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1、页1第 2019 届高三上学期期中考试数学（理）试题届高三上学期期中考试数学（理）试题 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题 5 分共分共 60 分） 1. 分） 1. 已知集合，则= （） ABCD 2.2. 函数的定义域为（） AB CD 3.“ 2 560xx”是“2x ”的（） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4. 在平面直角坐标系中，已知向量abx(1, 1),( ,3), rr 若ab/ rr ，则x=() A-2B-4C-3D-1 5、若mn，是两条不同的直线， ，是三个不同的平面，则下列命题
2、中的真命题 是（） A若m，则mB若m，m，则 C若，则D若Im，In，mn，则 6. 已知,，则 与 的夹角为（） ABCD 7. 已知命题存在实数,满足；（） 命题 ：(). 则下列命题为真命题的是 A.B.C.D.8、在ABC中， 0 60 ,AA的平分线交BC于D， 1 4, 4 ABADACABR uuu ruuu ruuu r ,则 AC 的长为（） A.3B.6C.9D.12 9、正项等比数列 n a中，存在两项, mn aa使得 1 4 mn a aa，且 654 2aaa，则 14 mn 的 最小值是() A 3 2 B2C 7 3 D 25 6 10.已知，且，则目标函数的
3、最小值为（） 页2第 ABCD 11、在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，沿 AC 将矩形 ABCD 折叠，其正视图和俯视图如图所示. 此时连结顶点 B、D 形成三棱锥 BACD，则其侧视图的面积为 A. 12B.6 C. 144 25 D. 72 25 12 、 已 知 函 数 xx f x fxx ln,02 ( ) (4),24 若 当 方 程f xm( ) 有 四 个 不 等 实 根 xxxx 1234 , xxxx 1234 时， 不等式kx xxxk 22 3412 11 恒成立， 则实数k的最小值为 （） A. 9 8 B. 3 2 2 C. 25 16 D. 1 3 2 二、
4、填空题（二、填空题（每小题每小题 5 分共分共 20 分分） 13、若 0 (21)2(0) t xdxt 则t= 14、如图所示，在正三角形 ABC 中，D、E、F 分别为各边的中点，G、H、I、J 分别为 AF、AD、 BE、DE 的中点，将ABC 沿 DE、EF、DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的大小为 15.观察下列各式： 2333 233 23 6321 321 11 照此规律，则第 个等式应为. 16.已知函数是定义在 上的偶函数，其导函数为，且当时， ，则不等式的解集为. 三、解答题（三、解答题（本大题共本大题共 6 小题，小题，共共 70 分，解答应写出文字说明，证
5、明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 17.（本题满分 12 分）已知函数 2 3 ( )cossin3cos, 2 f xxxxxR （1）求函数( )f x的最小正周期； （2）求函数( )f x在, 4 4 x 上的最值及相应x的值 D A B C 正视图 俯视图 页3第 18.(本小题满分 12 分) 已知 n a是各项都为正数的数列， 其前 n 项和为 n S， 且 n S为 n a与 1 n a 的等差中项. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 , n n n b a 求 n b的前 n 项和 n T. 19 （本题满分 12 分）已知函数(
6、)33 xx f xR （1）是否存在实数使得( )f x为奇函数？若存在，求出实数，若不存在，请说明理由； （2）在（1）的结论下，若不等式(41)(2)0 tt ffm在1,1t 上恒成立，求实数m的取值范围 20. （本大题满分 12 分） 如图所示，已知OPQ是半径为 1，圆心角为的扇形，A是扇形弧PQ上的动 点，/ /ABOQ，OP与AB交于点B，/ /ACOP，OQ与AC交于点C.记=AOP. (1).若 2 ，如图 1，当角取何值时，能使矩形ABOC的面积最大； (2).若 3 ，如图 2，当角取何值时，能使平行四边形ABOC的面积最大.并求出最大面积. 图 1 图 2 页4第
