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1、,返回总目录,Theoretical Mechanics,理论力学第三篇 动 力 学,第14章 振动,制作与设计 贾启芬 刘习军,目 录,Theoretical Mechanics,14.1 主要内容 14.2 基本要求 14.3 重点讨论 14.4 例题分析 14.5 典型习题,返回首页,第14章 振动,返回首页,Theoretical Mechanics,14.1 主要内容,第14章 振动,Theoretical Mechanics,返回首页,14.1 主要内容,第14章 振动,14.1.1 单自由度系统的自由振动 1. 单自由度无阻尼自由振动 （1）振动微分方程标准形式,固有频率,系统的
2、固有频率和周期仅与系统的质量与刚度有关，与运动初始条件无关。振幅和初位相则由运动初始条件决定。,（2）运动方程,振幅,初相位,周期,频率,或,Theoretical Mechanics,返回首页,14.1 主要内容,第14章 振动,Theoretical Mechanics,返回首页,14.1 主要内容,第14章 振动,14.1.3 单自由度系统的衰减振动 （1）振动微分方程标准形式,阻尼对周期影响不大，而对振幅有显著影响，使其按指数曲线衰减。当npn时，运动不具有振动特性。,（2）运动方程（n pn即小阻尼情形）,为阻尼比,衰减振动周期,振幅缩减率（即减幅系数）,对数减幅系数,其中,Theo
3、retical Mechanics,返回首页,14.1 主要内容,第14章 振动,Theoretical Mechanics,返回首页,14.1 主要内容,第14章 振动,受迫振动的频率等于激振力频率。,（2）稳态受迫振动规律,其中： b振幅，e相位差,其中：,频率比,阻尼比,激振力之最大值引起的弹簧静伸长,特解,Theoretical Mechanics,14.1 主要内容,第14章 振动,Theoretical Mechanics,返回首页,14.1 主要内容,第14章 振动,Theoretical Mechanics,返回首页,14.1 主要内容,第14章 振动,返回首页,Theoret
4、ical Mechanics,14.2 基本要求,第14章 振动,Theoretical Mechanics,返回首页,14.2 基本要求,第14章 振动,14.2 基本要求 1 .能建立单自由度系统线性自由振动、衰减振动和受迫振动的微分方程，熟悉振动的特征及运动方程。 2 利用等效的概念计算系统的等效刚度、等效质量。 3 .能熟练地应用能量法计算系统的固有频率。 4 .能熟练地求解单自由度振动线性系统的自由振动、衰减振动和强迫振动的微分方程。 5 .能熟练地计算系统的振动周期、频率、振幅、振幅缩减率（即减幅系数）、对数减幅系数等。 6 .掌握共振的条件，了解临界转速的基本概念。 7 .了解隔
5、振的基本概念。,返回首页,Theoretical Mechanics,14.3 重点讨论,第14章 振动,Theoretical Mechanics,返回首页,14.3 重点讨论,第14章 振动,14.3 重点讨论 求解单自由度系统振动问题，常归结为建立运动微分方程及求解有关的振动量的两个方面的问题，其步骤如下：,(1)明确研究对象。 (2)运动分析，选择坐标系。根据系统的运动特性，选出相应的广义坐标。一般选取系统的静平衡位置为广义坐标的原点，坐标轴沿振动的方向。 (3)受力分析。为计算方便，最好把系统置于广义坐标为正值的任意位置，然后画受力图。这时，弹性恢复力与粘滞阻力应指向坐标的负方向。,
6、Theoretical Mechanics,返回首页,14.3 重点讨论,第14章 振动,(4)建立运动微分方程。根据具体问题选取动力学方程。对质点问题一般采用牛顿定律；对于系统问题常用质心运动定理、动量矩定理、机械能守恒定律，也可采用能量法及拉格朗日方程。将运动微分方程标准化，与提要中的标准方程比较，确定振动的类型。 (5)根据题意，代入相应的公式求解。对于那些只求振动时的各种物理量，可直接代入相应的公式求解。,返回首页,Theoretical Mechanics,14.4 例 题 分 析,第14章 振动,Theoretical Mechanics,返回首页,14.4 例 题 分 析,第14
7、章 振动,例14-1 船舶振动记录仪的原理图如图所示。重物P连同杆BD对于支点B的转动惯量为IE ,已知弹簧AC的弹簧刚度系数是k。求重物P在铅直方向的振动频率。,解： 系统的位移角来表示,系统的动能,则其运动方程,如取平衡位置为零势能点，设在平衡位置时，弹簧的伸长量为dst 。此时，弹性力Fst=kdst , 向上。,Theoretical Mechanics,返回首页,14.4 例 题 分 析,第14章 振动,该系统的势能,即,Theoretical Mechanics,返回首页,14.4 例 题 分 析,第14章 振动,例14-2 鼓轮：质量m1，对轮心回转半径，在水平面上只滚不滑，大轮
8、半径R，小轮半径 r ，弹簧刚度系数k1，k2 ，重物质量为m2, 不计轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。,解：取静平衡位置O为坐标原点，取C偏离平衡位置x为广义坐标。系统的最大动能为,Theoretical Mechanics,返回首页,14.4 例 题 分 析,第14章 振动,系统的最大势能为,设 则有,根据Tmax=Umax , 解得,Theoretical Mechanics,返回首页,14.4 例 题 分 析,第14章 振动,例14-3 质量为m1的电动机安装在弹性基础上。偏心距为 e，偏心质量为m2。阻尼系数为c，转子以匀角速w转动，试求电动机的运动。,解：取
