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1、第5讲函数的单调性与最值1.单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x10,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k0)在公共定义域内与y=-f(x),y=1f(x)的单调性相反.(4)函数y=f(x)(f(x)0)在公共定义域内与y=f(x)的单调性相同.(5)复合函数单调性的确定方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.2.单调性定义的等价形式:设
2、x1,x2a,b,x1x2.(1)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0或f(x1)-f(x2)x1-x20,则f(x)在闭区间a,b上是增函数;(2)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0或f(x1)-f(x2)x1-x20,则f(x)在闭区间a,b上是减函数.3.函数最值的两条结论:(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.题组一常识题1.教材改编 函数f(x)=(2a-1)x-3是R上的减函数,则a的取值范围是.2.教材改编 函数f(x)=(x-2)2+5(x-3,3)的单调递增
3、区间是;单调递减区间是.3.教材改编 函数f(x)=3x+1(x2,5)的最大值与最小值之和等于.4.教材改编 函数f(x)=|x-a|+1在2,+)上是增函数,则实数a的取值范围是.题组二常错题索引:求单调区间忘记定义域导致出错;对于分段函数,一般不能整体单调,只能分段单调;利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解;混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念.5.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是.6.已知函数f(x)=(a-2)x,x2,12x-1,x2是定义在R上的减函数,则实数a的取值范围为.7.函数y=f(x)是定义在-2,2上的减函数,且f(a+1)1),x(-2,
4、+)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.总结反思 (1)定义法证明函数单调性的一般步骤:任取x1,x2D,且x10,0,x=0,-1,x0.记a=f(30.2)30.2,b=f(0.32)0.32,c=f(log25)log25,则()A.abcB.bacC.cabD.cba总结反思 比较函数值的大小时,应先将自变量转化到同一个单调区间内,再利用函数的单调性去比较大小.微点2利用函数的单调性解决不等式问题例4 (1)2018广州模拟 已知函数f(x)=log2(4x+1)+x,则不等式f(log3x)1的解集为()A.(0,1)B.(0,2)C.(-1,0)D.(-1,1)(2)已知函数f
5、(x)的定义域为R,对任意x1x2,都有f(x1)-f(x2)3x的解集为()A.(2,+)B.(-,2)C.(1,+)D.(-,1)总结反思 解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义,具体步骤是:(1)将函数不等式转化成f(x1)f(x2)的形式;(2)考查函数f(x)的单调性;(3)据函数f(x)的单调性去掉法则“f”,转化为形如“x1x2”或“x10,设函数f(x)=2018x+1+20172018x+1+2018x3(x-a,a)的最大值为M,最小值为N,则M+N的值为()A.2018B.2019C.4035D.4036(2)2018龙岩质检 函数f(x)=13x-log2(x+4)在
6、区间-2,2上的最大值为.总结反思 若函数f(x)在区间a,b上单调,则必在区间的端点处取得最值;若函数f(x)在区间a,b上不单调,则最小值为函数f(x)在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值,最大值为函数f(x)在该区间内的极大值和区间端点值中最大的值.微点4利用函数的单调性求参数的范围(或值)例6 (1)2018南充三模 已知f(x)=(3-a)x,x(-,1,ax,x(1,+)是R上的增函数,那么实数a的取值范围是()A.(0,3)B.(1,3)C.(1,+)D.32,3(2)已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若f(x)在区间1,+)上是增函数,则a的取值范围是.总结反思
7、(1)根据函数的单调性,将题设条件转化为含参数的不等式(组),即可求出参数的值或范围;(2)若分段函数是单调函数,则不仅要保证在各区间上单调性一致,还要确保在整个定义域内是单调的.应用演练1.【微点1】2018南阳第一中学模拟 已知a,bR,0ab1,则下列不等式错误的是()A.a3b3B.2a2bC.log2alog3bD.loga20成立,则实数a的取值范围是()A.(0,+)B.12,+C.0,12D.12,24.【微点2】2018昆明检测 已知函数f(x)=e-x,x0,-x2-2x+1,x0,若f(a-1)f(-a),则实数a的取值范围是()A.-,12B.12,+C.0,12D.1
8、2,15.【微点3】2018河南六市联考 若函数f(x)=|x|-1x2,1|x|9的最大值为M,最小值为m,则M-m=()A.24181B.24281C.269D.319第5讲函数的单调性与最值考试说明 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数图像分析函数的性质.【课前双基巩固】知识聚焦1.f(x1)f(x2)上升的下降的2.增函数或减函数区间D3.f(x)Mf(x0)=M对点演练1.a12解析 当2a-10,即a12时,f(x)是R上的减函数.2.(2,3-3,2解析 由函数f(x)=(x-2)2+5(x-3,3)的图像(图略)即可得到单调区间.3.32解析 函数f(x)=3x+1在2,5上是减函数,所以最大值为f(2)=1,最小值为f(5)=12,所以最大值与最小值之和为1+12=32.4.a2解析 因为函数f(x)=|x-a|+1的单调递增区间是a,+),当f(x)在2,+)上单调递增时,满足2,+)a,+),所以a2.5.32,4解析 函数f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4=-x-322+254,x(-1,4)的单调递减区间为32,4,函数f(x)的单调递减区间为32,4.6.-,138解析 由题知a-20,(a-2)2122-1,解得a1
