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1、联立方程模型,第一节 联立方程模型的概念,迄今为止，我们的介绍都是围绕单方程模型进行的，可是，很多经济理论是建立在一组经济关系上的，其数学模型是一个方程组，称为多方程模型或联立方程模型（simultaneous equations model）。 熟悉的例子有市场均衡模型、商品需求方程组和宏观经济模型等。联立方程模型用于描述整个经济系统或其子系统。,2,一、联立方程模型的估计问题 在联立方程模型的情况下，无论人们仅仅关心系统的一个具体部分还是对整个系统感兴趣，模型中各变量之间的相互作用都将对模型各方程的说明和估计产生影响。为了说明这一点，让我们看一个简单的例子。假设我们要估计简单的凯恩斯收入决
2、定模型 (1) (2) 中消费函数的参数。该模型假定经济是封闭型的，没有进、出口，并且没有政府的活动。其中Y，C，I分别表示总量收入、消费和投资。,（1）代入（2）并整理得： (3) （3）式中右端第一项和第二项表明总收入依赖于消费的常数分量和投资水平，若投资增加一个单位，则收入将增加1/(1-)单位，1/(1-)就是著名的乘数。右端第三项则表明收入还依赖于消费函数中扰动项u的大小，即Y包含一个随机分量，因而Y是随机变量，它与（1）式中的扰动项同期相关。由于Y是（1）式中的解释变量，因而使得高斯马尔可夫定理的第四条假设不成立，从而若用OLS法估计消费函数，得到的OLS估计量将不仅有偏，而且不一
3、致。,上面的简例说明，由于联立方程模型中各变量的相互作用，会带来估计方面的问题，特别是随机解释变量的问题，因而需要研究如何解决联立方程模型的参数估计问题。我们将在后面的章节中讨论。在此之前，让我们首先介绍一些有关联立方程模型的概念和术语。,二、行为方程和恒等式 1.行为方程（behavioural equation） 凯恩斯收入决定模型中的消费函数是一个行为方程，它描述的是消费者的行为，即在给定收入的情况下平均而言，消费者的行为是怎样的。除了描述消费者行为的方程外，还有描述生产者、投资者及其它经济参与方行为的方程，他们都是行为方程。 还有一类描述经济变量之间技术联系的方程，如 CD生产函数 ，
4、它们描述的不是行为，但通常也将它们归入行为方程一类。因此，广义的说，行为方程是描述变量之间经验关系的方程。因此，行为方程中含有未知的参数和随机扰动项。,2.恒等式（identity relation） 恒等式亦称定义式，是人为定义的一种变量间的恒等关系。如凯恩斯收入决定模型中的（2）式（国民收入恒等式）： 又如： 净投资资本存量的变动 期末资本存量期初资本存量,3.恒等式和行为方程的区别 恒等式与行为方程的区别有以下两点： （1）恒等式不包含未知参数，而行为方程含有未知参数。 （2）恒等式中没有不确定性，而行为方程包含不确定性，因而在计量经济分析中需要加进随机扰动因子。,三、外生变量、内生变量
5、和前定变量 1.外生变量（exogenous variable） 外生变量是其值在模型之外决定的变量。模型中使用它们，但不由模型决定它们的值。在求解模型之前，必须用其他方法给定外生变量的值（如利用国际组织公布的预测数据，或时间序列预测得出的预测值）。 2.内生变量（endogenous variable） 内生变量是其值在模型内确定的变量。内生变量既由模型使用（如可以作解释变量），又由模型决定。由于在求解模型时，通常是需要联立地解出所有内生变量的值，因而称为联立方程模型。 单方程模型中，内生变量就是因变量，外生变量是解释 变量（滞后内生变量除外）。,3.前定变量（predetermined v
