时间序列分析教材_17

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1、3.3 时间序列分析,教学要求,时间序列分析的基本原理 趋势拟合方法 平滑法 趋势线法 自回归模型 季节变动预测,一、时间序列分析的基本原理,（一）时间序列的概念,时间序列 时间序列的图示方法 编制时间序列的意义,重要概念,时间序列，是要素（变量）的数据按照时间顺序变动排列而形成的一种数列，它反映了要素（变量）随时间变化的发展过程。 时间序列（Time series）:在连续时点或连续时期上测量的观测值的集合。(补充) 地理过程的时间序列分析，就是通过分析地理要素（变量）随时间变化的历史过程，揭示其发展变化规律，并对其未来状态进行预测。,时间数列的要素之一：时间t,时间数列的要素之二：变量a,

2、时间序列的要素,时间数列的图示方法,编制时间数列的意义,经济周期:循环性变动,繁荣拐点,繁荣拐点,衰退拐点,萧条拐点,复苏拐点,（二）时间序列的组合成份 长期趋势（T） 是指时间序列随时间的变化而逐渐增加或减少的长期变化的趋势。 季节变动（S） 是指时间序列在一年中或固定时间内，呈现出的固定规则的变动。 循环变动（C） 是指沿着趋势线如钟摆般地循环变动，又称景气循环变动(business cycle movement) 。 不规则变动（I） 是指在时间序列中由于随机因素影响所引起的变动。,循环变动C（Cyclical）,不规则变动I（Irregular）,季节变动S（Seasonal）,（三）

3、时间序列的组合模型,加法模型 假定时间序列是基于4种成份相加而成的。长期趋势并不影响季节变动。若以Y表示时间序列，则加法模型为 Y=T+S+C+I 乘法模型 假定时间序列是基于4种成份相乘而成的。假定季节变动与循环变动为长期趋势的函数。该模型的方程式为,（3.3.1）,（3.3.2）,二、趋势拟合方法(长期趋势分析),(一)平滑法 (二)趋势线拟合法 (三)自回归模型,（一）平滑法,时间序列分析的平滑法主要有三类 ： 移动平均法 设某一时间序列为 y1，y2，yt，则t+1时刻的预测值为 式中: 为t点的移动平均值; n称为移动时距。,（3.3.3）,滑动平均法 其计算公式为 式中: 为t点的

4、滑动平均值;l为单侧平滑时距。 若l=1，则（3.3.4）式称为三点滑动平均，其计算公式为 若l=2，则（3.3.4）式称为五点滑动平均， 其计算公式为,（3.3.6）,通过平均每一个连续数列值来修匀时间数列的方法。,移动/滑动平均法的概念,三项滑动平均线,移动平均法的计算,奇数项移动,偶数项移动,原数列,移动平均,新数列,原数列,移动平均,新数列,滑动平均法的计算,奇数项移动,偶数项移动,原数列,滑动平均,新数列,原数列,滑动平均,移正平均,新数列,原数列,三项滑动平均,五项滑动平均,四项滑动平均,例题1,表3.3.1给出了中国19901999年的农业总产值，试用移动平均法和滑动平均法分析其

5、变化趋势。,使用移动/滑动平均法应注意的问题： 可以平滑修匀数列； 对于季节性数列，要采用 4 项或 12 项移动/滑动平均，方可平滑掉其季节波动； 一般的移动平均方法使原数列首尾各去除了若干项，因此不能用于外推预测； 当数列没有明显的长期趋势、季节变动和循环变动时，可以用此法进行预测。,指数平滑法 一次指数平滑 为平滑系数。 一般时间序列较平稳，取值可小一些，一般取（0.05,0.3）；若时间序列数据起伏波动比较大，则应取较大的值，一般取（0.7,0.95）。,（3.3.7）, 高次指数平滑法 一次指数平滑法不能跨期预测，对其进行改进，可以得到能够跨期预测的高次指数平滑法。令 为一次指数平滑

6、值，即,（3.3.4）,（3.3.8）,（3.3.9）,二次指数平滑法的预测公式为,对上式再作指数平滑，可得二次指数平滑值，即,（3.3.5）,（3.3.6）,在（3.3.6）式中，T代表从基期t到预测期的期数，,（3.3.7）,对二次指数平滑再作一次指数平滑，可得三次指数平滑公式 三次指数平滑法的预测公式 为 式中，,（3.3.9）,（3.3.10）,（3.3.11）,（3.3.12）,例2：,某城市近6年（19941999年）用水量（106t）数据如表3.3.2所示。试用指数平滑法预测该城市2000年的用水量。,解：取=0.5，将表3.3.2中的数据代入公式（3.3.7）计算： =240.

