《（浙江专用）2020版高考数学一轮总复习 专题5 平面向量与解三角形 5.3 正弦、余弦定理及解三角形检测》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（浙江专用）2020版高考数学一轮总复习 专题5 平面向量与解三角形 5.3 正弦、余弦定理及解三角形检测（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.3正弦、余弦定理及解三角形挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点正弦、余弦定理1.理解正弦定理、余弦定理的推导过程.2.掌握正弦定理、余弦定理并能灵活运用.2018浙江,13三角形边和角的求法三角恒等变换解三角形及其综合应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与三角形有关的几何问题以及和测量有关的实际问题.2016浙江,16三角形角的求法三角形的面积2015浙江,16三角形边和角的求法三角形的面积2014浙江,18三角形角和面积的求法三角恒等变换分析解读1.主要考查正弦定理和余弦定理,以及利用正弦、余弦定理和三角形面积公式解三角形.2.高考命题仍会以三角形
2、为载体,以正弦定理和余弦定理为框架综合考查三角知识.3.预计2020年高考中,仍会对解三角形进行重点考查,复习时应高度重视.破考点【考点集训】考点一正弦、余弦定理1.(2018浙江绍兴高三3月适应性模拟,6)在ABC中,内角C为钝角,sin C=,AC=5,AB=35,则BC=() A.2B.3C.5D.10答案A2.(2018浙江嵊州高三期末质检,14)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos(A+C)=,a=2,b=4,则sin A=,c=.答案158;3考点二解三角形及其综合应用1.(2018浙江湖州、衢州、丽水第一学期质检,15)在锐角ABC中,AD是BC边上的中线
3、,若AB=3,AC=4,ABC的面积是33,则AD=.答案3722.(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD=m.答案1006炼技法【方法集训】方法有关三角形面积的计算1. (2018浙江杭州高三教学质检,13)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=5,b=3,sin C=2sin A,则sin A= ;设D为AB边上一点,且BD=2DA,则BCD的面积为.答案55;22.(2018浙江金华十校高考模拟(4月),
4、18)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin A=sin(B-C)+2sin 2B,B.(1)证明:c=2b;(2)若ABC的面积S=5b2-a2,求tan A的值.解析(1)证明:由sin A=sin(B-C)+2sin 2B,知sin(B+C)=sin(B-C)+4sin Bcos B,展开化简得,cos Bsin C=2sin Bcos B,又因为B,所以sin C=2sin B,由正弦定理得,c=2b.(2)因为ABC的面积S=5b2-a2,所以有bcsin A=5b2-a2,由(1)知c=2b,代入上式得b2sin A=5b2-a2,所以a2=b2+c2-2bc
5、cos A=5b2-4b2cos A,代入得b2sin A=4b2cos A,tan A=4.过专题【五年高考】A组自主命题浙江卷题组考点一正弦、余弦定理(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=7,b=2,A=60,则sin B=,c=.答案217;3考点二解三角形及其综合应用1.(2017浙江,11,4分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率,理论上能把的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.答案332 2.(201
6、6浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若ABC的面积S=a24,求角A的大小.解析(1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B,所以B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)由S=a24得absin C=a24,故有sin Bsin C=sin 2B=sin Bcos
7、B,因sin B0,得sin C=cos B.又B,C(0,),所以C=B.当B+C=时,A=;当C-B=时,A=.综上,A=或A=.评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.3.(2015浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.(1)求tan C的值;(2)若ABC的面积为3,求b的值.解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos 2B=sin2C.又由A=,即B+C=,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得tan C=2.(2
8、)由tan C=2,C(0,)得sin C=255,cos C=55.又因为sin B=sin(A+C)=sin4+C,所以sin B=31010.由正弦定理得c=223b,又因为A=,bcsin A=3,所以bc=62,故b=3.评析本题主要考查三角函数、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.4.(2015浙江文,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan4+A=2.(1)求sin2Asin2A+cos2A的值;(2)若B=,a=3,求ABC的面积.解析(1)由tan4+A=2,得tan A=,所以sin2Asin2A+cos2A=2tanA2tanA+
9、1=.(2)由tan A=,A(0,),得sin A=1010,cos A=31010.又由a=3,B=及正弦定理得b=35.由sin C=sin(A+B)=sinA+4得sin C=255.设ABC的面积为S,则S=absin C=9.评析本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.5.(2014浙江,18,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ab,c=3,cos2A-cos2B=3sin Acos A-3sin Bcos B.(1)求角C的大小;(2)若sin A=,求ABC的面积.解析(1)由题意得1+cos2A2-1+cos2B2=3
10、2sin 2A-32sin 2B,即32sin 2A-cos 2A=32sin 2B-cos 2B,sin2A-6=sin2B-6.由ab,得AB,又A+B(0,),得2A-+2B-=,即A+B=23,所以C=.(2)由c=3,sin A=,asinA=csinC,得a=,由ac,得AC.从而cos A=,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=4+3310,所以ABC的面积S=acsin B=83+1825.评析本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一正
11、弦、余弦定理 1.(2018课标全国理,6,5分)在ABC中,cos=55,BC=1,AC=5,则AB=()A.42B.30C.29D.25答案A2.(2017山东理,9,5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A3.(2018课标全国文,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为.答案233
12、4.(2017课标全国文,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=.答案5.(2018课标全国理,17,12分)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解析(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由题设知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2B
13、DDCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.方法总结正、余弦定理的应用原则(1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其中一对的比值或等量关系就可以通过该定理解决问题,在解题时要学会灵活运用.(2)运用余弦定理时,要注意整体思想的应用.(3)在利用正、余弦定理判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.(4)在利用正弦定理求三角形解的个数问题时,可能会出现一解、两解或无解的情况,所以解答此类问题时需要进行分类讨论,以免漏解或增解.6.(2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍.
14、(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.解析(1)SABD=ABADsinBAD,SADC=ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=.(2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=2.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.考点二解三角形及其综合应用1.(2018课标全国文,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为a2+b2-c24,则C=()A.B.C.D.答案C2.(2014课标,4,5分)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=2,则AC=()A.5B.5C.2D.1答案B3.(2018北京文,14,5分)若ABC的面积为34(a2+c2-b2),且C为钝角,则