6、ariable） 前定变量包括外生变量和滞后内生变量。在模型求解本期内生变量的值之前，本期外生变量和滞后外生变量的值是给定的，滞后内生变量的值在前面各期中已解出，因而也是已知的（前定的），它们统称前定变量。 4.如何确定模型中的内生变量和外生变量 由于内生变量是联立地被决定，因此，联立方程模型中有多少个内生变量就必定有多少个方程。这个规则决定了任何联立方程模型中内生变量的个数。可是，确定哪个变量为内生变量，要根据经济分析和模型的用途。,在设定模型时，通常将以下两类变量设定为外生变量： （1）政策变量，如货币供给、税率、利率、政府支出等。 （2）短期内很大程度上是在经济系统之外决定或变化规律稳定
7、的变量，如人口、劳动力供给、国外利率、世界贸易水平、国际原油价格等。 在我们前面的简例中，有三个经济变量，两个方程，因而有两个内生变量，它们是消费（C）和收入（Y）。模型中没有决定投资（I）的机制，因而在此模型中，投资作为外生变量。,让我们再看一个例子，由菲利普斯工资方程和价格方程组成的模型： (4) (5) 其中 货币工资变动， UN = 失业率 =价格变动， = 资金成本变动 =进口原料费用变动 在此模型中，内生变量是： ， ， 外生变量是： ， ， UN。 不难看出，在上述两例中，方程的左端都是内生变量。联 立方程模型中每个方程的左端为不同内生变量原型的写法，称为方程的正规化。,四、模型
8、的结构式和简化式 1.结构式（Structural form） 联立方程模型的结构式是依据经济理论设定模型时所采取的形式。其中的方程称为结构方程，一个结构方程反映一个基本的经济关系，即对经济理论的一种阐述。结构方程的参数称为结构参数。 上述两例都是按结构式的形式给出的。,简化式方程描述了内生变量是怎样被真正决定的。,第二节 识别问题（The identification problem） 一、识别的概念 识别问题是一个与联立方程有关的数学问题，让我们用一个简单的例子来说明识别的概念。设 是某种商品的需求量， 是供给量，P为该商品的价格，则该商品供求模型为：,这里的问题是很难找到一种观测需求量和
9、供给量的有效方法，通常能够观测到的只是市场运行的结果。因此一般的作法是假设供给量和需求量相等，即市场是结清的。这相当于在模型中增加一个方程:,如果只用可观测变量来建立模型，我们可令Q代表市场结清量，从而有 Qt = + Pt + ut Qt = + Pt + vt 这里的问题在于，模型中两个方程具有完全相同的统计形式： Qt=截距斜率Pt扰动因子 这就提出了下面的问题：给定P 和Q的数据，如何能知道我们是在估计需求曲线还是在估计供给曲线？ 我们无法知道所要估计的是哪一组参数，因为没有足够的信息来识别被估计的方程，这就是识别问题。,如果光是需求函数和供给函数，情况还简单一点，问题在于，如果 Qt
10、 = + Pt + ut Qt = + Pt + vt 两式成立，则对于任意常数和（+0），上述两式的线性组合 也将成立，即,成立。 由于和的取值可任意，则这样的方程数目实际上是无限的，它们与需求函数和供给函数具有相同的统计形式。因此，如果我们试图估计一个方程, 其中Q是P的函数，则我们无法得知我们估计的是这无限多个方程中的哪一个。 由上可知，在对联立方程估计之前，必须解决模型的识别问题。,二、不可识别、恰好识别和过度识别 1. 可识别和不可识别方程 定义：如果对于一个方程，我们无法通过取它所在模型中各方程的线性组合的方法，得到另一个与该方程统计形式完全相同的方程，则该方程是可识别的。 例1
11、考虑某农产品供求模型： 将上述定义应用于农产品供求模型，由于我们得到的线性组合与需求函数和供给函数具有完全相同的统计形式，因此需求函数和供给函数都是不可识别的。,从上面的几例可知，模型中存在的识别问题是可以消除的。我们在原模型两方程中添加不同的解释变量，就使得两个方程都从不可识别变为可识别。 一般来说，如果我们能够用经济理论或额外信息为联立方程组施加约束条件，则可以消除识别问题。这些约束条件可以采取各种形式，但最常用的是所谓的“零约束”，即规定某些结构参数为0，也就是说，某些内生变量和外生变量不出现在某些方程之中。 在上面的例3中，共有4个变量，第一个方程中没有Rt，第二个方程中没有Yt，因而
