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1、几何五大模型之二：鸟头定理（共角定理）模型证明例题1例题2将三角形ABC的AB边延长一倍到D，BC边延长两倍到E，CA边延长三倍到F。如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是18。【例 4】AC的长度是AD的五分之四，且AED的面积是ABC面积的一半。请问：AE是AB的几分之几？【解析】五分之二。因为“AC的长度是AD的五分之四”，所以SABC:SABD4:5，又因为SAED是SABC的一半，可知SAED占2份，SAED:SABD2:5。因此AE是AB的五分之二。【例8】园林小路曲径通幽.如下图所示，小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成。问：内圈红色三角形石板的总面积
2、大，还是外圈青色三角形石板的总面积大？请说明理由.【解析】一样大。此题为例7的延伸，考察学生对鸟头定理中第四个模型的掌握情况，图中有多个。因为白色石板均为正方形（如图）。因此AB=AD、AE=AC，推出SADE:SABC(ADAE):（ABAC)1:1，即两三角形面积相等。同理可知内圈红色三角形面积应该等于外圈青色三角形面积，所以内外总面积相等。【挑战题】在四边形ABCD中，其对角线AC、DB交于E点。且AF=CE，DE=BG。已知四边形ABCD的面积为1，求EFG的面积。【解析】1。分别用a、b、c、d表示CDE、ADE、ABE、BCE。由鸟头模型，可知：a:SEFG=(CEDE):(EFE
3、G);b:SEFG=(AEDE):(EFEG);c:SEFG(AEBE):(EFEG);d:SEFG(CEBE):(EFEG).因此，(a+b+c+d):4SEFG(CEDE+AEDE+AEBE+CEBE):(EFEG)=DE(AE+CE)+BE(AE+CE):(EFEG)=(AE+CE)(BE+DE):(EFEG)=(ACBD):(EFEG)。因为AF=EC、DEBG，可知BD=EG、EFAC，因此(ACBD):(EFEG)=1，即SEFGS四边形ABCD=1。【专题练习】1、如图，三角形两边上的点都是各边上的五等分点。问：阴影部分与空白部分的面积比为多少？2、如图，三角形ABC中，AB是A
4、D的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？3、如下图，在三角形ABC中，BD=2AD，AG=2CG，E、F为BC边上的三等分点，求四边形DGFE面积占三角形ABC的几分之几？4、图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？5、如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB，CBBF，DCCG，HDDA，求四边形ABCD的面积。6、下图中,三角形ABC的面积是30平方厘米,D是BC的中点,AE的长是ED的长的2倍,那么三角形CDE的面积是多少平方厘米？7（挑战题）如图，在ABC中，延长AB至D，使BDAB,延长BC至E，使CE=1/2 BC，F是AC的中点，若ABC的面积是2，则DEF的面积是多少？
