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1、习题课:天体运动1.两个质量不同的天体构成双星系统,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,下列说法正确的是()A.质量大的天体线速度较大B.质量小的天体角速度较大C.两个天体的向心力大小相等D.若在圆心处放一个质点,它受到的合力为零解析双星系统的结构是稳定的,故它们的角速度相等,故B项错误;两个星球间的万有引力提供向心力,根据牛顿第三定律可知,两个天体的向心力大小相等,故C项正确;根据牛顿第二定律,有Gm1m2L2=m12r1=m22r2其中:r1+r2=L故r1=m2m1+m2Lr2=m1m1+m2L故v1v2=r1r2=m2m1故质量大的天体线速度较小,故A错误;若在圆心处放一个质
2、点,合力F=Gm1m0r12-Gm2m0r22=Gm0(m1+m2)2L2(m1m22-m2m12)0,故D错误。答案C2.地球同步卫星“静止”在赤道上空的某一点,它绕地球运行的周期T1与地球自转的周期T2之间的关系是()A.T1T2C.T1=T2D.无法确定解析地球同步卫星的周期与地球自转的周期相同,它们的角速度也相等,故C正确。答案C3.近年来,人类发射了多枚火星探测器对火星进行科学探究,为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动,并测得该探测器运动的周期为T,则火星的平均密度的表达式为(k是一个常数)()A.=kT-1B.=kTC
3、.=kT2D.=kT-2解析火星探测器绕火星做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力可得:GMmr2=m42T2r(r为轨道半径即火星的半径),得火星的质量M=42r3GT2,则火星的平均密度=M43r3,联立解得火星的平均密度=3GT2=kT2=kT-2(k为某个常量),D正确。答案D4.(多选)肩负着“落月”和“勘察”重任的嫦娥三号沿地月转移轨道直奔月球,如图所示,在距月球表面100 km的P点进行第一次制动后被月球捕获,进入椭圆轨道绕月飞行,之后,卫星在P点又经过第二次“刹车制动”,进入距月球表面100 km的圆形工作轨道,绕月球做匀速圆周运动,在经过P点时会再一次“刹车制动”进入近月点距
4、月球表面15 km的椭圆轨道,然后择机在近月点下降进行软着陆,则下列说法正确的是()A.嫦娥三号在轨道上运动的周期最长B.嫦娥三号在轨道上运动的周期最长C.嫦娥三号经过P点时在轨道上运动的线速度最大D.嫦娥三号经过P点时,在三个轨道上的加速度相等解析由于嫦娥三号在轨道上运动的半长轴大于在轨道上运动的半径,也大于轨道的半长轴,根据开普勒第三定律可知,嫦娥三号在各轨道上稳定运行时的周期关系为TTT,故A正确,B错误;嫦娥三号在由高轨道降到低轨道时,都要在P点进行“刹车制动”,所以经过P点时,在三个轨道上的线速度关系为vvv,所以C错误;由于嫦娥三号在P点时的加速度只与所受到的月球引力有关,故D正确
5、。答案AD5.设地球半径为R,a为静止在地球赤道上的一个物体,b为一颗近地绕地球做匀速圆周运动的人造卫星,c为地球的一颗同步卫星,其轨道半径为r。下列说法正确的是()A.a与c的线速度大小之比为rRB.a与c的线速度大小之比为RrC.b与c的周期之比为rRD.b与c的周期之比为RrRr解析物体a与同步卫星c角速度相等,由v=r可得,二者线速度之比为Rr,选项A、B均错误;而b、c均为卫星,由T=2r3GM可得,二者周期之比为RrRr,选项C错误,D正确。答案D6.太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统,它们运行的原理可以理解为,质量为M的恒星和质量为m的行星(Mm),在它们之间的万有引力