9、电动机为研究对象，平衡位置为坐标原点O，x轴铅垂向下为正。作用在电动机上的力有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、惯性力FIe、FIr，受力图如图所示。,根据达朗贝尔原理,Theoretical Mechanics,返回首页,14.4 例 题 分 析,第14章 振动,= h,设电机的运动方程为,整理成标准形式,Theoretical Mechanics,返回首页,14.4 例 题 分 析,第14章 振动,例14-4 已知不计梁的质量，物块质量为m，此物静置于梁的中部时，梁中部的静挠度为0 = 5mm，今此物由h = 1m处自由落在梁的中部后与梁不再分离。 求此后重物的运动方程。,重物的运动方程为,
10、解 重物运动的力学模型如图(b)，它的运动微分方程和初始条件是,式中，固有圆频率,Theoretical Mechanics,返回首页,14.4 例 题 分 析,第14章 振动,例14-5 已知小球质量为m，当它作水平微幅振动时，弹性线张力大小F保持不变，不计重力。求证明小球水平微幅振动是谐振动，并求其自由振动周期。,所以,解 如图示坐标，小球的运动微分方程为,微幅振动时,这是简谐振动的微分方程，证毕。而运动周期为,Theoretical Mechanics,返回首页,14.4 例 题 分 析,第14章 振动,例14-6 已知两轮转速相同，转向相反，板AB的质量为m，轮与板之间滑动摩擦因数为f
11、，若将板质心C移至对称位置点O释放。求证明质心C的水平运动为谐振动，并求其周期。,这是谐振动的微分方程，证毕。,解 板受力如图，轮与板间有滑动,平板水平运动微分方程为,整理得,其振动周期为,Theoretical Mechanics,返回首页,14.4 例 题 分 析,第14章 振动,例14-7 已知均质杆AB，质量为m1；小球B质量为m2，大小不计；两弹簧刚度系数均为k，杆于水平位置静止。求该系统微幅振动的固有圆频率pn。,解 设杆水平时， = 0；其微幅振动微分方程为,所以,式中,代入上式，得,Theoretical Mechanics,返回首页,14.4 例 题 分 析,第14章 振动,
12、例14-8 已知均质杆AB = l，质量为m；A端沿铅垂槽滑动，B端沿水平槽运动，两侧弹簧相同， = 0为杆的静平衡位置。求弹簧刚度系数为多大，振动才能发生；这时固有圆频率pn为多大？,解 选 = 0位零势能位置，一般处，该系统的动能和势能分别为,得,代入拉格朗日方程,微幅振动的微分方程为,微幅振动时,发生振动的条件为,振动固有频率为,Theoretical Mechanics,返回首页,14.4 例 题 分 析,第14章 振动,例14-9 已知质量为m的物块挂在无重刚杆AB上，如图所示，若两弹簧刚度系数为k1和k2，系统平衡时， AB杆水平。求物体自由振动的频率。,解 选物块的静平衡位置为坐
13、标x的原点，系统平衡处为零势能位置，沿物块坐标为x时，其动能、势能为,式中1、2是弹簧相对于静平衡位置的变形量，有,对AB杆，恒有,Theoretical Mechanics,返回首页,14.4 例 题 分 析,第14章 振动,将T、V代入上式，即得运动微分方程为,由机械能守恒定律，有,所以，系统自由振动频率为,由这两式求出1、2代入势能表达式，得,Theoretical Mechanics,返回首页,14.4 例 题 分 析,第14章 振动,例14-10 已知大轮半径R，质量m，对轴的回转半径为，弹性绳的刚度系数为k，小轮半径为r，它的摆动规律是 = 0 sin t，不计小轮和弹性绳质量，且
14、绳不松弛。 求大轮稳态振动的振幅。,所以有,解 大轮受力如图(b)，转动微分方程为,式中,式中,受迫振动的稳态振幅为,Theoretical Mechanics,返回首页,14.4 例 题 分 析,第14章 振动,例14-11 已知均质滚子质量m = 10kg，半径r = 0.25m，弹簧刚度系数k = 20N/m，阻尼系数c = 10Ns/m，滚子只滚不滑。 求 1）无阻尼的固有频率fn；2）阻尼 比；3）有阻尼的固有频率fd；4）此阻尼系统自由振动的周期TD。,解 选静平衡位置为广义坐标x的起点，广义力和动能为,得运动微分方程为,代入拉格朗日方程,由此得,Theoretical Mecha
15、nics,返回首页,14.4 例 题 分 析,第14章 振动,例14-12 已知 O1C = a sin t，a = 0.02m， =7rad/s，弹簧在0.4N作用下伸长0.01m，物B质量mB = 0.4kg。求物B受迫振动的规律。,解 选系统静平衡时A、B的位置为xA、xB的原点，如图(b)所处，图中，弹簧力为,由此解出,则物B的运动微分方程为,返回首页,Theoretical Mechanics,14.5 典 型 习 题,第14章 振动,Theoretical Mechanics,返回首页,14.5 典 型 习 题,第14章 振动,14-1 已知图示各振动系统中，k1 = 5000N/
16、m，k2 = 3000N/m，m = 4kg。求物体自由振动的周期。,答：,在(a)、(b)两图中 ，T = 0.290s 在(c)、(d)两图中 ，T = 0.1400s,Theoretical Mechanics,返回首页,14.5 典 型 习 题,第14章 振动,14-2 已知图示振动系统，物块质量为m1时，自由振动周期为T1，质量为m2时，自由振动周期为T2。求弹簧刚度系数k为多大？,答：,Theoretical Mechanics,返回首页,14.5 典 型 习 题,第14章 振动,14-3 已知斜面倾角为，弹簧的刚度系数为k，质量为m的小车从高为h处自由下行碰上弹簧后，不再与弹簧分开。求此后小车振动的周期和振