12、每个方程各有一个零约束。正是由于这个零约束，使得它们有别于用任意和形成的线性组合方程，具有独一无二的形式，因而是可识别的。,2.恰好识别和过度识别 可识别方程可分成恰好识别（just-identified或exactly identified）和过度识别（over-identified）两类。如果模型中约束条件所提供的信息对于识别某个方程刚好够用，则该方程是恰好识别的，如果约束条件所提供的信息对于识别某个方程不但够用，而且有余，则该方程是过度识别的。 如果一个方程是不可识别的，则它的结构参数不能被估计，也就是说，不存在估计这些参数的有意义的方法。因此，模型中若有不可识别方程，则应首先消除这个问
13、题。,三、识别的阶条件和秩条件 在实践中，经济模型比我们所举的简单联立方程模型例子要复杂得多。当模型中方程很多时，要确定该模型中某个方程是否可识别显然将很复杂。对于这种情况，有一些比较方便的判别准则可用。其中常用的是所谓“识别的阶条件”（order condition）： 模型中一个方程是可识别的必要条件是，该方程所不包含的模型中变量的数目大于等于模型中方程个数减1，即 KMG1. 其中：K模型中的变量总数（内生变量前定变量） M该方程中所包含的变量数目 G模型中方程个数（即内生变量个数）,尽管识别的阶条件只是一个必要条件，也就是说，模型中任何可识别方程必定满足 KMG1, 但满足该条件的方程
14、则未必是可识别方程。但在实际应用中，为方便起见，人们往往用它来判别一个方程是否可识别，就象用一阶导数是否等于零来判别极值是否存在一样。 经验表明，在绝大多数情况下，这种用法不会有多大问题，但应当明白，毕竟存在着该条件满足而方程不可识别的情况。实践中，应用识别的阶条件进行判别的准则是： 若KMG1, 则过度识别; 若KM=G1, 则恰好识别。,上述识别的阶条件是该条件在实际应用中使用最广泛的一种形式，其更一般的表述形式为： 模型中一个方程是可识别的必要条件是，施加于该方程的结构参数上的约束条件的数目大于等于模型中方程个数减1，即 R G1 其中：R施加于该方程的结构参数上的约束条件 的数目 G模
15、型中方程个数 显然这种表述形式包含了前一种表述形式，是前者的推广，因为前者仅涉及系数的零约束（不包含某个变量，即其系数为0），而后者则包含了所有形式的约束。,另外一个准则是识别的秩条件（rank condition），这是一个充要条件，陈述如下： 在一个有G个方程的模型中，其中任何一个方程是可识别的充要条件是模型中不包括在这个方程中的所有变量的系数矩阵的秩等于G1。 上述两个条件，我们不在这里证明，有兴趣的同学可参阅有关参考书。下面，用前头农产品供求模型的例子，讨论一下阶条件的使用方法：,例4. 简单的凯恩斯收入决定模型 对于消费函数，我们有：K=3，M=2，G2， KM=1=G 1=1，因而
16、恰好识别。 对于收入恒等式，因为该式中包含两个系数约束条件（C和I的系数为1），我们有 R=2G-1=1，因而过度识别。,第三节 联立方程模型的估计 由第一节我们得知，联立方程模型的一个特点是内生变量往往作为解释变量出现在方程中，通常与它作为解释变量的那个方程的扰动项相关。在这种情况下，使用OLS法得到的估计量既不是无偏的，又不是一致的。也就是说，不管样本多大，OLS估计量也不收敛于它们的真值。因此，在联立方程模型的情况下，我们一般不能再使用OLS法对模型进行估计。 针对联立方程模型的特点，计量经济学家提出了很多用于联立方程模型的估计方法。这些方法分为两类：单方程方法和系统估计方法。,单方程方法 单方程方法是对整个联立方程模型中每个方程分别进行估计的方法。当然，它不同于单方程模型的估计，因为在联
