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1、本资料来源,概率与分布,授课老师：禤宇明,本章主要内容,概率 古典和统计定义、概率的性质、加法和乘法定理 二项分布离散形分别的代表 适用条件 正态分布 性质、查表、应用 标准正态分布、标准分数,1. 概率 probability 1.1 几个概念,确定性现象：一定条件下必然发生某种结果 必然现象 沸腾 乙肝， 乙肝表面抗原一定为阳性 不可能现象 随机现象random event ：一定条件下结果不定 如：掷硬币后哪面朝上？ 某患者服用某降压新药后：降？不变？生 偶然性和必然性,随机试验和随机事件,随机试验 对随机现象的一次观察 随机事件 简称事件，指随机现象中出现的各种可能的结果 必然事件：包
2、含所有可能结果 不可能事件：不包含任何结果 试验 试验结果（事件） 抛掷一枚硬币 正面，反面 对某一零件进行检验 合格，不合格 投掷一颗骰子 1，2，3，4，5，6 进行一场足球比赛 获胜，失利，平局,频率和概率,频率 frequency N次重复试验中A事件发生的次数为n，那么事件A发生的频率 概率 probability 当N趋向于无穷大时，事件A发生的频率趋向于一个固定值，这就是事件发生的概率P(A),实验者 N nH nH/N 德摩根 2048 1061 0.5181 蒲丰 4040 2048 0.5069 K皮尔逊 12000 6019 0.5016 K皮尔逊 24000 12012
3、 0.5005 N为投掷硬币的次数，nH为正面朝上的次数,1.2 概率的定义 1.2.1 概率的统计定义(P74),当试验次数N无限增大时，事件A发生的频率n/N 稳定在一个确定的常数附近，这就是事件A发生的概率 注：试验满足条件 每次试验中某一事件发生的可能性不变 试验能大量重复，且每次试验相互独立,1.2.2 概率的古典定义,如果某一随机试验的结果有限（注：任何一个可能的结果就是一个基本事件），且各个结果出现的可能性相等，则某一事件A发生的概率为 注：概率的统计定义是后验概率，而古典定义为先验概率,思考题：判断以下哪些试验符合概率的古典定义的要求？,试验 试验结果（事件） 抛掷一枚硬币 正
4、面，反面 对某一零件进行检验 合格，不合格不符合概率的古典定义 投掷一颗骰子 1，2，3，4，5，6 进行一场足球比赛 获胜，失利，平局不符合概率的古典定义,求掷一颗骰子其点数小于5的概率是多少 解：投掷骰子试验中, 可能的点数1, 2, 3, 4, 5, 6，试验结果有限，6个试验结果以均等的可能发生 事件A=1, 2, 3, 4，P(A)=4/6=2/3,1.3 概率的性质,对任意事件A，0P(A)1 必然事件的概率为1 ，即P(W)1 不可能事件的概率为0，P()0 逆事件的概率P(读“非A”)=1P(A) 什么是逆事件？,1.4 概率的加法定理和乘法定理,加法定理 若A、B是两个相互独
5、立的事件，则A和B至少有一个发生的概率是 P(A+B)=P(A)+P(B) 推广到n个独立事件P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An) 例 求掷一颗骰子其点数小于5的概率 某一考生完全凭猜测答两道是非题，求其答对一题的概率,乘法定理 若A、B是两个相互独立的事件，则A和B同时发生的概率是 P(A B)=P(A) P(B) 推广到n个独立事件 P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An) 例 求掷两颗骰子其点数为12的概率和为11的概率 求掷两颗骰子其点数不等的概率 凭猜测完全答对10题4选1选择题的概率 二战中飞行员在每次轰炸任务中被击中的机会是2%，那么执行50次任务
