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1、重庆市西南大学附属中学校2019届高三数学第九次月考试题 理（全卷共150分，考试时间为120分钟）注意事项：1 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效3 考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 设集合，则集合的真子集个数为（ ）A2B3C7D82 我们用表示复数的实部，用表示复数的虚部，若已知复数z满足，其中是复数的共轭复数，则（ ）A0B1CD3 在等差数列中，若其前项和满足，则（ ）A7B9C14D1
2、84 袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”“0”“1”“9”现从中随机选出三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率为（ ）ABCD5 若两个单位向量的夹角为，则的最小值为（ ）ABC1D6 已知随机变量服从正态分布且，则（ ）A0.88B0.76C0.24D0.127 若展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数为（ ）A40B30C20D158 关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）ABCD9 将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，所得图像关于直线对称，则的最小正值为（ ）ABCD10 如图是函数的部
3、分图像，则函数的零点所在的区间是（ ）ABCD11 已知椭圆，为其左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任一点，的重心为，内心为，且有(其中为实数)，则椭圆的离心率（ ）ABCD12 对于函数和，设，若对所有的，都有，则称和互为“零点相邻函数”若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（ ）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13 已知实数满足条件，则的最大值为_14 在中，角所对边分别为，若，且，则的面积等于_15 直线的倾斜角的取值范围是_16 已知正方形的边长为，将沿对角线折起，使平面平面，得到如图所示的三棱锥，若为的中点，分别为上的动点(不包括端点)，且，则三棱锥的
4、体积取得最大值时，三棱锥的内切球的半径为_三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17 (本小题满分12分) 已知函数(1) 求函数的单调递增区间；(2) 在ABC中，的对边分别为，若，求b，c18 (本小题满分12分) 某竞赛的题库系统有60%的自然科学类题目，40%的文化生活类题目(假设题库中的题目总数非常大)，参赛者需从题库中抽取3个题目作答，有两种抽取方法：方法一是直接从题库中随机抽取3个题目；方法二是先在题库中按照题目类型用分层抽样的方法抽取10个题目作为样本，
5、再从这10个题目中任意抽取3个题目(1) 两种方法抽取的3个题目中，恰好有1个自然科学类题目和2个文化生活类题目的概率是否相同？若相同，说明理由；若不同，分别计算出两种抽取方法对应的概率；(2) 已知某参赛者抽取的3个题目恰好有1个自然科学类题目和2个文化生活类题目，且该参赛者答对自然科学类题目的概率为错误！未指定书签。，答对文化生活类题目的概率为错误！未指定书签。设该参赛者答对的题目数为X，求X的分布列和数学期望19 (本小题满分12分) 已知椭圆的左、右焦点分别为，过任作一条与两坐标轴都不垂直的直线，与椭圆交于两点，且的周长为8当直线的斜率为时，与轴垂直(1) 求椭圆的标准方程；(2) 在
6、轴上是否存在定点，总能使平分？说明理由20 (本小题满分12分) 如图1，在平行四边形中，点是的中点，点是的中点分别沿将和折起，使得面面(点在平面的同侧)，连接，如图2所示(1) 求证：；(2) 当，且面面时，求二面角的余弦值21 (本小题满分12分) 定义在上的函数满足，(1) 求函数的单调区间；(2) 如果，且，求证：（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22 (本小题满分10分) 【选修44：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线 错误！未指定书签。(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方
