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1、第3讲机械能守恒定律及其应用考点1对机械能守恒定律的理解1对机械能守恒条件的理解(1)只受重力作用(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，只有动能、重力势能、弹性势能的相互转化，无其他形式能量的转化2机械能守恒判断的三种方法定义法利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否变化，若不变，则机械能守恒做功法若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒转化法若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒1(多选)如图所示，两个质量相同的小球A
2、、B，用细线悬挂在等高的O1、O2点，A球的悬线比B球的悬线长，把两球的悬线均拉到水平位置后将小球无初速度释放，以悬点所在的水平面为参考平面，则经最低点时(BD)AB球的动能大于A球的动能BA球的动能大于B球的动能CA球的机械能大于B球的机械能DA球的机械能等于B球的机械能解析：空气阻力不计，小球下落过程中只有动能和重力势能之间的转化，机械能守恒，故C错误，D正确；到最低点时A球减少的重力势能较多，增加的动能较多，故A错误，B正确2如图所示，一个小球套在固定的倾斜光滑杆上，一根轻质弹簧的一端悬挂于O点，另一端与小球相连，弹簧与杆在同一竖直平面内，将小球沿杆拉到与O点等高的位置由静止释放小球沿杆
3、下滑，当弹簧处于竖直时，小球速度恰好为零若弹簧始终处于伸长且在弹性限度内，在小球下滑过程中，下列说法正确的是(A)A小球的机械能先增大后减小B弹簧的弹性势能一直增加C重力做功的功率一直增大D当弹簧与杆垂直时，小球的动能最大解析：小球沿杆下落过程中，弹簧弹力与小球速度的夹角先是锐角后是钝角，也就是弹簧弹力对小球先做正功后做负功，根据功能关系，小球的机械能先增大后减小，当弹簧垂直杆时伸长量最短，弹性势能最小所以A正确，B错误当弹簧与杆垂直时，小球的加速度仍沿杆向下，如图，小球加速度为零的位置在N、P之间某点，速度最大的位置也就在N、P之间某点，所以D错误设杆与竖直方向夹角为，重力做功的功率PGmg
4、vcos，速度v先增大后减小，则重力做功的功率先增大后减小，所以C错误3如图所示，倾角为的光滑斜面体C固定于水平地面上，小物块B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与物体A相连接，释放后，A将向下运动，则在A碰地前的运动过程中(D)AA的加速度大小为gB物体A机械能守恒C由于斜面光滑，所以物块B机械能守恒DA、B组成的系统机械能守恒解析：物体A向下运动的过程中除受到重力以外，还受到细绳向上的拉力，物体A下落的加速度一定小于g，故A错误；物体A下落过程中，细绳的拉力做负功，A的机械能不守恒，故B错误；由于斜面光滑，A、B组成的系统在整个运动过程中，只有重力做功，系统机械能守恒，但细绳拉力对B做正
5、功，B的机械能增加，故C错误，D正确考点2单体机械能守恒定律的应用1机械能守恒定律的表达式2用机械能守恒定律解题的基本思路 如图所示，ABDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R15 m的圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO是直径为15 m的半圆轨道，D为BDO轨道的中点一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由落下，沿竖直平面内的轨道通过D点时对轨道的压力等于其重力的倍，g取10 m/s2.(1)H的大小(2)试分析此球能否到达BDO轨道的O点，并说明理由(3)小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度的大小是多少审题指导(1)光滑轨道，无摩擦，小球在运动过程中机械能守恒(2)小球在
6、轨道内运动可抽象为竖直平面的圆周运动，属于轻绳模型，能否通过O点由速度决定【解析】(1)设小球通过D点的速度为v，由牛顿第二定律得：mgm，小球从P点运动至D点的过程，由机械能守恒定律得：mgmv2，解得：H10 m.(2)若小球刚好沿竖直半圆轨道能运动到O点的速度为vC，在O点由牛顿第二定律得：mgm，小球至少应从HC高处落下，由机械能守恒定律得：mgHCmv，解得：HC3.75 m，由于HHC，故小球可以通过O点(3)小球由P点落下通过O点的过程，由机械能守恒定律得：mgHmv，解得：v010 m/s，小球通过O点后做平抛运动，设小球经时间t落到AB圆弧轨道上，则有：xv0t，ygt2，且
7、：x2y2R2，解得：t1 s(另解舍弃)，又有：vygt，v，解得：v10 m/s.【答案】(1)10 m(2)见解析(3)10 m/s1如图所示，两个四分之三圆弧轨道固定在水平地面上，半径R相同，A轨道由金属凹槽制成，B轨道由金属圆管制成，均可视为光滑轨道在两轨道右侧的正上方分别将金属小球A和B由静止释放，小球距离地面的高度分别用hA和hB表示，则下列说法正确的是(D)A若hAhB2R，则两小球都能沿轨道运动到轨道的最高点B若hAhB2R，由于机械能守恒，两个小球沿轨道上升的最大高度均为2RC适当调整hA和hB，使两小球从轨道最高点飞出后，均能恰好落在轨道右端口处D若使小球沿轨道运动并且从
8、最高点飞出，A小球的最小高度为，B小球在hB2R的任何高度均可解析：若小球A恰好能到A轨道的最高点时，由mgm，解得vA，根据机械能守恒定律得，mg(hA2R)mv，解得hA，若小球B恰好能到B轨道的最高点时，在最高点的速度vB0，根据机械能守恒定律得hB2R，因此hAhB2R时，A不能到达轨道的最高点，B能到达轨道的最高点，故A错误，D正确；若hAhB2R，小球A在到达最高点前离开轨道，有一定的速度，由机械能守恒可知，A在轨道上上升的最大高度小于2R，小球B在轨道上上升的最大高度等于2R，故B错误；小球A从最高点飞出后做平抛运动，下落R高度时，水平位移的最小值为xAvA RR，所以小球A落在