6、作用下有规律地运动着。如图所示,我们可认为行星在以某一定点C为中心、半径为a的圆周上做匀速圆周运动(图中没有表示出恒星)。设引力常量为G,恒星和行星的大小可忽略不计。(1)试在图中粗略画出恒星运动的轨道和位置。(2)试计算恒星与点C间的距离和恒星的运行速率v。解析(1)恒星运动的轨道和位置大致如图。(2)对行星m有F=m2Rm对恒星M有F=M2RM根据牛顿第三定律,F与F大小相等由得RM=mMa对恒星M有Mv2RM=GMm(Rm+RM)2代入数据得v=mM+mGMa。答案见解析能力提升1.如图所示,拉格朗日点L1位于地球和月球连线上,处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下,可与月球一起以相
7、同的周期绕地球运动。据此,科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站,使其与月球同周期绕地球运动。以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小,a3表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是()A.a2a3a1B.a2a1a3C.a3a1a2D.a3a2a1答案D2.a是地球赤道上一栋建筑,b是在赤道平面内做匀速圆周运动的卫星,c是地球同步卫星,已知c到地心距离是b的二倍,某一时刻b、c刚好位于a的正上方(如图所示),经48 h,a、b、c的大致位置是图中的()解析在某时刻c在a的正上方,则以后永远在a的正上方,对b和c,根据GMmr2=m42T2r,推知Tc=22Tb,又由2Tc=n
8、bTb,得nb=2225.66圈,所以B正确。答案B3.嫦娥三号环月变轨的示意图如图所示。在圆轨道运行的嫦娥三号通过变轨后绕圆轨道运行,则下列说法中正确的是()A.嫦娥三号在轨道的线速度大于在轨道的线速度B.嫦娥三号在轨道的角速度大于在轨道的角速度C.嫦娥三号在轨道的运行周期大于在轨道的运行周期D.嫦娥三号由轨道通过加速才能变轨到轨道解析嫦娥三号在轨道和轨道都做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,则有GMmr2=mv2r=m2r=m42T2r,解得:v=GMr,=GMr3,T=2r3GM,因r1r2,因此嫦娥三号在轨道的线速度小于在轨道的线速度,嫦娥三号在轨道的角速度小于在轨道的角速度,嫦娥三号
9、在轨道的运行周期大于在轨道的运行周期,故A、B错误,C正确;由高轨道变轨到低轨道做近心运动,需要万有引力大于向心力,所以由轨道通过减速才能变轨到轨道,故D错误。答案C4.(多选)(2018全国)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s时,它们相距约400 km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体,由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星()A.质量之积B.质量之和C.速率之和D.各自的自转角速度解析设两中子星质量为m1、m2,环绕半径为r1、r2,两星间
10、距为r。所以有Gm1m2r2=m12r1Gm1m2r2=m22r2可解得m1=2r2r2G;m2=2r1r2G所以m1+m2=2r3G,故B项正确;设两星速率分别为v1、v2。所以有v1+v2=(r1+r2)=r由题意可得、r,故C项正确。答案BC5.“玉兔号”月球车在月球表面接触的第一步实现了中国人“奔月”的伟大梦想。“玉兔号”在月球表面做了一个自由落体实验,测得物体从静止自由下落h高度的时间为t,已知月球半径为R,自转周期为T,引力常量为G。求:(1)月球表面重力加速度和月球的“第一宇宙速度”;(2)月球质量;(3)月球同步卫星距离月球表面的高度。解析(1)由自由落体运动规律有:h=12g0t2,所以有:g0=2ht2月球的“第一宇宙速度”为近月卫星做匀速圆周运动的运行速度,根据重力提供向心力得mg0=mv12R,所以v1=g0R=2hRt2;(2)在月球表面的物体受到的重力等于万有引力,则mg0=GMmR2,所以M=g0R2G=2hR2Gt2;(3)月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力得:GMm(R+H)2=m42T2(R+H),解得H=3GMT242-R=3hR2T222t2-R。答案(1)2ht22hRt2(2)2hR2Gt2(3)3hR2T222t2-R8
