4)(2/3)=2/121 (3/4)(1/3)=3/12 (3/4)(2/3)=6/12（2）随机变量 Z=X+Y 的分布Z=X+Y 1 2 3P 1/12 3/12+2/12=5/12 6/126设(X,Y)的分布律为(8
9、分)YX0 1 20 1/15 a 1/51 b 1/5 3/10问（1）a,b 为何值时 X 与 Y 互相独立？（2）PX+Y=2解析：(1)先求出边缘分布（如表）YX0 1 2 ,ip0 1/15 a 1/5 a+4/151 b 1/5 3/10 b+5/10jp,b+1/15 a+1/5 5/10 1由独立的条件 （5/10）(a+4/15）=1/5，得 a=2/15， (5/10)(b+5/10)=3/10, 得 b=1/10本题采用了 PX=1,Y=2和 PX=1,Y=2的数据，列出方程求 a,b，用其它数据也可以，但可能会比较繁。(2) PX+Y=2=PX=0,Y=2+PX=1,Y=1=(1/5)+(1/5)=2/5