7、85（106t） 预测结果表明，到2000年该城市的用水数量将达到240.85（106t）。,趋势线拟合法：用某种趋势线（直线或曲线）来对原数列的长期趋势进行拟合。其主要作用是进行外推预测。,直线趋势方程：,曲线趋势方程：,（二）趋势线法,趋势线拟合法的基本程序,判断趋势类型,计算待定参数,利用方程预测,判断趋势类型,绘制散点图,分析数据特征,当数据的一阶差分趋近于一常数时，可以配合直线方程。,当数据的二阶差分趋近于一常数时，可以配合二次曲线方程。,用最小二乘法求 a、b 的公式：,直线趋势方程参数的计算,自相关性判断 时间序列的自相关，是指序列前后期数值之间的相关关系，对这种相关关系程度的测

8、定便是自相关系数。 测度:设y1，y2，yt，yn，共有n个观察值。把前后相邻两期的观察值一一成对，便有（n1）对数据，即(y1，y2)，(y2，y3)，(yt，yt+1)，(yn-1，yn)。,（三）自回归模型,其一阶自相关系数r1为,二阶自相关系数r2为,k阶自相关系数为,自回归模型的建立 常见的线性自回归模型： 一阶线性自回归预测模型为 二阶线性自回归预测模型为 一般地，p阶线性自回归模型为 在以上各式中， 为待估计的参数值，它们可以通过最小二乘法估计获得。,例3： 某地区19881999年12年自然灾害造成的成灾面积（102hm2）的时间序列数据见表3.3.9。试计算该时间序列的自相关

9、系数r1和r2，并用自回归模型预测2000年的成灾面积。,解： 将表3.3.9中的数据代入公式（3.3.16）和（3.3.17）计算：,说明： 自由度f=11-2=9，在置信度水平=0.001下查相关系数的临界值检验表得r0.001=0.8471，显然r1 r0.001。这表明一阶自相关系数r1具有高度的显著性。进一步检验发现，二阶自相关系数r2也是高度显著的。所以，对于该序列可以建立线性自回归模型。由于r1r2，故可以建立一阶线性自回归预测模型。 用最小二乘法估计模型参数，得到如下回归模型： 运用该模型进行预测计算：,三、季节变动预测,季节变动的概念 季节变动预测具体步骤,季节变动（ Sea

10、sonal）：一年之内因纯季节原因造成的数列的波动，以及与季节无关的类似的变动。,饮料的生产量及销售量在一年内的变化 蔬菜价格在一年内的波动 鲜花销售每年的几个旺季 每年旅客运输的高峰期,季节变动的概念,测量季节变动的意义,趋势剔除法的基本过程,趋势剔除法的假设模型,第一步，使用移动(滑动)平均法产生新数列。,第二步，用原数列各值与新数列各值相除，得到相对数数列。,第三步，计算相对数数列的平均水平。,季节性预测法的具体步骤,（1）对原时间序列求移动/滑动平均，以消除季节变动和不规则变动，保留长期趋势；,趋势剔除法的假设模型,2）将原序列y除以其对应的趋势方程值（或平滑值），得到相对数数列,从而

11、分离出季节变动（含不规则变动），即,季节系数= TSCI/趋势方程值（TC或平滑值）=SI,（3）计算相对数数列的平均水平.将月度（或季度）的季节指标加总，以由计算误差导致的值去除理论加总值，得到一个校正系数，并以该校正系数乘以季节性指标从而获得调整后季节性指标。 （4）求预测模型，若求下一年度的预测值，延长趋势线即可；若求各月（季）的预测值，需以趋势值乘以各月份（季度）的季节性指标。 求季节变动预测的数学模型（以直线为例）为 式中： 是t+k时的预测值; at、bt为方程系数; 为季节性指标。,例题：如表3.3.3所示，下面我们用上述步骤，预测该旅游景点2005年各季度的客流量。,表3.3.

12、3 某旅游景点20022004年各季度客流量,解题步骤： （1）求时间序列的三次滑动平均值，见表,（2） 求季节性指标：将表3.3.3中第4列数据分别除以第5列各对应元素，得相应的季节系数。然后再把各季度的季节系数平均得到季节性指标，见表.,季节性指标之和理论上应等于4。现等于 3.951 5，需要进行校正。校正方法是： 先求校正系数：=4/3.951 5=1.012 3。 然后将表中的第4行，分别乘以，即得校正后的季节性指标（见表3.3.4第5行）。,表3.3.4 季节性指标及其校正值,高次指数平滑法 一次指数平滑法不能跨期预测，对其进行改进，可以得到能够跨期预测的高次指数平滑法。令 为一次

13、指数平滑值，即,（3.3.4）,（3.3.8）,（3.3.9）,二次指数平滑法的预测公式为,对上式再作指数平滑，可得二次指数平滑值，即,（3.3.5）,（3.3.6）,在（3.3.6）式中，T代表从基期t到预测期的期数，,（3.3.7）,（3）用二次指数平滑法，求预测模型系数：取平滑指数 ，分别计算一次指数平滑值和二次指数平滑值，然后再分别计算趋势预测模型的系数 和 ，结果如表3.3.5所示。,表3.3.5 预测模型系数,由表3.3.5可知，预测模型为 式中： 为校正后的季节性指标。,（4）求预测值 。以2004年第4季度为基期，套用步骤（3）中所得预测模型，计算预测2005年各季度的客流量 （104人次） 第2季度： = 400.27（104人次） 第3季度： = 371.07（104人次） 第4季度： = 283.17（104人次） 由此可以计算出2005年全年度的客流量预测值为 301.774 6+400.27+371.07+283.17=1 356.28（104人次）,参考书目,1现代地理的数学方法，徐建华，高等教育出版社，2002年第二版 2. 现代地理学中的数学方法概论,林炳耀,高等教育出版社,1986.5. 3.环境数据统计分析基础，程子峰，徐富春，化学工业出版社，2006 4.统计学教程，刘汉良，上海财经大学。2005,作业,补充作业第三章第4题,