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1、第4章 连续时间Fourier变换,上一章，我们研究了如何把周期信号分解为指数信号的线形叠加，这样对于我们的信号处理是非常方便的。同时，也看到这一表示是如何用来描述LTI系统对这些信号的作用效果的。那么，能否对非周期信号进行类似的处理？本章便是研究由周期信号推导到非周期信号的扩展。,2 而对于非周期信号，它们则是在频率上无限小地靠近的。,将会看到，相当广泛的一类信号，其中包括全部有限能量的信号，也能够经由复指数信号的线性组合来表示。,1 对周期信号而言，这些复指数基本信号构造单元全是成谐波关系的；,4.0 引言,因此，作为线性组合表示所取的形式是一个积分，而不是求和。,处理原则：一个非周期信号
2、能够看成是周期无限长的周期信号。,在这种表示中所得到的系数谱称为Fourier变换；而利用这些系数将信号表示为复指数信号线性组合的综合积分本身则称之为Fourier反变换。,更加确切些就是，在一个周期信号的Fourier级数表示中，当周期增加时，基波频率就减少，成谐波关系的各分量在频率上愈趋靠近。当周期变成无穷大时，这些频率分量就形成一个连续域，从而Fourier级数的求和也就变成了一个积分。,傅立叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示” 傅里叶的第二个主要论点,4.1 非周期信号的表示：连续时间傅
3、立叶变换,为了对Fourier变换表示的实质求得更深入地了解，我们先由研究过的连续时间方波的Fourier级数表示入手。,该信号的基波周期是T，基波频率就为 . 该方波信号的Fourier级数为：,图4.2 周期方波的Fourier级数系数及其包络，T1固定。,T=8T1,T=4T1,T=16T1,-T/2,T/2,T/2,-T/2,频谱演变的定性观察,-T 0 T,.,.,对非周期信号建立Fourier表示的基本思想,当周期信号的周期T趋于时, 就演变成了非周期信号,频率也变成连续变量。,对周期信号,当周期信号的周期T趋于时, 就演变成了非周期信号,傅立叶 变换,傅立叶 逆变换,（4月14日
4、）,与 之间的关系：,周期信号的频谱是非周期信号频谱的抽样；而非周期信号的频谱是周期信号频谱的包络。,其中综合公式4-8是由一个连续信号的频域表达式X(j)求得其时域表达式x(t)的公式，称为傅立叶反变换式。,分析公式49是由一个信号的时域表达式x(t)求得其频域表达式X(j)的公式，称为傅立叶变换或傅立叶积分。,由此得到非周期信号的傅立叶变换公式：,当 时：,Fourier变换对,这种一个信号的时域表达式x(t)和频域表达式X(j)之间通过傅立叶变换与反变换建立联系x(t)X(j)，称之为一个傅立叶变换对. 注意： 1 时域表达式x(t)是一个关于时间的函数，表达的是在不同时间点函数幅度值的
5、不同，自变量为时间t； 2 频域表达式X(j)表达的是把信号分解为不同频率的指数信号的组合（只不过这些指数信号的频率变化是连续的），这些不同频率的指数信号在总信号中所占分量的大小,自变量为频率。 3 两者都是同一信号的不同表达方式，而不是不同的信号。两者之间的转换（即傅立叶变换与反变换）也是同一信号的由时域表达式推导频域表达式或由频域表达式推导时域表达式的过程。,(a) X()是一个密度函数的概念 (b) X()是一个连续谱 (c) X()包含了从零到无限高 频的所有频率分量 (d) 各频率分量的频率不成谐波关系。,注意：,综合公式(4.8)对非周期信号所起的作用与(3.38)式对周期信号 的
6、作用相同，因为两者都相当于把一个信号表示为一组复指数信号 的线性组合。,如果某非周期信号的总能量（即时域绝对值平方积分)有限,即 则该信号傅立叶变换收敛。 或者，同时满足下列三个条件的信号傅立叶变换也收敛： 1 在整个定义域绝对可积: 2 任何有限区间只有有限个起伏; 3 任何有限区间只有有限个不连续点，且每个不连续点都是有限值。,4.1 2 Fourier变换的收敛,尽管这两组条件都给出了一个信号存在Fourier变换的充分条件，但是下一节将会看到，倘若在变换过程中可以使用冲激函数，那么，在一个无限区间内，既不绝对可积，又不具备平方可积的周期信号也可以认为具有Fourier变换。,这样，就有
7、可能把Fourier级数和Fourier变换纳入到统一的框架内。,4.1.3 连续时间Fourier变换举例,一矩形脉冲信号,幅度频谱：,相位频谱：,频谱图,幅度频谱,相位频谱,频宽：,二单边指数信号,频谱图,幅度频谱：,相位频谱：,三直流信号,不满足绝对可积条件，不能直接用定义求,时域无限宽，频带无限窄,证明,w,O,四符号函数,处理方法：,做一个双边函数,不满足绝对可积条件,频谱图,五升余弦脉冲信号,频谱图,其频谱比矩形脉冲更集中。,六冲激函数,虽然在上一节我们的注意力主要是集中在非周期信号上，其实对于周期信号也能够建立Fourier变换表示。这样一来，就可以在统一框架内考虑周期和非周期信
8、号。事实上将会看到：,4.2 周期信号的傅立叶变换,1 可以直接由周期信号的Fourier级数表示构造出一个周期信号的Fourier变换； 2 所得到的变换在频域是由一串冲激所组成，各冲激的面积正比于Fourier系数。,显然，周期信号是不满足上面的收敛判断式的，而且把周期信号x(t)代入傅立叶变换公式，得到的积分结果也是无穷大。那么如何求它的傅立叶变换？ 教材上通过傅立叶反变换来求的。由于周期信号的傅立叶变换应当正比于其傅立叶级数系数，且根据计算又是无穷大，我们猜测是一个冲激。因此通过求频域冲激信号的傅立叶反变换。,考虑一个信号x(t)，其Fourier变换X(jw)是一个面积 为出现在 处
