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1、湖北省部分重点中学20182019学年度下学期期中联考高一数学试卷一选择题（每小题5分，共60分）1.若ab0，cd0，则一定有（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为,所以又，所以,变形得,选D.2.设向量，则下列结论中正确的是A. B. C. 与垂直D. 【答案】C【解析】试题分析：因为向量，所以，选项A错误；，选项B错误；，所以与垂直，选项C正确；因为11-010，所以向量与不平行，选项D错误。考点：向量的数量积；向量数量积的性质；向量垂直的条件；向量平行的条件。点评：熟记向量平行和垂直的条件，设：非零向量垂直的充要条件：；向量共线的充要条件：。3.若向量(1,1)，(1，1)
2、，(1,2)，则等于()A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：设 考点：平面向量基本定理4.若一元二次不等式对一切实数都成立,则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由一元二次不等式，可知，所以，得到的范围.【详解】因为一元二次不等式，对一切实数都成立，所以，即，解得所以的取值范围为故选A项.【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，属于简单题.5.已知中，分别为的对边，则等于（ ）A. B. 或C. D. 或【答案】D【解析】,因为.6.已知，则向量与向量夹角是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：根据已知可得：，所以，所以夹角
3、为，故选择C考点：向量运算7.在中，分别为的对边，这个三角形的面积为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】依题意，解得，由余弦定理得.【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用.题目所给已知条件包括一个角和一条边，还给了三角形的面积，由此建立方程可求出边的长，再用余弦定理即可求得边的长.利用正弦定理或者余弦定理解题时，主要根据题目所给的条件选择恰当的公式解列方程.8.如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为（ ）海里/小时A. B. C. D. 【答案】C【解析】【
4、分析】先求出的值，再根据正弦定理求出的值，从而求得船的航行速度.【详解】由题意，在中，由正弦定理得，得所以船的航行速度为（海里/小时）故选C项.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于简单题.9.已知，且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对使用基本不等式，再代入条件，得到最小值，然后研究等号成立条件，确定最终答案.【详解】由题意根据基本不等式，得当且仅当时，即时，等号成立.故选A项.【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于简单题.10.在菱形ABCD中，若，则等于()A. 2B. 2C. |cos AD. 与菱形的边长有关【答案】B【解析】【分析】根据，得到
5、，连接交于，将用表示，得到答案.【详解】连接交于，根据菱形，可知因为，所以，所以而，所以 故选B项.【点睛】本题考查向量间的互相表示，向量的数量积，属于简单题.11.已知，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据，转化为求的最小值，然后根据基本不等式，得到答案.【详解】因为，所以当且仅当，即时，等号成立所以的最小值为故选A项.【点睛】本题考查对数的基本运算，基本不等式的运用，属于简单题.12.已知ABC的面积为, BAC=, AD是ABC的角平分线, 则AD长度的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】由，而，从而得到与【详解】中，BAC=
6、, AD是角平分线得，而因此得而，所以故选D项.【点睛】本题考查正弦定理解三角形，基本不等式，属于中档题.二填空题（每小题5分，共20分）13.若关于的不等式的解集为，则_【答案】1【解析】【分析】根据二次不等式和二次方程的关系，得到是方程的两根，由根与系数的关系得到的值.【详解】因为关于的不等式的解集为所以是方程的两根，由根与系数的关系得，解得【点睛】本题考查一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，根与系数之间的关系，属于简单题.14.已知中，则=_【答案】【解析】【分析】对条件中的式子，利用正弦定理化成边，然后利用余弦定理，得到的值，然后得到的值.【详解】在中，由正弦定理得所以，所以，得，