6、“在数学上”就一定被击中吗？因为502% = 100% N个人当中至少有两个人的生日是同一天的概率是多少？,2. 二项分布 2.1 排列 permutation,从n个不同的元素中，任取m（mn）个不同的元素，按一定顺序排成一列,P78 例 3-6,用四个数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的二位数？多少个没有重复数字的四位数？12/24 思考题：如果数字可以重复，上题的答案又是多少？2的四次方=16/4的四次方=256,2.2 组合 combination,从n个不同的元素中，任取m（mn）个不同的元素，不管顺序并成一组 组合的性质 （P79 例 3-6）从100个元素中每次取97个
7、不同元素的组合数是多少？,2.3 随机变量的期望和方差,随机变量的方差,方差的性质,2.4 二项分布 binominal distribution,离散型分布的一种 每次随机试验只有两种可能的结果：A及，P(A)=p，P()1pq (0p1)。n次独立试验下，事件A发生的次数为x的概率,医学中常见结果为两种互斥的情况之一的例子 阴性、阳性 治愈、未愈 传染、未传染 致死、存活,P82 例 3-9,全凭猜测答10道是非题，问分别答对5、6、7、8、9、10题的概率各为多少？至少答对5题的概率又是多少？,P83 例 3-10,全凭猜测答10道4选1选择题，问分别答对8、9、10题的概率各为多少？至
8、少答对1题的概率又是多少？至少答对9题的概率是多少？,马丁服装店问题,商店经理估计进入该服装店的任一顾客购买服装的概率是 0.30, 那么三个顾客中有两个购买的概率是多少? 分析： 试验包含了三个相同的试验，进入商店的三个顾客中的任一个即为一次试验 每次试验都有两个结果：顾客购买或不购买 顾客购买的概率(0.30)或不购买的概率(0.70)被假设为对所有顾客都相等 某个顾客的购买决定独立于其他顾客的购买决定,某保险公司有2500个同一年龄同一阶层的人参加了寿命保险。已知1年内这批人的死亡水平为0.002，每个参加保险的人需在年初支付保险费12元，如果发生死亡，保险公司赔付2000元。 保险公司
9、亏本的概率是多少？ 保险公司获利不少于10000元的概率是多少？ 解： 设X为死亡人数，如果122500 15时，保险公司要赔本。p = 0.002 获利10000元，即1225002000X10000, 即X10,1.当n趋向于无穷大时，二项分布趋向于正态分布（重点） 2. 二项分布的均值、方差和标准差 （重点）,2.5其他离散型概率分布 2.5.1负二项分布,某随机试验结果只有两种可能，出现某结果的概率为p，则不出现该结果的概率为q=1p。现在一直进行试验，直至这一结果出现r次为止，以X表示试验共需要进行的次数，则有,一个市场调查员需要完成500份调查表的访问任务，随机碰到的行人大约3/1
10、0的人乐意回答他的问题，每找到一个人需花6分钟的时间。问该调查员完成500份问卷约需多长时间？,2.5.2多项分布,现有一批产品，已知合格品占11/18，次品占2/9，废品占1/6，从中随机抽取6件，问抽到3件合格品、2件次品和1件废品的概率有多大？,2.5.3 几何分布,在一个伯努利试验中，某个时间出现的概率为p，现在一个一个地进行试验，直至出现该事件为止，如果X表示试验所需进行的次数，则X服从几何分布，其概率分布函数 f(x)=qk-1p, k=1,2, E(X)=1/p, Var(X)=q/p2,2.5.4 超几何分布,在50个零件中，已知有5个不合格，如果随机从中抽4个，问 4个样品中
11、恰好有1个不合格的概率是多少？ 不超过2个不合格零件的概率是多少？,超几何分布的推广,一家商业零售集团开设了100家分支商店，其经营业绩如下： 经营业绩 优 良 中 差 分店数 24 38 28 10 从100家分店中随机抽取20个，问其中有8个优、7个良、3个中、2个差的概率是多少？,2.5.5 泊松分布,泊松分布的医学应用举例 单位时间内某事件发生次数的分布，如细菌、血细胞等单位面积（容积）内计数结果的分布 人群中某些发病率很低的传染病，如某恶性肿瘤的患病数或死亡数的分析 放射医学中同位素计数的数据处理 某些疾病的地区或家族集积性，某种基因突变而引起的遗传性疾病的分布,世界杯中的统计学 作
