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1、附五大模型概念及用法：一、 等积变换模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图；反之，如果，则可知直线平行于正方形的面积等于对角线长度平方的一半；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、 鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 如图在中，分别是上的点如图 （或在的延长线上，在上），则图 图推理过程连接，再利用等积变换模型即可三、 蝴蝶定理模型任意四边形中的
2、比例关系(“蝴蝶定理”)：或者蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：；梯形的对应份数为四、 相似模型相似三角形性质：（金字塔模型） （沙漏模型）；所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；五、 燕尾定理模型SABGSAG
3、CSBGESEGCBEEC；SBGASBGCSAGFSFGCAFFC；SAGCSBCGSADGSDGBADDB；练习题集：1. （第届华杯赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的倍，黄色三角形的面积是21平方厘米问：长方形的面积是 平方厘米2. (2007年六年级希望杯二试试题)如图，三角形田地中有两条小路和，交叉处为，张大伯常走这两条小路，他知道,且则两块地和的面积比是_3. 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？ 4. 如图，已知长方形的面积，三角形的面积是，三角形的面积是，那么三角
4、形的面积是多少？ 5. （北京市第一届“迎春杯”刊赛）如图将三角形的边延长倍到，边延长倍到，边延长倍到如果三角形的面积等于，那么三角形的面积是 6. 如图，在中，延长至,使，延长至,使，是的中点，若的面积是，则的面积是多少？7. 如图，在中，已知、分别在边、上，与相交于,若、和的面积分别是3、2、1，则的面积是 8. 四边形的对角线与交于点（如图所示）如果三 角形的面积等于三角形的面积的，且，那么的长度是的长度的_倍 9. 如右图，已知是中点，是的中点，是的中点，由这6部分组成，其中比大6平方厘米，那么的面积是多少平方厘米？10. 如右图，长方形中，求的长 11. 如图，长方形中，为中点，与、
5、分别交于、，已知，求. 12. 图中四边形是边长为12的正方形，从到正方形顶点、连成一个三角形，已知这个三角形在上截得的长度为4，那么三角形的面积是多少？13. 如右图，三角形ABC中，BDDC49，CEEA43，求AFFB.14. 如图，三角形ABC的面积是1，BDDEEC，CFFGGA，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?15. 如右图，中，是的中点，、是边上的四等分点，与交于，与交于，已知的面积比四边形的面积大平方厘米，则的面积是多少平方厘米？16. 如图，在正方形中，、分别在与上，且，连接，相交于点，过作，得到两个正方形和正方形，设正方形的面积为，正方形的面积为，则
6、_17. 如图，正方形ABCD的边长为6，1.5，2长方形EFGH的面积为 18. 如图，求19. 如图，在长方形中，求阴影部分的面积 20. 如右图，已知，三角形的面积是30，求阴影部分面积.21. (第六届希望杯五年级一试)如图，正方形的边长是厘米，点在上，于,长厘米，则 长_厘米。22. 如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为，空白部分面积为，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取) 23. 如图中三个圆的半径都是5，三个圆两两相交于圆心求阴影部分的面积和(圆周率取) 24. （2008年武汉明心奥数挑战赛）如图所示，中，以为一边向外作正方形，中心为，求的面积 25. 如
7、图，三角形是等腰直角三角形，是三角形外的一点，其中，求四边形的面积26. (2008年全国小学数学资优生水平测试)如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，、交于已知、的长分别为、，求三角形的面积 27. 长方形的面积为36，、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？28. （小学生数学报邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)29. 用10块长5厘米，宽3厘米，高7厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少?30. (05年武汉明心杯数学挑战赛)如图所示，一
8、个的立方体，在一个方向上开有的孔，在另一个方向上开有的孔，在第三个方向上开有的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？参考答案1. （第届华杯赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的倍，黄色三角形的面积是21平方厘米问：长方形的面积是 平方厘米【分析】 由于黄色三角形和绿色三角形面积总和是长方形面积的倍，所以黄色三角形面积是长方形面积的倍，所以长方形的面积是平方厘米2. (2007年六年级希望杯二试试题)如图，三角形田地中有两条小路和，交叉处为，张大伯常走这两条小路，他知道,且则两块地和的面积比是_【分析】 方法一：连接设的面积为1， 的面积，则根据题上说给出的条件
9、，由得，即的面积为、;又有，、，而；得，所以方法二：连接，设(份)，则,设则有，解得，所以方法三：过点作交于点，由相似得,又因为，所以，所以两块田地ACF和CFB的面积比3. 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？ 分析：方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形。设三角形为，和交于，则，再连结。所以三角形的面积为3.设三角形的面积为，则，所以，四边形的面积为。方法二：连接,用燕尾定理解4. 如图，已知长方形的面积，三角形的面积
10、是，三角形的面积是，那么三角形的面积是多少？ 分析：方法一：连接对角线 是长方形 ， ，方法二：连接,由图知,所以,又由,恰好是面积的一半，所以是的中点，因此,所以5. （北京市第一届“迎春杯”刊赛）如图将三角形的边延长倍到，边延长倍到，边延长倍到如果三角形的面积等于，那么三角形的面积是 【分析】 (法)连接、，同理可得其它，最后三角形的面积(法)用共角定理在和中，与互补，又，所以同理可得，所以6. 如图，在中，延长至,使，延长至,使，是的中点，若的面积是，则的面积是多少？分析：(法) 利用共角定理在和中，与互补，又，所以同理可得，所以7. 如图，在中，已知、分别在边、上，与相交于,若、和的面
11、积分别是3、2、1，则的面积是 【分析】 这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解根据蝴蝶定理得 设，根据共边定理我们可以得，解得 8. 四边形的对角线与交于点（如图所示）如果三 角形的面积等于三角形的面积的，且，那么的长度是的长度的_倍 分析对于四边形为任意四边形，两种处理方法：1利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；2通过画辅助线来改变任意四边形根据题目中给出条件，可得 ,所以 故9. 如右图，已知是中点，是的中点，是的中点，由这6部分组成，其中比大6平方厘米，那么的面积是多少平方厘米？【分析】 解法一：因为是中点，为中点，有且平行于，则四边形为梯形 在梯形中有=，=，
12、=又已知=6，所以，=;所以=，而=，所以=4，梯形的面积为、四块图形的面积和，为有与的面积相等，为所以面积为 因为是中点，所以的面积是：(平方厘米) 解法二：如右图所示：题上给出了，所以;因为是的中点，是的中点，由共边定理得：;所以由上面的分析得到：，；进一步共边原理可得：(平方厘米) 同样这个题目可以用相似模型也能解10. 如右图，长方形中，求的长 【分析】 因为，根据相似三角形性质知，又因为，所以，即，所以11. 如图，长方形中，为中点，与、分别交于、，已知，求. 【分析】 注意三角形和三角形相似，利用三角形相似的性质可以得到 ，作垂直于，且交于点，又因为为中点，则有，所以,所以.12. 图中四边形是边长为12的正方形，从到正方形顶点、连成一个三角形，已知这个三角形在上截得的长度为4，那么三角形的面积是多少？【分析】 根据题中条件，我们可以直接判断出与平行，从而三角形与三角形相似，这样，我们就可以用相似三角形的性质来解决问题.做垂直交于，因为EFDC，所以三角形与三角形相似，且相似比为，由此我们可以得，又因为，且，所以，得，故三角形的面积
