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1、1,科学研究的结果和数据处理,主讲： 林 建 联系电话：15105178268 Email： ,2,第1节 试验数据的误差分析, 试验的目的是获得规律，规律的表现形式在于数据 误差存在的客观性 误差范围的可控性和数据的可靠性 本章的主要内容： 误差来源 误差表示 误差估计 误差传递,3,1.1 真值与平均值, 真值客观值或实际值。 真值一般是未知的; 但从相对的意义上来说，真值又是已知的: 理论真值 约定真值 相对真值 平均值真值的近似值或估计值 。,4,（1）算术平均值,适用场合：等精度的试验、试验值服从正态分布。 等精度的试验指试验人员、试验方法、试验场合、试验条件相同的试验。,设有n个试
2、验值：x1，x2，xn，则它们的算术平均值为：,5,（2）加权平均值,设有n个试验值：x1，x2，xn，w1, w2,，wn代表单个试验值对应的权，则它们的加权平均值为：,适用场合：非等精度的试验、试验值服从正态分布。,6,权数或权值的确定：,当试验次数很多时，以试验值xi在测量中出现的频率ni / n作为权数。 如果试验值是在同样的试验条件下但来源于不同的组，则以各组试验值的出现的次数作为权数。 加权平均值即为总算术平均值。（见例1-1） 根据权与绝对误差的平方成反比来确定权数。,例1-2 权数的计算： x1的绝对误差为0.1； x2的绝对误差为0.02，则： x1的权数为 w1=1/0.1
3、2=100 x2的权数为 w2=1/0.022=2500,一般有三种方法,7,（3）对数平均值,设有两个数值x1、x2，都为正数，则它们的对数平均值为：,注意： 如果0.5x1/x2 2时，可用 代替 ，误差4.4 适用场合：试验数据的分布曲线具有对数特性。,8,（4）几何平均值,9,1.2 误差的基本概念,1. 绝对误差 绝对误差 = 试验值真值 x = x xt,最大绝对误差的估算： 用仪器的精度等级估算； 用仪器最小刻度估算,真值一般是未知的，通常用最大的绝对误差来估计其大小范围：,10,2. 相对误差,由于真值一般为未知，所以相对误差也不能准确求出，通常也用最大相对误差来估计相对误差的
4、大小范围：,在实际计算中，常常将绝对误差与试验值或平均值之比作为相对误差，即： 或,11,3. 算术平均误差,设试验值xi与算术平均值 之间的偏差为di，则算术平均误差定义式为： （1-23),求算术平均误差时，偏差di可能为正也可能为负，所以一定要取绝对值。显然，算术平均误差可以反映一组试验数据的误差大小，但是无法表达出各试验值间的彼此符合程度。,12,4. 标准误差,标准误差：均方差、标准偏差，简称为标准差。,标准差与每一个数据有关，而且对其中较大或较小的误差敏感性很强，能明显地反映出较大的个别误差。 它常用来表示试验值的精密度： 标准差越小，试验数据精密度越好。,当试验次数为有限时，称为
5、样本标准差，其定义为：,当试验次数n无穷大时，称为总体标准差，其定义为：,13,1.3 试验数据误差的来源及分类,1. 随机误差 指在一定试验条件下，以不可预知的规律变化着的误差。 特点： 在相同条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值和符号的变化时大时小，时正时负，没有确定的规律； 在一次测定中，是不可预知的，但在多次测定中，其误差的算术平均值趋于零。 随机误差的来源：偶然因素 随机误差具有一定的统计规律： (1) 有界性； (2) 正误差和负误差出现的频数大致相等； (3) 绝对值小的误差比大的误差出现的次数多（收敛性）。 当测量次数n，误差的算术平均值趋于零（抵偿性）。,14, 2. 系统
6、误差,系统误差是指在一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一确定的规律起作用而形成的误差。, 特点： 系统误差的大小及其符号在同一试验中是恒定的，或在试验条件改变时按照某一确定的规律变化。 当试验条件一旦确定，系统误差就是一个客观上的恒定值，它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的平均值而减小。, 系统误差的来源： 仪器（如砝码不准或刻度不均匀等）； 操作不当； 个人的主观因素（如观察滴定终点或读取刻度的习惯）； 试验方法本身的不完善。,15, 3. 过失误差,粗差、人为误差： 是一种显然与事实不符的误差。 特点： 没有一定的规律。 过失误差的来源： 由于实验人员粗心大意造成的， 如
7、读数错误、记录错误或操作失误等。 在测量进行中受到突然的冲击、震动、干扰的影响等。 含有过失误差的实验数据是不能采用的，必须设法从测得的数据中剔除。,16,1.4 试验数据的精准度,精准度包含三个概念：精密度 、正确度 、准确度 。 精密度：反映随机误差的大小程度（集中程度）。 正确度：反映系统误差的大小程度（正确程度）。 准确度：又称精确度，简称精度，含有精密、正确两重含义，用来描述试验结果与真值的接近程度，即反映系统误差和随机误差合成的大小程度。,17,1.5 试验数据误差的估计与检验,1 随机误差的估计 对试验值精密度高低的判断： (1) 极差：指一组试验值中最大值与最小值的差值。 Rx
