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1、阶段质量检测（二） 数列(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1等比数列an的公比q，a1，则数列an是()A递增数列B递减数列C常数数列 D摆动数列解析：选D因为等比数列an的公比为q，a1，故a20，所以数列an是摆动数列2若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a3bc10，则a的值是()A1 B1C3 D4解析：选D由题意，得解得a4，b2，c8.3在数列an中，a1，an(1)n2an1(n2)，则a5等于()A B.C D.解析：选Ba1，an(1)n2an1，a2(1
2、)22，a3(1)32，a4(1)42，a5(1)52.4在等比数列an中，已知前n项和Sn5n1a，则a的值为()A1 B1C5 D5解析：选D因为Sn5n1a55na，由等比数列的前n项和Snqn，可知其常数项与qn的系数互为相反数，所以a5.5已知数列an满足a11，an1则254是该数列的()A第8项 B第10项C第12项 D第14项解析：选D当n为正奇数时，an12an，则a22a12，当n为正偶数时，an1an1，得a33，依次类推得a46，a57，a614，a715，归纳可得数列an的通项公式an则22254，n14，故选D.6已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2
3、a315，且，则a2()A2 B.C3 D.解析：选CS1a1，S33a2，S55a3，a1a2a315，a23.故选C.7如果数列a1，a2a1，a3a2，anan1，是首项为1、公比为的等比数列，那么an()A. B.C. D.解析：选A由题知a11，q，则anan11n1.设数列a1，a2a1，anan1的前n项和为Sn，Sna1(a2a1)(a3a2)(anan1)an.又Sn，an.8设Sn为等差数列an的前n项和，a12 014，2，则S2 016的值为()A2 016 B2 016C2 015 D2 015解析：选B因为Sn为等差数列an的前n项和，所以数列是等差数列设数列的公差
4、为d，则由2，得2d2，解得d1，所以2 015da12 015d2 0142 0151，所以S2 0162 016.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分把答案填在题中横线上)9已知an是等差数列，Sn为其前n项和，nN*.若a316，S2020，则a1_，d_，S10_.解析：由已知得，解得a120，d2，S101020(2)110.答案：20211010(浙江高考)设数列an的前n项和为Sn.若S24，an12Sn1，nN*，则a1_，S5_.解析：an12Sn1，Sn1Sn2Sn1，Sn13Sn1，Sn13，数列是公比为3的等比数列，3.又S24，S11，
5、a11，S53434，S5121.答案：112111已知数列an的通项公式为an2 0153n，则使an0成立的最大正整数n的值为_解析：由an2 0153n0，得n671，又nN*，n的最大值为671.答案：67112某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于_解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn2n12.由2n12100，得2n1102.由于2664,27128，则n17，即n6.答案：613已知数列an满足an1an2n(nN*)，a13，则an_，的最小值为_解析：an1an2n
6、，a2a121，a3a222，a4a323，anan12(n1)，以上各式相加可得ana122n2n，a13，ann2n3.n1.f(x)x在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，又113，21，所以的最小值为.答案：n2n314已知等差数列an，bn的前n项和分别为An，Bn，且满足，则_.解析：根据题意，由，可设：An2n2，Bnn(n3)，则：a1A12, 当n2时，anAnAn14n2，b1B14，当n2时，bnBnBn12n2，.答案：15定义函数f(x)xx，其中x表示不小于x的最小整数，如1.22，2.62.当x(0，n(nN*)时，函数f(x)的值域记为An，记An中元素的个
7、数为an，则an_，_.解析：当x(0,1时，x1，xxx，则f(x)xx1，即A11，故a11；当x(0,2时，x1,2，xxx或2x，则f(x)xx1,3,4，即A21,3,4，故a23；当x(0,3时，x1,2,3，xxx或2x或3x，则f(x)xx1,3,4,7,8,9，即A31,3,4,7,8,9，故a36；同理可得a410，注意到an，所以.答案：三、解答题(本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(14分)已知函数f(x)，数列xn的通项由xnf(xn1)(n2且xN*)确定(1)求证：是等差数列；(2)当x1时，求x2 016.解：(1)证明：xnf
8、(xn1)(n2且nN*)，(n2且nN*)，是等差数列(2)由(1)知(n1)2.x2 016.17(15分)在ABC中，若lg sin A，lg sin B，lg sin C成等差数列，且三个内角A，B，C也成等差数列，试判断此三角形的形状解：A，B，C成等差数列，2BAC.又ABC，3B，即B，AC.lg sin A，lg sin B，lg sin C成等差数列，2lg sin Blg sin Alg sin C，即sin2Bsin Asin C.又B，sin B.sin Asin Csin2B.又cos(AC)cos Acos Csin Asin C，cos(AC)cos Acos C
9、sin Asin C，sin Asin Ccos(AC)cos(AC).cos(AC)，cos(AC)1.AC(，)，AC0，即AC.ABC.ABC是等边三角形18(15分)已知等比数列an的前n项和为Sn，a11，anan1，且S32S21.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn(2n1)an(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)设等比数列an的公比为q，由an1，又a11，则a2q，a3q2，因为S32S21，所以a1a2a32(a1a2)1，则1qq22(1q)1，即q2q20，解得q2或q1(舍去)，所以数列an的通项公式为an2n1(nN*)(2)由(1)知，
10、bn(2n1)an(2n1)2n1(nN*)，则Tn120321522(2n1)2n1，2Tn121322523(2n3)2n1(2n1)2n，两式相减，得Tn122122222n1(2n1)2n，即Tn12223242n(2n1)2n，化简得Tn(2n3)2n3.19(15分)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1055，S20210.(1)求数列an的通项公式(2)设bn，是否存在m，k(km2，m，kN*)使得b1，bm，bk成等比数列？若存在，请说明理由解：(1)设等差数列an的公差为d，则Snna1d.由已知，得即解得所以ana1(n1)dn(nN*)(2)假设存在m，k(km2，m，kN*)使得b1，bm，bk成等比数列，则bb1bk.因为bn，所以b1，bm，bk，所以2.整理，得k.以下给出求m，k的方法：因为k0，所以m22m10，解得1m1， 当n2时，cn为递增数列，cnc2，t的取值范围为.法二：tan1(an1)10对任意n2的整数恒成立，即t10恒成立，t对任意n2的整数恒成立令n1m，t2m4，令f(m)2m4，2m2，mN*，f(m)在单调递增，tf(m)minf(1)，t的取值范围为.8
