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1、根据化学势定义 :,二元系某一相（成份为xB）的摩尔吉布斯自由能Gm为 :,上式微分，得,根据吉布斯-杜亥姆方程，恒温恒压下有,则,上式两端乘以xA/dxB，并利用dxA=dxB，得,把上式代入Gm的式子，得,同理，有,对于多元系，同样可以获得,看它的几何意义：由A-B二元系a相的自由能曲线对应xB成分的自由能M，以M为切点作切线，它在A和B轴 的交点就是xB 成分a相,的A和B的化学势mA和mB。,图中的M高度就是Gm，M点的水平线与切线在A和B轴交点间的距离就是xB(dGm/dxA)和xA(dGm/dxB)，所以切线在A和B轴 的交点就是xB 成分a相的A和B的化学势mA和mB。,位错的塞
2、积,位错塞积群,在分切应力的作用下，由同1个位错源放出的位错在障碍前受阻，这些位错就在障碍前排列起来，这一组位错组态称为塞积群。把塞积群中的位错从障碍物前按1、2、3顺序编号，第1个位错到最后一个位错间的长度定义为为塞积群长度L，把坐标原点放在塞积群的中点。障碍物只对塞积群的领头位错有作用力，这样，除了领头位错外，塞积群中每一个位错受到外加切应力的作用同时也受群中所有其它位错的交互作用。平衡时，故第j个位错受的总力Fj为 0 ：,n个位错的塞积群有n-1个这样的方程，解这个n-1个联立方程就可以求得每一个位错的位置(xj)。塞积群的问题基本解决。,不锈钢中在晶界前的位错塞积群,用虚功原理估算塞
3、积群对障碍物的作用力。设在外应力作用下领头位错向障碍物方向移动了x，由于整个塞积群要保持平衡，所以每个位错也移动x，这样，外力对塞积群作功为nbx；障碍物设施给领头位错的切应力为h，当领头位错移动x时，障碍物这一反作用力作功为bx。上述两种功应相等，故,塞积群在障碍物处产生了很大的应力集中，其应力为外加应力的n倍。这一应力集中对材料塑性变形行为有很大作用 。,位错源开动放出位错在源的两侧使位错受阻时，位错在两边塞积起来，源的两测所塞积的位错是反号的，这类塞积称双边塞积。塞积群的总长度L2a。,刃位错的双边塞积,采用连续分布位错模型，即把位错塞积群看作是位错沿整个塞积长度连续分布的，这些位错的柏
4、氏矢量都为b，而在各处的位错密度（单位长度的位错数目） n(x)是,式中的正负号是对应于正负号位错而言的。平衡时，可把力的加和变为积分来表示连续分布时的平衡情况，即,为了计算方便，令x/a，上式变为,用Hilbert变换来解上面的积分方程是很方便的。Hilbert变换定义为,这个变换把f(y)函数变成x为变量的的函数。契贝谢夫多项式的Hilbert变换对解塞积的积分方程非常有用。契贝谢夫多项式定义为,设cos=x，下面是这些多项式中的一些项的例子：,这些多项式的的递推公式是：,Tn和Un之间可用Hilbert变换联系起来：,因为,，所以，,左端可写成,而 式右端恰好是n()的Hilbert变换
5、，故：,的换回以x表达(x/a)，得,塞积群中的位错的数目N为：,允许塞积的长度L越大，塞积的位错数目越多。这可以解释粗大晶粒比细小晶粒材料的塑性差的原因，在相同应力作用下，粗大晶粒比细小晶粒在晶界边塞积的位错数目多，因而在晶界附近引起的应力集中较大，这一方面使得大晶粒易于促发另一晶粒的源开动，从而使屈服强度降低；另一方面大晶粒的塞积群的较大应力集中易于萌发裂纹，从而降低塑性。,滑开型裂纹（II型裂纹）的位错塞积模型,裂纹顶端附近的变形形式如右图所示。从形式上看，这类裂纹的变形和由一组同号刃位错在滑移面上扫过到达某障碍物（裂纹前沿）的塞积群的一样。塞积群前沿的应力场可用来表示这类裂纹前沿的应力