8、max - xmin (2)标准差：总体标准差、样本或子样标准差s 反映试验数据的分散程度： 或s越小，则数据的分散性越低，精密度越高，随机误差越小，试验数据的正态分布曲线也越尖。 (3)方差：方差即为标准差的平方 方差也反映了数据的分散性，即随机误差的大小。,18,2 系统误差的检验,秩和检验法：检验两组数据之间是否存在显著性差异； 证明新试验方法的可靠性。 例1-5 设甲、乙两组测定值为： 数据按从小到大排序，确定个数据的秩； 将其中一组的秩相加，称为秩和。记为R1或R2 ； 甲组数据的个数n1=6 乙组数据的个数n2=9 甲组数据的秩和R1=7911. 511. 5141568 由秩和临
9、界值表（见附录1）可查得R1的上下限T2和T1，如果R1 T2或R1 T2，所以两组数据有显著差异）,19,3 过失误差的检验, 试验数据中: 随机误应要进行估计 系统误差要设法消除 不能含有过失误差, 如何判断数据中有“坏值” 判别过失误差的界限 涂改数据是假数据； 不科学地剔除数据也是假数据。, 可疑数据取舍的一般原则： (1) 试验中发现异常数据，应停止试验，分析原因并纠正。 (2) 试验后发现异常数据，应先找原因，再进行取舍。 (3) 在分析数据时，如原因不确切，应对数据进行统计处理； (4) 对舍去的数据，在报告中应注明原因或所选用的方法。,20,（1） 拉依达（Pauta）准则三倍
10、标准差准则,方法： 1) 计算包括可疑值在内的平均值及标准偏差； 2) 计算偏差值、偏差值绝对值、3s值或2s值； 3) 比较偏差绝对值与3s值的大小，如果： 则应将xp从该组试验值中剔除。,21,（1） 拉依达（Pauta）准则三倍标准差准则（续）, 显著性水平，表示检验出错的几率。 3s或2s的选择与显著性水平有关： 3s相当于显著水平= 0.01 2s相当于显著水平= 0.05 适用场合: 测定次数n 20 测定次数n 10时，应采用其它准则。如： 格拉布斯准则、狄克逊准则、t检验法等,22,(2) 格拉布斯(Grubbs)准则, 方法： 1）计算包括可疑值在内的平均值及标准偏差； 2）
11、计算偏差绝对值； 3）选取偏差绝对值最大的数据来检验，如果： 则应将xp从该组试验值中剔除。 从附录2查取。,(1) (2),23,(3）狄克逊（Dixon）准则, 方法： 1）将n个试验数据按从小到大的顺序排列； 2）检验x1或xn：用附录3所列的公式，计算出f0 ，如果： 若f0 f (，n)，则应该剔除x1或xn。,注意 事项： 1)可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据。 2)剔除一个数后，如果还要检验下一个数，则应注意试验数据的总数发生了变化。 3)根据测定次数n，确定判别过失误差的准则： n20时，用3s准则,24,1.6 有效数字和试验结果的表示,1 有效数字-能够代表一定物理
12、量的数字,(1)有效数字的位数可反映试验的精度或表示所用试验仪表的精度，所以不能随便多写或少写。 1.5687g，精度为0.0001g，相对误差为1/15687 1.5g,精度为0.1g，相对误差为1/15 (2)小数点不影响有效数字的位数。第一个非0数前的数字不是有效数字，而第一个非0数后的数字是有效数字。 50，0.050，5.0，29 2位有效数字 29.00，5.000，12.47 4位有效数字 (3)在计算有效数字位数时，如果第一位数字等于或大于8，则可以多计一位。 9.99 4位有效数字 8.210 5位有效数字,25,2 有效数字的运算规则,(1)加、减结果的位数应与其中小数点后
13、位数最少的相同。,(2)乘积、商的有效数位数，应以各乘、除数中有效数字位数最少的为准。 例如：12.69.810.050中0.050的有效数字位数最少，只有两位，所以有12.69.810.050 = 6.2。,(3)乘方、开方后的有效数字位数应与其底数的相同。 例如： 2.42=5.8,26,(4)对数的有效数字位数与其真数的相同。 例如ln6.84=1.92；lg0.000044。,(5)在4个以上数的平均值计算中，平均值的有效数字可增加一位。 例如(22.6+22.8+22.5+22.3+22.5)/5=22.54 原来只有3位有效数字，而计算结果增加了一位。,(6)取自手册上的数据，其有
14、效数字位数按实际需要取，但原始数据的位数如有限制，则应服从原始数据。,(7)常数的有效数字位数，根据需要取 。,(8)一般的工程计算中，取23位有效数字。,27,3 有效数字的修约规则,四舍六入尾留双,例如，将下列数据舍入到小数点后3位： 3.14159 3.142 1.36653 1.366 2.33050 2.330 2.77719 2.777 2.7777 2.778 2.4566 2.457,4和4以下的数字舍去，6和6以上的数字进位； 若是5，要看它前面的一个数：奇数就入，偶数就舍,28,1 误差传递基本公式,1.7 误差的传递,设间接测量值y与直接测量值xi之间存在函数关系： yf(x1，x2，xn),通过对上式进行全微分，用差分代替微分，可导出绝对误差的传递公式：,标准误差的传递公式：,29, 常用函数的误差传递公式,30,例1-11 配制溶液 溶液浓度的计算公式为 c = W/V c为浓度(mg/ml)，W为试样质量（mg)，V为体积(ml)。 V=1000 ml V 0.01ml c= 0. 5mg/ml 要求： c/c 0.1 问W ?,3 误差传递的应用,解：由绝对误差的传递公式：,相对误差的传递公式为：,将V、V、 c、c/c 代入，得：,根据c = W/V ，算得：W=500 mg,则W= 5000.1%=0.5 mg 需要用万分之一的分析天平称量,