9、的单独的一个冲激，即,由(4.8)式的反变换公式得到：,将上面结果再加以推广，如果X(jw)是在频率上等间隔的一组冲激函数的线性组合，即,那么利用(4.8)式，可得：,因此，一个Fourier级数系数为 的周期信号的Fourier交换，可以看成是出现在成谐波关系的频率上的一串冲激函数，发生于第k次谐波频率 上的冲激函数的面积是第k个Fourier级数系统的 倍。,例4.6,再次考虑图4.1的方波信号，其Fourier级数系数为：,因此，该信号的Fourier变换X(jw)是：,不同的仅仅是比例因子,以及用的是冲激函数而不是条线图,4.3 连续时间Fourier变换性质,本节主要介绍了连续时间傅
10、立叶变换的性质。这些性质都可以由两大公式本身的运算推导出来。熟练掌握不但有利于我们进行变换与反变换，更有利于我们运用傅立叶变换，解决以后的一些实际问题。,主要内容,对称性质 线性性质 奇偶虚实性 尺度变换性质 时移特性 频移特性 微分性质 时域积分性质,意义,傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：,了解特性的内在联系； 利用性质求X()； 了解在通信系统领域中的应用。,一对称性质,1性质,2 意义,例3-7-1,例3-7-2,相移全通网络,二线性性质,1性质,2例3-7-3,三奇偶虚实性,在“傅里叶变换的表示”中
11、曾介绍过。,由定义,可以得到,证明：,设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）,显然,四尺度变换性质,意义,(1) 0a1 时域扩展，频带压缩。,(2) a1 时域压缩，频域扩展a倍。,时移加尺度变换证明,(1) 0a1 时域扩展，频带压缩。,脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。,持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。 此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。,（2）a1 时域压缩，频域扩展a倍。,尺度变换性质证明,综合上述两
12、种情况,因为,五时移特性,幅度频谱无变化，只影响相位频谱，,时移加尺度变换,时移加尺度变换证明,例3-7-4（时移性质）,求图(a)所示三脉冲信号的频谱。,解：,因为,脉冲个数增多，频谱 包络不变，带宽不变。,例3-7-5,方法一：先标度变换，再时延,方法二：先时延再标度变换,2证明,1性质,六频移特性,3说明,4应用,通信中调制与解调，频分复用。,例3-7-6,已知矩形调幅信号,解：,因为,频谱图,七微分性质,时域微分性质 频域微分性质,或,1时域微分,注意,注意,如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里叶变换，余下部分再用微分性质。,时域微分性质证明,即,求三角函数的频谱密度函数
13、,例3-7-7,分析,X,第 65 页,解,X,2频域微分性质,或,推广,例3-7-8,解：,例3-7-9,解：,八时域积分性质,也可以记作：,时域积分性质证明,变上限积分用带时移的单位阶跃的无限积分表示，成为,交换积分顺序 ，即先求时移的单位阶跃信号的傅里叶变换,九、帕斯瓦尔定理,改变一下积分次序，有,帕斯瓦尔定理表明了时域和频域总能量的积分在数值上的关系。有时候可以用来解决一些问题。,该式称为帕斯瓦尔定理。现证明如下:,设x(t)和X(jw)是一对Fourier变换，则,得:,4.4 卷积性质,在第3章已经知道，如果一个周期信号用一个Fourier级数来表示，也就是按(3.38)式：,作为
14、成谐波关系的复指数信号的线性组合来表示，那么，一个LTI系统对这个输入的响应也能够用一个Fourier级数来表示。因为复指数信号是LTI系统的特征函数，所以输出的Fourier级数系数是输入的那些系数乘以对应谐波频率上的系统频率响应的值。,现将这一结论推广到非周期信号去。,卷积定理,时域卷积定理,时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。,例如：在频繁选择性滤波中，可以对限制相关频率的 过滤通过。,H(jw)=0消除或衰减掉,H(jw)=1通过,4.4.1 举例,例4.18,4.5 相乘性质,频域卷积定理,时域卷积定理的证明,因此,所以,卷积 定义,交换积分次序,时移 性质,一个信号去乘另外一个信号可
15、以理解为用一个信号去调制,另一个信号的振幅，因此两个信号相乘又称幅度调制，故相乘性质又称调制性质,S(t)的变换,P(t)=cosw0t,r(t)=s(t)p(t),设信号s(t)的频谱S(jw)如图4.23(a) 所示，信号p(t),那么,4.5.1 具有可变中心频率的频率选择性滤波,相乘性质应用：,（1）在通信系统中的幅度调制；,（2）在中心频率可调的频率选择性带通滤波器的实 现上，其中心频率可以很简单地用一个调谐旋钮来调节。,利用一个固定特性的频率选择滤波器，然后恰当地移动 信号频谱的办法来改变滤波器的中心频率，其中就要用到正弦幅度调制的原理。,求系统的响应。,将时域求响应，转化为频域求响应。,二应用,用时域卷积定理求频谱密度函数。,例3-8-1,X,4.6 傅立叶变换性质和基本傅立叶变换对一览表,本节采用列表方式给出了连续时间傅立叶变换的一些基本特性，和一些常见的重要的信号的傅立叶变换对，应该牢记掌握,4.7 用线性常系数微分方程表征的系统,如第二章所说，线性常系数微分方程可以表征系统的特征。但从时域计算的方法要解出这个方程，或者要由输入求输出，输出求输入都是很麻烦的计算。但引入频域的傅立叶变换后，大大简化了我们的工作。,* 频率响应的求法：,