7、由余弦定理得又因所以【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，属于简单题.15.在中，点，满足，若，则_【答案】【解析】如图：，点睛：把一个向量用另外的向量表示时，主要掌握向量的加减法运算中三角形法则，即由待表示向量的起始字母首尾相连到结束的字母，然后再结合向量的数乘运算，把所有的向量用基底表示即可得结论16.如图，已知点是平行四边形的中心，过点作直线与边及的延长线分别交于,若，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】利用，转化到上，得到之间的关系，再利用基本不等式求得的最小值.【详解】，共线，所以而，所以，即当且仅当，即，等号成立.【点睛】本题考查向量的基底代换，向量共线表示，基本不等式中“
8、1的代换”，属于中档题.三解答题17.已知，（1）若，且，求；（2）若向量与互相垂直，求的值【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）设向量，根据，得到方程，然后根据，得到的另一个方程，解出，得到.（2）根据向量互相垂直，得到，然后代入和，得到关于的方程，得到答案.详解】（1）设因为，所以，因为，所以解得或，所以或（2）向量与互相垂直所以，即而所以因此，解得【点睛】本题考查向量的平行和垂直关系的转化，属于简单题.18.已知三个内角,的对边分别为, 且.(1)求角， (2)若=,的面积为，求.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）把条件中的式子利用正弦定理进行边化角，然后得到的值，然后得
9、到角的值.（2）由的面积为，结合（1）中的结论，得到的值，再利用余弦定理得到的值，从而求出的值.【详解】（1）在中，由正弦定理得所以，可转化为因为为内角，所以，所以得，因为，所以.（2）因为的面积为，所以，可得在中，由余弦定理得，即所以，又所以.【点睛】本题考查正弦定理边化角，余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.19.解关于的不等式.【答案】当时，当时，当时，当时，当时，.【解析】试题分析：（1）第一层先讨论，确定二次不等式对应二次函数的开口方向；（2）时要讨论根和的大小关系，结合三个二次的关系得不等式的解集.试题解析：当时，当时，；当时，；当时，；当时，.考点：二次不等式的解法，分
10、类讨论思想.20.四边形中， 的面积为.（1）求;（2）若，求.【答案】（1）4（2）3【解析】【分析】（1）根据的面积为，求出，从而得到，再利用余弦定理得到的长；（2）根据（1）中求出的长，得到的值，再求得的值，利用正弦定理，求得的长.【详解】（1）在中，的面积为，可得，所以因为，所以在中，由余弦定理得所以.（2）在中，而，所以在中，由正弦定理得，即，得.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式的运用，属于简单题.21.甲、乙两地相距100，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度为 （）.已知汽车每小时的运输成本（单位为元）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度的平方成正比，比例
11、系数为；固定部分为元(为正的常数）.（1）若，要使全程的运输成本不超过500元，求速度的取值范围；（2）若已知.试分析为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶；若要使得全程运输成本的最小值不高于600元，试求的最大值.【答案】（1）（2）360【解析】【分析】根据题意分别表示运输成本的可变部分和固定部分，将运输成本表示成关于速度的函数，（1）代入的值，根据题意列出不等式，解出的范围；（2）利用基本不等式，求出运输成本的最小值，其中等号成立条件即为所求；根据题意列出不等式，分离出，然后求出的最大值.【详解】由题意运输成本（）（1），不超过500元，则有，即，解得.又因，所以的范围为.（2）由基
12、本不等式得当且仅当，即时等号成立.而，所以，所以等号可以成立，即汽车以的速度行驶时，全程运输成本最小，最小值为. 由可知全程运输成本最小值为，（为正的常数）根据题意要使全程运输成本的最小值不高于600元，则，即，即由，可得，所以，所以的最大值为.【点睛】本题考查将实际应用题转化为数学表达式的能力，解一元二次不等式，利用基本不等式求最值，参变分离求参数的最值，属于中档题.22.已知中，角的对边分别为，且.（1）求证：； （2）若，试求.【答案】（1）见解析（2）4：5：6【解析】【分析】（1）由余弦定理写出，代入已知条件进行化简，利用基本不等式，得到的范围，然后得到的范围.（2）利用正弦定理进行边化角，然后代入，整理化简得到关于的方程，解出，再利用余弦定理，表示出之间的关系，然后得到.【详解】（1）在中，由余弦定理得而是内角，所以（2）在中，由正弦定理得由得因为，所以所以因为，所以整理得解得或因为，所以，所以由余弦定理得，代入得，整理得所以所以【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，两角和的正弦公式，二倍角公式等综合运用，属于难题. - 18 -
