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1、1,本资料来源,新课标高中一轮总复习,第七单元 计算原理、概率与统计,第55讲,变量的相关性、回归分析、独立性检验,1.会作两个有关联变量数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系. 2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 3.了解独立性检验的含义，知道什么是22列联表. 4.会运用独立性检验的方法判断事件A与B的关系. 5.会求回归方程模型，并能进行相关性检验. 6.掌握相关性检验的步骤.,1.下列两个变量之间的关系是相关关系的是( ),A,A.人的年龄和身高 B.正方形的边长和面积 C.正n边形的边数与其内角和 D.某角度与它的余弦值,人的年龄和身
2、高是一种不确定的关系，其他三组两个变量之间都是确定的函数关系,故选A.,2.回归直线方程表示直线必定过点( ),D,A.(0,0) B.( ,0) C.(0,) D.( , ),回归直线必定经过样本中心点( , ).,3.某装饰品的广告费投入x(单位:万元)与销售y(单位:万元)之间有如下表所示的对应数据： 则回归直线方程为( ),A,A. =7.5x+24.5 B. =7.5x-24.5 C. =-7.5x+24.5 D. =-7.5x-24.5,通过公式b= , ,a= - b,求之.,4.下列说法中正确的是( ),C,A.K2在任何相互独立问题中都可以用于检验有关还是无关 B.K2的值越
3、大,两个事件的相关性就越大 C.K2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量 D.K2的观测值k=,5.用A和B两种药物各治疗9个病人,结果如下： 则这两种药物的疗效 显著差别.(答“有” 或“无”),由表中看出,使用A药痊愈的概率高于B药,故可以粗略估计两种药的疗效是有显著差别的.,有,1.两个变量间的相关关系 如果两个变量之间确实存在关系,但又没有函数关系所具有的确定性,它们的关系带有随机性,则称这两个变量具有 . 有相关关系的两个变量,若一个变量的值由小到大时,另一个变量的值也是由小到大，这种相关称为 ；反之，一个变量的值由小到大，另一个变量的值由大到小，这种相关称为 .,相关关系,正
4、相关,负相关,2.散点图 在平面直角坐标系中描点,得到关于两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做 . 如果散点图中，相应于具有相关关系的两个变量所有观察值的数据点，分布在一条直线附近，则称这两个变量具有 ,这条直线叫做 ,方程为 =bx+a, 其中b= = , a= - b.,散点图,线性相关关系,回归直线,3.最小二乘法 使残差平方和Q= (yi-bxi-a)2为最小的方法，叫做 . 4.线性回归模型 (1)样本的相关系数r= .,最小二乘法,当r0时,表示两个变量正相关,当r0时,表示两个变量负相关,r越近于1,表明两个变量的线性相关性越强:r越近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关
5、关系. (2)线性回归模型y=bx+a+e(e为随机误差). (3)总体偏差平方和= (yi- )2，残差 =yi- ,残差平方和 (yi- )2,回归平方和= .,总偏差平方和-残差平方和,5.相关指数 R2=1- . 用R2来刻画回归的效果,R2 ,表示 . 6.分类变量 变量的不同“值”,表示个体所属的不同类别.,越大,拟合效果越好,7.列联表(即列出两个分类变量的频率表) 其中n为样本容量. 8.建立回归模型的基本步骤 (1)确定研究对象,明确解释变量与预报变量; (2)画出解释变量与预报变量的散点图; (3)由经验确定回归方程的类型; (4)估计回归方程中的参数;,(5)分析残差图是
6、否异常，若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等. 9.利用随机变量K2进行判断检验 K2= . 先假设两个分类变量x与y无关系，若K2的值较大，则拒绝假设，只要K22.706，就认为x与y有关系. 利用K2来确定在多大程度可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.,题型一 变量的相关性,例1,汽车的重量和汽车消耗一升汽油所行驶的路程成负相关，这说明( ),A.汽车越重,每消耗1升汽油所行驶的路程越短 B.汽车越轻,每消耗1升汽油所行驶的路程越短 C.汽车越重,消耗汽油越多 D.汽车越轻,消耗汽油越多,A,要透彻理解一些常见参概念的意义.,题型二 回归分析,例2,某车间为了规
7、定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了四次试验,根据试验数据得到如下图所示的散点图,其中x表示零件的个数,y表示加工时间. (1)求出y关于x的线性 回归方程 =bx+a； (2)试预测加工10个零 件需多长时间？,(1) = =3.5, = =3.5, 所以b= = =0.7, a=-b=3.5-0.73.5=1.05, 所以线性回归方程为 =0.7x+1.05.,(2)当x=10时， =0.710+1.05=8.05, 故加工10个零件大约需8.05小时.,求出回归直线方程后，往往用来作为现实生产中的变量之间相关关系的近似关系，从而可用来指导生产实践.,为了研究某种细菌随时间x
8、变化繁殖的个数，收集数据如下： (1)以x为解释变量，y为预报变量作这些数据的散点图； (2)求y关于x的回归方程.,用所学函数看变化趋势.,(1)画散点图,(2)若建立线性模型 =a+bx,则得到 =-56.467+34.086x,若建立指数函数模型=menx, 则得到 =3.0519e0.6902x.,回归方程不一定惟一，该题还可以用二次函数为模型.,题型二 独立性检验,例2,在对人群的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中21人主要的休闲方式是看电视，其余男性的主要休闲方式是运动. (1)根据以
9、上数据建立一个22列联表; (2)判断性别与休闲方式是否有关系,并说明理由.,是否有关系取决于K2的大小.,(1) 22列联表为,( 2) K2= = 6.2 设H1:性别与不同运动方式有关系. 假设H0:性别与不同的运动方式没有关系，在H0的前提下，K2应该很小, 而P(K25.024)0.025. 所以有97.5的把握认为性别与不同的运动方式之间有关系.,对判断过程和计算方式要清楚,计算K2时勿将(ad-bc)2中的平方运算漏掉.,下面是两个变量间的一组数据：,(1)在同一直角坐标系中画出散点图、直线 =24+2.5x和曲线 = ; (2)比较所画直线与曲线，哪一条更能表现这组数据之间的关
10、系？ (3)分别计算用直线方程与曲线方程得到在5个x点处的预测值与实际预测之间的误差，比较两个误差绝对值之和的大小.,（1）所求作图型如下：,(2)从图形上看,曲线 = 比直线 =24+2.5x更能表现这组数据间的关系. (3)用直线 =24+2.5x近似数据时，误差绝对值的和为27.5，用曲线 = 时，误差绝对值的和为12.5，比前者小得多.,由散点图可比较直观地看出更能表现所给数据的关系的曲线，再通过比较误差绝对值之和的大小，则显得更有说服力.,1.计算回归直线方程中的参数a、b时应分层进行，避免因计算错误而产生误差. 2.求线性回归方程之前，应对数据进行线性相关分析. 3.回归分析的关键
11、是根据散点图选择函数模型，用相关系数判定哪种模型更好. 4.独立性检验不能用比例余数来判定，a、b、c、d成比例扩大，K2的值是不同的，正确列出22列联表是解题的关键步骤.,(2009辽宁卷)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在29.94，30.06）的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：,甲厂： 乙厂：,(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率; (2)由以上统计数据填下面22列联表，并分析是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.,附：K2= ,（1）甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为 =72%；乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为 =64%.,(2) 22列联表如下： K2= 7.356.635, 所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.,
