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1、综合质量测评(二)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知a，b，c分别是ABC中内角A，B，C的对边，且a1，b5，c2，则ABC的面积S()A B2 C3 D4答案B解析因为cosC，所以sinC，所以SabsinC2故选B2若a0，b0，则p与qab的大小关系为()Apq Bpq Cpq Dpq答案B解析因为pqab0，所以pq故选B3已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c成等差数列，则的值等于()
2、A B C2 D1答案C解析用特殊值法，令abc4若数列an满足a12，an13an2，则an的通项公式为()Aan2n1 Ban3n1Can22n1 Dan6n4答案B解析数列an满足a12，an13an2，a2628321，a324226331，a478280341，an3n1，故数列an的通项公式为an3n1故选B5已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m(，1)，n(cosA，sinA)若mn，且acosBbcosAcsinC，则角A，B的大小分别为()A， B， C， D，答案C解析cosAsinA0，AsinAcosBsinBcosAsin2C，即sinAcosBs
3、inBcosAsin(AB)sinCsin2C，C，B6在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2c2bca20，则()A B C D答案B解析b2c2bca20，cosA，A120由正弦定理可得故选B7已知实数m，n满足不等式组则关于x的方程x2(3m2n)x6mn0的两根之和的最大值和最小值分别是()A7，4 B8，8C4，7 D6，6答案A解析两根之和z3m2n，画出可行域，当m1，n2时，zmax7；当m0，n2时，zmin48已知ab0，cbcBacbcCloga(ac)logb(bc)D答案D解析当a2，b1，c1时，A，B不成立；设a，b，c2，则logloglog
4、，即loga(ac)b0，c0，acbc，abacabbc，a(bc)b(ac)，又(ac)(bc)0，D成立，故选D9在ABC中，若ABC，AC2B，且最大边为最小边的2倍，则ABC()A123 B234 C345 D456答案A解析AC2B，ABC3B180，即B60ABC，且最大边为最小边的2倍，c2a，根据正弦定理得sinC2sinA，将C120A代入上式得sin(120A)2sinA，整理得cosAsinA，即tanA，A30，C90，ABC12310当实数x，y满足时，1axy4恒成立，则实数a的取值范围是()A1， B1，C1， D1，答案D解析画可行域如下图所示，设目标函数za
5、xy，即yaxz，要使1z4恒成立，则a0，数形结合知，满足即可，解得1a所以a的取值范围是1，11下表给出一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为aij(ij，i，jN*)，则a83等于()A B C D1答案C解析第1列为，所以第8行第1个数为，又每一行都成等比数列且公比为，所以a8312已知等差数列an中，a8，若函数f(x)sin2x2cos2，cnf(an)，则数列cn的前15项的和为()A0 B1 C15 D15答案D解析本题考查等差数列、三角函数性质的综合应用f(x)sin2x2cos2sin2x2s
6、in2x1cosx因为a1a15a2a142a8，所以cosa1cosa15cosa2cosa14cosa80又2a12a152a22a144a82，所以sin2a1sin2a15sin2a2sin2a14sin2a80，于是数列cn的前15项和为015015故选D第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13在ABC中，B45，C60，c1，则最短边的边长等于_答案解析B45，C60，A180BC75最短边为b由正弦定理，得b14一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批
7、货物全部运到B市，最快需要_小时答案8解析这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t28(小时)，当且仅当，即v100时等号成立，此时t8小时15已知x，y满足约束条件(k为常数且k0)，若目标函数zx3y的最大值为8，则k_答案6解析本题考查简单的线性规划画出可行域如图所示联立方程解得即点C由目标函数zx3y，得yx，平移直线yx，可知当直线经过点C时，z最大，则83，解得k616设数列an的前n项和为Sn，关于数列an有下列四个结论：若数列an既是等差数列又是等比数列，则Snna1；若Sn2n1，则数列an是等比数列；若Snan2bn(a，bR)，则数列an是等差数列；若Snan(aR)，
8、则数列an既是等差数列又是等比数列其中正确结论的序号是_答案解析本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质若数列an既是等差数列又是等比数列，则对数列中任意相邻三项有2am1amam2，aamam2，则(amam2)24amam2，得amam2am1，故ana1，Snna1，正确；a1S12111，S22212，a2S2S11，a3S3S22222，数列an不是等比数列，错误；a1S1ab，当n2时，anSnSn1an2bna(n1)2b(n1)2anab，数列an是等差数列，正确；当a0时，数列an不是等比数列，错误三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
9、17(本小题满分10分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinAacosB(1)求角B的大小；(2)若b3，sinC2sinA，求a，c的值解(1)由bsinAacosB及正弦定理，得sinBcosB，所以tanB，所以B(2)由sinC2sinA及，得c2a由b3及余弦定理b2a2c22accosB，得9a2c2ac所以a，c218(本小题满分12分)(1)已知Sn为等差数列an的前n项和，S2S6，a41，求a5；(2)在等比数列bn中，若b4b224，b2b36，求首项b1和公比q解(1)设等差数列an的公差为d由题意得即解得所以a5a14d74(2)1(2)由题意
10、得解得19(本小题满分12分)制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，若投资人计划投资的金额不超过10万元，并要求确保可能的资金亏损不超过18万元，则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元才能使可能的盈利最大？解设投资人分别对甲、乙两个项目投资x万元，y万元，由题意得目标函数为zx05y上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示作直线l0：x05y0，并在可行域内平移l0，由图可知，当直线经过可行域上的点M时，z最大，这里点M
11、是直线xy10与直线03x01y18的交点解方程组得此时z40567，所以当x4，y6时，z取得最大值故投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能使可能的盈利最大20(本小题满分12分)如图所示，ABC中，已知BD2DC，AD1，AB，ADB60(1)求DC；(2)已知ABD的外接圆半径为r1，ADC的内切圆半径为r2，求的值解(1)在ABD中，由正弦定理知，所以sinB，因为ADAB，BADB60所以B30，BAD180306090，所以ABD为直角三角形，故BD2，又BD2DC，所以DC1(2)因为ABD为直角三角形，所以ABD的外接圆半径r11，由余弦定理知，AC2AD2DC22A
12、DDCcos1203，所以AC，又SADC(ADDCAC)r2(11)r2ADDCsin120，所以r2，故21(本小题满分12分)已知数列an的各项均为正数，对任意nN*，它的前n项和Sn满足Sn(an1)(an2)，并且a2，a4，a9成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(1)n1anan1，Tn为数列bn的前n项和，求T2n解(1)对任意nN*，有Sn(an1)(an2)，当n1时，有S1a1(a11)(a12)，解得a11或2当n2时，有Sn1(an11)(an12)由并整理得(anan1)(anan13)0而数列an的各项均为正数，anan13当a11时，an13(n1)3n2，此时aa2a9成立；当a12时，an23(n1)3n1，此时aa2a9不成立，舍去an3n2，nN*(2)T2nb1b2b2na1a2a2a3a3a4a4a5
