《(浙江专版)2017-2018学年高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例学案 新人教a版必修4》由会员分享,可在线阅读,更多相关《(浙江专版)2017-2018学年高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例学案 新人教a版必修4(17页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2.5预习课本P109112,思考并完成以下问题.(1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题? (2)如何用向量方法解决物理问题? (3)如何判断多边形的形状? 1用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系2向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中(3)动量mv是向量的数乘运算(4)功是力F与位移s的数量积1若向量(2,2),(2,3)分
2、别表示两个力F1,F2,则|F1F2|为()A(0,5)B(4,1)C2 D5答案:D2在四边形ABCD中,0,则四边形ABCD是()A直角梯形 B菱形C矩形 D正方形答案:C3力F(1,2)作用于质点P,使P产生的位移为s(3,4),则力F对质点P做的功是_答案:11向量在几何中的应用题点一:平面几何中的垂直问题1.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AFDE.证明:法一:设a,b,则|a|b|,ab0,又ab,ba,所以a2abb2|a|2|b|20.故,即AFDE.法二:如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0)
3、,F(2,1),(2,1),(1,2)因为(2,1)(1,2)220,所以,即AFDE.题点二:平面几何中的平行(或共线)问题2. 如图,点O是平行四边形ABCD的中心,E,F分别在边CD,AB上,且.求证:点E,O,F在同一直线上证明:设m,n,由,知E,F分别是CD,AB的三等分点,m(mn)mn,(mn)mmn.又O为和的公共点,故点E,O,F在同一直线上题点三:平面几何中的长度问题3.如图,平行四边形ABCD中,已知AD1,AB2,对角线BD2,求对角线AC的长解:设a,b,则ab,ab,而|ab|2,52ab4,ab,又|2|ab|2a22abb2142ab6,|,即AC.用向量方法
4、解决平面几何问题的步骤向量在物理中的应用典例(1)在长江南岸某渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定?(2)已知两恒力F1(3,4),F2(6,5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0),求F1,F2分别对质点所做的功解(1) 如图,设表示水流的速度,表示渡船的速度,表示渡船实际垂直过江的速度因为,所以四边形ABCD为平行四边形在RtACD中,ACD90,|12.5,|25,所以CAD30,即渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30.(2)设物体在力F作用下的位移为s,则所做的功为WFs.(7,0
5、)(20,15)(13,15)W1F1(3,4)(13,15)3(13)4(15)99(焦),W2F2(6,5)(13,15)6(13)(5)(15)3(焦)一题多变1变设问本例(2)条件不变,求F1,F2的合力F为质点所做的功解:WF(F1F2)(3,4)(6,5)(13,15)(9,1)(13,15)9(13)(1)(15)11715102(焦)2变条件本例(2)条件变为:两个力F1ij,F24i5j作用于同一质点,使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i,j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)求:F1,F2分别对该质点做的功解:(7,0)(20,15)(13,15),F1
6、做的功W1F1sF1(1,1)(13,15)28(焦)F2做的功W2F2sF2(4,5)(13,15)23(焦)用向量方法解决物理问题的“三步曲”层级一学业水平达标1已知三个力f1(2,1),f2(3,2),f3(4,3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,再加上一个力f4,则f4()A(1,2)B(1,2)C(1,2) D(1,2)解析:选D由物理知识知f1f2f3f40,故f4(f1f2f3)(1,2)2人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为()Av1v2 Bv1v2C|v1|v2| D.解析:选B由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1v2.注意速度是有方向和大小的
7、,是一个向量3已知四边形ABCD各顶点坐标是A,B,C,D,则四边形ABCD是()A梯形 B平行四边形C矩形 D菱形解析:选A,(3,4),即ABDC.又|,|5,|,四边形ABCD是梯形4在ABC中,AB3,AC边上的中线BD,5,则的长为()A1 B2C3 D4解析:选B,BD22,即1.|2,即AC2.5已知ABC满足,则ABC是()A等边三角形 B锐角三角形C直角三角形 D钝角三角形解析:选C由题意得,2()2,0,ABC是直角三角形6已知力F(2,3)作用于一物体,使物体从A(2,0)移动到B(2,3),则力F对物体所做的功是_解析:(4,3),WFsF(2,3)(4,3)891.答
8、案:17用两条成120角的等长绳子悬挂一个灯具,已知灯具重量为10 N,则每根绳子的拉力大小为_ N.解析: 如图,由题意,得AOCCOB60,|10,则|10,即每根绳子的拉力大小为10 N.答案:108已知A,B是圆心为C,半径为的圆上的两点,且|AB|,则_.解析:由弦长|AB|,可知ACB60,|cosACB.答案:9已知ABC是直角三角形,CACB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE2EB.求证:ADCE.证明:如图,以C为原点,CA所在直线为x轴,建立平面直角坐标系设ACa,则A(a,0),B(0,a),D,C(0,0),E.所以,.所以aaa0,所以,即ADCE.10已知点
9、A(2,1)求过点A与向量a(5,1)平行的直线方程解:设所求直线上任意一点P(x,y),则(x2,y1)由题意知a,故5(y1)(x2)0,即x5y70.故过点A与向量a(5,1)平行的直线方程为x5y70.层级二应试能力达标1已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为()A10 m/sB2 m/sC4 m/s D12 m/s解析:选B设河水的流速为v1,小船在静水中的速度为v2,船的实际速度为v,则|v1|2,|v|10,vv1,v2vv1,vv10,|v2|2(m/s)2在ABC中,AB3,AC2,则的值为
10、()A B.C D.解析:选C因为,所以点D是BC的中点,则(),(),所以()()()(2232),选C.3.如图,在矩形ABCD中,AB,BC2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若,则的值是()A. B2C0 D1解析:选A,()|,|1,|1,()()(1)1222,故选A.4.如图,设P为ABC内一点,且220,则SABPSABC()A. B.C. D.解析:选A设AB的中点是D.2,P为CD的五等分点,ABP的面积为ABC的面积的.5若O为ABC所在平面内一点,且满足()(2)0,则ABC的形状为_解析:()(2)()()()()|2|20,|.答案:等腰三角形6.如图所示,在倾斜
11、角为37(sin 370.6),高为2 m的斜面上,质量为5 kg的物体m沿斜面下滑,物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍,则斜面对物体m的支持力所做的功为_J,重力所做的功为_J(g9.8 m/s2)解析:物体m的位移大小为|s|(m),则支持力对物体m所做的功为W1Fs|F|s|cos 900(J);重力对物体m所做的功为W2Gs|G|s|cos 5359.80.698(J)答案:0987.如图所示,一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45的方向移动了8 m,其中|F1|2 N,方向为北偏东30;|F2|4 N,方向为北偏东60;|F3|6 N,方向为北偏西30,求合力F所做的功 解:以O为原点,正东方向为x