6、场。,在x1x1+dx1处的位错在(x1, x2)处的应力分量12为：,整个塞积群在(xl, x2)处的应力分量12加上外加应力为：,再把n(x1)的表达式代入，得：,为了计算方便，令x1/a，x2/a，上式变成,利用复变函数的留数定理来处理上式的积分，以f()表示上式的被积函数。f()在1时是奇点，并且i时是二级极点。 令i，i。在复平面取积分围道，有：,f()在1时是奇点，i时是二级极点。令i，i。在复平面取积分围道，有：,因为时，f()=1/i，所以,而对C围道积分可分成：,又因,，故,从被积函数中的平方根项看出，当从极点+l及1转到下侧时，辐角改变，从极点1到极点+1的上侧积分 和下侧
7、积分 相等。故,只要计算出C3和C4回路积分就可以求出应力场。根据留数定理，C3回路积分为,结果得,我们关心裂纹前沿附近的应力场，所以把座标原点放在裂缝前沿上，把的应力场换成用，表示。,把上列的关系式代回12式，并注意得a，得,把上式的指数项展开，得,令 ，这个参数称第类裂纹的应力强度因子。结果，上式最后的形式是,按照类似的方法，求得其他的应力分量：,这些结果与用弹性理论分析得出的结果是完全相同的。,刃位错的单边塞积,位错源在应力作用下放出位错，这些位错只在其中一侧运动受阻而塞积起来，这种塞积现象称单边塞积。,应用位错连续分布模型，列出平衡方程，但现在的边界条件和和上面讨论双边塞积的不同。现在
8、的边界条件是；,把双边塞积的解中分子的x用A取代，然后按上述边界条件确定A值可得出符合现在边界条件要求的解，即,若A=x+a则满足边界条件的要求，故,塞积群中总的位错数目N为：,单边塞积群的长度不是固定的，在一定的外应力作用下，塞积群的长度随群中的位错数目增加而增加。,当塞积群中的位错数目相同时，塞积群长度随外应力加大而减小。,单边塞积群积群的在滑移面的后应力 塞积群在滑移面上产生后应力，当这一应力足够大时，会抑制位错源的开动。滑移面上的切应力式为：,当xa时，12，即在塞积群末端的12是外加应力的反号，这符合普遍关系，并且已经知道，在整个塞积群中的应力12是外加应力的反号。当xa时，上式进一
9、步简化为：,把L的表达式式代入，得：,这和一个具有Nb的柏氏矢量的超位错在滑移面产生的应力的表达式一样，也和我们前面所说的当距塞积群很远时，可把塞积群看作是一个超位错的概念相符。,螺位错的双边塞积,塞积群中位错的分布 螺位错双边塞积时的位错的分布和刃位错双边塞积的相似，要把图中的刃位错改成螺位错，并且把外加应力分量改成23分量，采用位错的连续分布模型，塞积群中每一点的受力平衡方程也是和刃位错时的相似：,用刃位错的解，可直接写出它的解：,塞积群中的位错数目N是,塞积群的应力场及撕开型（III型）裂纹的位错模型,我们只关心如何利用这应力场来讨论裂纹的应力场。螺型位错的双边塞积群前沿所构成的变形和撕
10、开型（III型)裂纹顶端附近的变形一样，因而螺位错的双边塞积群往往作为III型裂纹的位错模型。,螺位错应力场只有13和23两个分量，根据连续分布位错模型，塞积群的总应力是塞积群中各点位错的应力场的叠加。13为,上式积分得：,设KIII=(a)1/2，称第类裂纹的应力强度因子，上式又可写成,按类似方法可求出塞积群前沿（III型裂纹前沿）的其他应力分量,采用的和表示，并且讨论a区域的应力场。和与x1和x2间的关系前面已列出，最后得,整理后得,这些结果与用弹性理论分析得出的结果是完全相同的。,刃位错的攀移塞积与张开型（I型）裂纹位错模型 在一般情况下，刃位错攀移速度是很慢的，所以在变形过程很难有攀移