7、程为，直线的极坐标方程为(1) 分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；(2) 设直线交曲线于O，M两点，交曲线于O，N两点，求MN的长23 (本小题满分10分) 【选修45：不等式选讲】已知函数，(1) 若，解不等式；(2) 若不等式至少有一个负数解，求实数的取值范围（命题人：廖 航 审题人：王乙橙）西南大学附属中学校高2019级第九次月考数学试题参考答案（理）2019年4月15 CABDB 610 BDDCB 1112 AD132141516 17解：(1) sin(3+x)cos(x)+cos2(+x)，(sin x)(cos x)+(sin x)sin 2x+错误！未指定书签。=s
8、in(2x错误！未指定书签。)+错误！未指定书签。由2k2x错误！未指定书签。2k+，kZ，得k错误！未指定书签。xk+错误！未指定书签。，kZ，即函数的单调递增区间是k错误！未指定书签。，k+错误！未指定书签。，kZ(2) 由错误！未指定书签。得，sin(2A错误！未指定书签。)+=错误！未指定书签。，sin(2A错误！未指定书签。)=1，0A，02A2，错误！未指定书签。2A错误！未指定书签。，2A=错误！未指定书签。，A=错误！未指定书签。，a=2，b+c=4，根据余弦定理得，4=+2bccos A=+bc=(b+c)3bc=163bc，bc=4，联立得，b=c=218解：(1) 两种抽
9、取方法得到的概率不同方法一：由于题库中题目总数非常大，可以认为每抽取1个题目，抽到自然科学类题目的概率均为错误！未指定书签。，抽到文化生活类题目的概率均为错误！未指定书签。，所以抽取的3个题目中恰好有1个自然科学类题目和2个文化生活类题目的概率为错误！未指定书签。方法二：按照题目类型用分层抽样抽取的10个题目中有6个自然科学类题目和4个文化生活类题目，从这10个题目中抽取3个题目，恰好有1个自然科学类题目和2个文化生活类题目的概率为错误！未指定书签。(2) 由题意得，X的所有可能取值为0，1，2，3P(X=0)=，P(X=1)=+=错误！未指定书签。，P(X=2)=+=错误！未指定书签。，P(
10、X=3)= 所以X的分布列为X0123PX的数学期望E(X)=0错误！未指定书签。+1错误！未指定书签。+2错误！未指定书签。+3=19解：(1) 因为，即，又，所以当直线的斜率为时，与轴垂直，所以由，且，解得，即又因为，所以，所以结合，解得所以，椭圆的标准方程为(2) 由(1)得，设直线的方程为，联立，消去，整理得，所以错误！未指定书签。，如果平分，则，即，所以，即，所以，即，所以，即所以为所求20解：(1) 因为四边形是平行四边形，点是的中点，所以，所以是等边三角形连接，由，所以是等边三角形取中点，连接，如图3所示，则因为平面，所以平面，又面，所以(2) 由(1)知由面垂直面，可得，以为坐
11、标原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系由，可得，所以，设，由，得所以，所以，设平面的法向量为，平面的法向量为，由，得取，则由，得取，则所以所以21解：(1) 由错误！未指定书签。，得令错误！未指定书签。，得，故又，则，故，于是；当时，递减；当时，递增；故，故在上单调递增，所以的单调递增区间为(2) 注意到，由得由单调递增，不妨设，则，下面用分析法，要证，即证，由单调递增，故只需证明，而，故只需证，即证设则显然在上单调递增，故22解：(1) 曲线的普通方程为，即，曲线的极坐标方程为，即因为曲线的极坐标方程为=2cos +2错误！未指定书签。sin ，即=2cos +2错误！未指定书签。s
12、in ，故曲线的直角坐标方程为，即(x1)2+(y错误！未指定书签。)2=4（5分）(2) 解法一直线的极坐标方程=化为直角坐标方程得y=错误！未指定书签。，由得，或，则|OM|=由得错误！未指定书签。或 则|ON|=4故|MN|=|ON|OM|=423解：(1) 若，则不等式化为2+|x1|3 当x1时，2+x13，x+20，(x错误！未指定书签。)2+错误！未指定书签。0不成立当x1时，2x+13，即+x0，解得1x0综上，不等式的解集为x|1x0（5分）(2) 作出的图象如图所示，当a0时，的图象如折线所示，由，错误！未指定书签。得+xa2=0，若相切，则=1+4(a+2)=0，得a=错误！未指定书签。，数形结合知，当a错误！未指定书签。时，不等式无负数解，则错误！未指定书签。a0时，的图象如折线所示，此时当a=2时恰好无负数解，数形结合知，当a2时，不等式无负数解，则0a2综上所述，若不等式至少有一个负数解，则实数a的取值范围是(错误！未指定书签。，2)（10分）- 11 -