7、21 （本小题满分 12 分） 已知函数. （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值； （2）设，若对任意两个不等的正数，恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）若在上存在一点，使得成立，求实数 a 的取值范围. 22 （本小题满分 10 分）不等式选讲 已知函数( ) |21().f xxaxaR （）当1a =时，求不等式 2xf的解集； （）若 xxf2的解集包含 1 , 2 1 ，求a的取值范围. 页5第 理科数学参考答案理科数学参考答案 序号123456789101112 答案BCBCBCADABDB 序号1314 答案1 3 15.16. 17解： （1） 11cos23 (
8、)sin23sin(2) 2223 x f xxx 2 分 =T4 分 （2）, 4 4 x ， 5 2, 366 x 6 分 当2 36 x 即 4 x 时， max 1 ( )sin 62 f x 9 分 当2 32 x 即 12 x 时， min ( )sin()1 2 f x 12 分 18.解： （1）由题意知， 1 2 nn n Sa a ，即 2 21, nnn S aa 当 n=1 时，由式可得 1 1;S 当2n时,有 1,nnn aSS 带入式，得 2 11 2()()1, nnnnn SSSSS 整理得 22 1 1. nn SS 所以 2 n S是首项为 1，公差为 1
9、 的等差数列， 2 11. n Snn 因为 n a 各项都为正数，所以 , n Sn 4 分 所以 1 1(2), nnn aSSnnn 又 11 1,aS 所以 1. n ann 6 分 （2） ( 1)( 1) 11 , 1 nn n n n bnn ann 当 n 为奇数时， 页6第 1 ( 21)32121; n Tnnnnn 当 n 为偶数时， 1 ( 21)32121. n Tnnnnn 所以 n b 的前 n 项和 1. n n Tn 12 分 19解： （1）若( )f x为奇函数，则(0)0f，1 分 即1+ =0，解得1 ，2 分 ()33(33 )( ) xxxx fx
10、f x ，则存在1 ，使得( )f x为奇函数4 分 （2）( )33 xx f x （xR） ，( )(33 )ln30 xx fx ，5 分 则( )f x在R上为增函数，6 分 ( )f x为奇函数，(41)(2)0 tt ffm， 即(41)(2 ) tt ff m，7 分 又( )f x在R上为增函数，412 tt m ，8 分 则 2 421(2 )21,( 1,1) tttt mt 恒成立， 令 1 2 ,2 2 t n，则 22 15 1() 24 mnnn ，10 分 令 2 15 ( )() 24 g nn， min 1 ( ) 4 g n ，11 分 1 4 m 12 分
11、 20. 解 （1）如图，连结 OA，设AOP=，矩形 ABOC 的面积为 S，则 OB=cos,AB=sin. 所以 S=OBAB=sincos= 1 sin2 , 2 2 分 当2 2 ,即 4 时， max 1 S, 2 所以矩形 ABOC 的面积最大时， 4 ；5 分 （2）如图，连结 OA，设AOP=，过 A 作 AHOP，垂足为 H， 在 RtAOH 中，AH=sin,OH=cos. 页7第 在 RtABH 中， AH tan3, BH3 所以 3 BHsin , 3 所以 3 OBOHBHcossin . 3 设 平 行 四 边 形ABOC的 面 积 为S ， 则 3 SOB A
12、H(cossin )sin 3 = 2 3 sin cossin 3 = 13 sin2(1 cos2 ) 26 = 133 sin2cos2 266 = 33 sin(2) 366 9 分 因为0, 3 所以 5 2, 666 所以当2 62 ,即 6 时， max 3 S 6 , 所以当 6 时，平行四边形 ABOC 的面积最大， max 3 S 6 .12 分 21.解： （1）由，得. 由题意，所以. （2）. 因为对任意两个不等的正数，都有恒成立，设，则即 恒成立. 问题等价于函数， 即在上为增函数， 所以在上恒成立.即在上恒成立. 所以，即实数 a 的取值范围是. （3）不等式等价
13、于，整理得.构造函数 ， 由题意知，在上存在一点，使得. 页8第 . 因为，所以，令，得. 当，即时，在上单调递增.只需，解得. 当即时，在处取最小值. 令即，可得. 令，即，不等式可化为. 因为，所以不等式左端大于 1，右端小于等于 1，所以不等式不能成立. 当，即时，在上单调递减，只需，解得. 综上所述，实数 a 的取值范围是. 22、解： （1）当1a =时，不等式 2xf可化为2|12|1|xx 当 1 2 x 时，不等式为23 x，解得 2 3 x ，故 2 3 x ； 当 1 1 2 x 时，不等式为22 x，解得0x ，故10x ； 当1x 时，解得 2 3 x ，故1x ；4 分 综上原不等式的解集为 2 0, 3 x xx 或5 分 （2）因为 xxf2的解集包含 1 , 2 1 不等式可化为1 ax7 分 解得11axa ，由已知得 1 1 2 1 1 a a ，9 分 解得 3 0 2 a ， 所以a的取值范围是 3 ,0 2 .10 分