11、位错的塞积，但是，刃位错的攀移塞积群前沿的变形形式与张开型（I型）裂纹前沿的变形形式相同，攀移位错塞积可作为I型裂纹的位错模型。,利用位错连续分布模型，得塞积群中各点的位错受力平衡方程与滑移位错塞积的方程完全一样，为：,这个式子和滑移时的式子完全一样，但这时的应力分量应是22项。可以直接用前面讨论过的解。,根据连续分布位错模型，塞积群的总应力是塞积群中各点位错的应力场的叠加。22为,上式的应力包括了外加应力。计算上式的积分，把它转换到裂纹前沿的参数和来表示，并考虑到讨论在的区域的应力场，得：,按类似方法可求出塞积群前沿（型裂纹前沿）的其他应力分量,设KI=(a)1/2，这个参数称第类裂纹的应力
12、强度因子。上式又可写成,这些结果与用弹性理论分析得出的结果是完全相同的。,位错塞积在宏观流变现象中的某些应用,脆性材料中裂纹的失稳判 在N个位错的塞积群的领头位错的受力相当与外力的N倍，这也看作是作用在单位裂纹顶端的力。如果单位深度的裂纹向前扩展了 l，增加了裂纹的表面积为2 l，从而增加总的表面能为2 l（其中是比表面能）。如果所加的应力足够大，以使裂纹尖端所受的力F做功F l大于或最低限度等于表面能的增加量的话，裂纹可以扩展，即 时，裂纹就可以扩展。把裂纹前沿受力F=Nb代入 ，得,这就是所谓的Griffth判据，这个判据对讨论脆性材料的强度是十分重要的。因为如果材料不是十分脆的话，裂纹前
13、很大的应力集中可能使前沿发生塑性流变而松弛应力的一部分，使裂纹钝化。要使钝化了的裂纹扩展所需要的应力比上式表达的要大，这是因为裂纹扩展时外力作的功既要补偿表面能的增加又要补偿塑性区扩大作的功。,塞积群的钝化 塞积群前沿有很大的应力集中，它有可能开动塞积群前沿的某些新的位错源，或是使塞积群中的某些位错交滑移溢出塞积群，这些都可以松弛塞积群前沿的应力场，而使塞积群钝化。塞积群的钝化现象可以从实验中观察到：在塞积群前沿常看到位错缠结，并在位错缠结中的位错的柏氏矢量都是相同的，说明这些位错是从塞积群中逸出的。塞积群尽管钝化了，由于溢出的位错的拍氏矢量是相同的，所以在远离塞积群处的应力场仍可按一个超位错
14、来讨论，不过在这种情况下，位错的数目要包括在塞积群内的以及溢出的（即在塞积群前沿附近的）位错的数目。 在室温下塞积群的钝化主要依靠交滑移，而交滑移的难易又主要由位错是否分解为部分位错所控制，所以钝化过程受层错能的影响。低层错能的材料不大容易发生钝化，高层错能的材料则易于发生钝化。这些可在一些实验中得到证实。,塞积群前诱发断裂及屈服机制 萌生裂纹的主要机制有两冲，如所示。图a表示把刃位错塞积群中领头的两个位错压到小于b的范围，这两个位错就结合成一个大位错，在它的下部成为裂纹的核，这种机理是Stroh提出的。图b是Cottrell提出的机制，在体心立方晶体中，两个相交的滑移面各有一组/2型的刃位错
15、塞积群，例如在(101)面有一组 /2刃位错，在( )面有一组合 111/2刃位错；在一定外力作用下它们相遇，反应结合成新的位错:,这个位错处在(101)面和( )面的交线010上，所以这个刃位错的滑移面是(100)面，它的半原子面是(010)面，100面是bcc晶体常见的解理面，位错的刃劈和解理面吻合，当两个滑移面的塞积位错不断反应，形成柏氏矢量为001超位错，就萌生了裂纹的核心。,在塞积群前萌发滑移对讨论多晶体材料的变形理论是很重要的。当位错在晶界前塞积时，塞积群前的应力集中可促发界面另一侧的位错源开动，应力集中还可以迫使晶界位错作为滑移源。塞积群的领头位措承受很大的力，亦有可能被迫穿过晶界而进入另一晶粒，这时会在晶界上留下台阶（在晶界位错中留下割阶），或者由于在两个晶粒中的柏氏矢量不共线而在晶界留下另一个位错，这些都需要附加能量。 设直径为d的晶粒中部有一个位错源，它在外应力作用下开动，因相邻的晶粒相对于外力处于不利滑移的取向，这样，晶粒中部的位错源开动放出位错就在晶界边塞积起来。此时，塞积群前沿单位长度位错受力F大体上可用Nb式估计。当这个力达到某一定临介值F*后，即 后（其中m是涉及把外应力转化为分切应力的因子），