12、者：陈峰,2002年韩日世界杯64场比赛中，各队进球数有多有少。大部分是0，1，2个进球，个别队是5个以上进球，最多的是8个进球。宏观上来说，各队进球数服从Poisson分布！ 下面是各队进球数(不包括点球)，平均进球数 1.2578，拟合Poisson分布结果如下： 每场各队进球数 场数 理论数 0 37 36.39 1 47 45.77 2 27 28.78 3 13 12.07 4 2 3.79 5 1 0.95 6 1 0.25 合计 128 128.00 如果包括点球数，同样服从Poisson分布。,3. 正态分布 3.1 连续型随机变量,不可能一一列举可能的取值 取任一指定实数值的
13、概率为0 我们对落入某个区间内的概率更感兴趣,3.2 正态分布 3.2.1 正态分布的概率密度函数,设连续型随机变量x具有概率密度 称x服从参数为, 的正态分布normal distribution或高斯分布Gaussian distribution，记为 xN (, 2) 其中，为随机变量x的均值 为随机变量x的标准差 为圆周率3.14159 e为自然对数的底2.71828,3.2.2正态（概率密度）曲线的特点,概率密度曲线和x轴之间的面积等于1 概率Px1x x2 什么是收尾概率，收尾面积？ 关于x对称 对任意h0，有P-h x =P x + h,当x时有最大值 x离越远，f(x)的值越小
14、并逐渐趋向0 这表明对于同样长度的区间，当区间离越远，X落入区间上的概率越小,如果固定改变的值，则图形沿x轴平移，而不改变形状 如果固定改变，由于最大值 可知当越小时图形就变得越尖，因而x落在附近的概率就越大,如何理解概率密度曲线,假设有一根无限长的棍子，总的质量为1。棍子的中心部分密度比较大，而两端较轻 如果把棍子切成同样长度的一段一段，那么中间部分的一段比边上的重,3.2.3 标准正态分布,0， 1时，有,3.2.3.1 标准分数 （P94）,又称为Z分数，以标准差为单位，反映了一个原始分数在团体中所处的位置 Z分数的性质 Z分数的平均数为0 Z分数的标准差为1,标准分数的应用,比较分属性
15、质不同的观测值在各自数据分布中相对位置的高低. 如：某人 Z身高1.70=0.5, Z体重65=1.2, 则该人在某团体中身高稍偏高，而体重更偏重些 当已知各不同质的观测值的次数分布为正态时,可用Z分数求不同的观测值的总和或平均值，以表明在总体中的位置.,3.2.3.2正态分布的标准化,3.2.3.3 标准正态分布表(P. 466),仅给出Z为正值时的P和对应的Y 当Z为负值时利用对称性求相应的P和Y 对于XN(, 2)先化为标准正态分布再查表 p(0zZ)=P Z表示临界值,例：XN(0,1)，求以下概率 1)P(0-1),写出以下区间 如果 XN(, 2) XN(0, 1) 平均数左右1个
16、标准差 平均数左右z个标准差,需要记住的一些Z值 0.475的P所对应的为Z；0.495的P所对应的Z值 1.96 2.58,P96 例3-17 在某年高考的平均分数为500，标准差为100的正态总体中，某考生得到650分。设当年高考录取率为10，问该生成绩能否入围？,解：该生的标准分数为 Z(650-500)/100=1.5 查正态分布表, 当Z=1.5时，p=0.433 从低分到高分的顺序中他处于93.3%的位置 从高分到低分的顺序中他处于6.7%的位置,某市参加数学奥林匹克业余学校入学考试的人数为2800人，只录取学生150人，该次考试的平均分为75分，标准差为8，问录取分数应定为多少？ 解：考试成绩服从正态分布，即 XN(75, 82)，转换成标准正态分布Z N(0, 1)。 根据题意招生人数的概率为 P(ZZ0) = 150