9、轨道右端口外侧，而适当调整hB，B可以落在轨道右端口处，故C错误2滑板运动是一种陆地上的“冲浪运动”，滑板运动员可在不同的轨道上滑行并做出各种高难度运动，给人以美的享受，如图所示是模拟的滑板滑行轨道，该轨道由足够长的斜直轨道、半径R11 m的凹形圆弧轨道和半径R21.6 m的凸形圆弧轨道组成，这三部分轨道处于同一竖直平面内且依次平滑连接，其中AB与水平方向夹角37，C点为凹形圆弧轨道的最低点，D点为凸形圆弧轨道的最高点，凸形圆弧轨道的圆心O2点与C点处在同一水平面上，一质量为m1 kg可看作质点的滑板，从斜直轨道上的P点无初速滑下，经过C点滑向D点，P点距B点所在水平面的高度h1.8 m，不计
10、一切阻力，g取10 m/s2.(sin370.6，cos370.8)(1)滑板滑到C点时滑板对轨道的压力(2)若滑板滑到D点时恰做平抛运动，则从P点须以多大初速度开始下滑解析：(1)滑板从P点运动到C点的过程中，由机械能守恒定律得：mghR1(1cos)mv，在C点对滑板由牛顿第二定律得：FNmgm，解得：FN50 N，由牛顿第三定律可知滑块对轨道的压力大小为50 N，方向竖直向下(2)滑板滑到D点时恰做平抛运动，则有：mgm，滑板从P点运动至D点，由机械能守恒定律得：mghR1(1cos)R2mvmv，解得：v02 m/s.答案：(1)50 N方向竖直向下(2)2 m/s应用机械能守恒定律的
11、两点注意(1)应用守恒观点列方程时，应先选择参考平面；而应用转化式列方程时，则不必选择参考平面(2)应用机械能守恒定律能解决的问题，应用动能定理同样可以解决，但解题思路和表达式不同考点3系统机械能守恒定律的应用考向1绳连接的物体系统机械能守恒 一半径为R的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的A、B两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A球质量为B球质量的2倍，现将A球从圆柱边缘处由静止释放，如图所示已知A球始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，求：(1)A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小；(2)A球沿圆柱内表面运动的最大位移审题指导(1)A球沿绳方向的分速度与B球速度大小相等(2
12、)A球沿圆柱内表面运动的位移大小与B球上升高度相等【解析】(1)设A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小为v，B球的质量为m，则根据几何关系及机械能守恒定律有2mgRmgR2mv2mv由图甲可知，A球的速度v与B球速度vB的关系为vBv1vcos45，解得v2. (2)当A球的速度为零时，A球沿圆柱内表面运动的位移最大，设为x，如图乙所示，由相似三角形关系可知A球下降的高度h，根据机械能守恒定律有2mghmgx0，解得xR.【答案】(1)2(2)R3(多选)如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d，
13、杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点下方距离为d处现将环从A处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是(CD)A环到达B处时，重物上升的高度hB环到达B处时，环与重物的速度大小相等C环从A到B，环减少的机械能等于重物增加的机械能D环能下降的最大高度为d解析：根据几何关系，环从A下滑至B点时，重物上升的高度hdd，故A错误；将环在B点的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，沿绳子方向上的分速度等于重物的速度，有：v环cos45v重物，故B错误；环下滑过程中无摩擦力对系统做功，系统机械能守恒，即环减小的机械能等于重物增加的机械能，故C正确；环下滑到最大高度为H时环和重物的速度均为0，此时重
14、物上升的最大高度为d，根据机械能守恒有mgH2mg(d)，解得：Hd，故D正确求解这类问题时，由于二者速率相等或相关，所以关键是寻找两物体间的位移关系，进而找到系统重力势能的变化.列机械能守恒方程时，一般选用EkEp的形式.另外注意系统机械能守恒并非每个物体机械能守恒，因为细绳对系统中的每一个物体都要做功.考向2杆连接的物体系统机械能守恒 如图所示，在长为L的轻杆中点A和端点B处各固定一质量为m的球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速度释放摆下当杆转到竖直位置时，求：(1)B球速度大小；(2)轻杆对B球做了多少功？审题指导(1)由于只发生动能与重力势能的转化，所以系统机械能守恒；(2)根据圆周运动知识找到二者速度关系【解析】(1)A、B和杆组成的系统机械能守恒，以B的最低点为零重力势能参考平面，可得2mgLmvmvmgL.又因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同，故vB2vA，由以上两式得vA，vB.(2)根据动能定理，对于B球有WBmgLmv0，所以WB0.2mgL.【答案】(1)(2)0.2mgL4(多选)如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g，则(BD)Aa落地前，轻杆对b一直做正功Ba落地时速度大小为Ca下落过程中，
