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1、图像的傅里叶变换 Fourier Transformation For Image,时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。,图例：受噪声干扰的多频率成分信号,信号频谱X(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。,一维FT及其反变换,连续函数f(x)的傅立叶变换F(u): 傅立叶变换F(u)的反变换:,一维DFT及其反变换,离散函数f(x)(其中x，u=0,1,2,N-1)的傅立叶变换:,F(u)的反变换的反变换:,计算F(u)： 在指数项中代入 u=0，然后将所有x 值相加，得到
2、F(0)； 2) u=1，复对所有x 的相加，得到F(1)； 3) 对所有M 个u 重复此过程，得到全部完整的FT。,离散傅里叶变换及其反变换总存在。 用欧拉公式得,每个F(u) 由f(x)与对应频率的正弦和余弦乘积和组成；,u 值决定了变换的频率成份，因此，F(u) 覆盖的域 (u值) 称为频率域，其中每一项都被称为FT 的频率 分量。与f(x) 的“时间域”和“时间成份”相对应。,傅里叶变换的作用,傅里叶变换将信号分成不同频率成份。类似光学中的分色棱镜把白光按波长(频率)分成不同颜色，称数学棱镜。 傅里叶变换的成份：直流分量和交流分量 信号变化的快慢与频率域的频率有关。噪声、边缘、跳跃部分
3、代表图像的高频分量；背景区域和慢变部分代表图像的低频分量,二维DFT傅里叶变换,一个图像尺寸为MN的函数f(x,y)的离散傅立叶变换F(u,v): F(u,v)的反变换:,二维DFT傅里叶变换,(u,v)=(0,0)位置的傅里叶变换值为,即f(x,y) 的均值，原点(0,0) 的傅里叶变换是图像的 平均灰度。F(0,0) 称为频率谱的直流分量(系数)， 其它F(u,v) 值称为交流分量(交流系数)。,二维连续傅里叶变换,1） 定义,2） 逆傅里叶变换,3） 傅里叶变换特征参数,频谱/幅度谱/模,能量谱/功率谱,相位谱,傅里叶变换中出现的变量u和v通常称为频率变量，空间频率可以理解为等相位线在x
4、,y坐标投影的截距的倒数。,相应的空间频率分别为,对图像信号而言，空间频率是指单位长度内亮度作周期性变化的次数。,思考：噪声、线、细节、背景或平滑区域对应的空间频率特性？,傅里叶变换的意义,傅里叶变换好比一个玻璃棱镜 棱镜是可以将光分成不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长决定。 傅里叶变换可看做是“数学中的棱镜”，将函数基于频率分成不同的成分。,一些图像的傅里叶变换,是g(x,y)的频谱，物函数g(x,y)可以看作不同方向传播的单色平面波分量的线性叠加。 为权重因子。空间频率 表示了单色平面波的传播方向。,对于xy平面上一点的复振幅分布g(x,y)可由逆傅里叶变换表示成：,二维离散傅里叶变
5、换,1） 定义,2） 逆傅里叶变换,离散的情况下，傅里叶变换和逆傅里叶变换始终存在。,（a）,（b）,x,y,1,-1,j,-j,图像的频谱幅度随频率增大而迅速衰减,许多图像的傅里叶频谱的幅度随着频率的增大而迅速减小，这使得在显示与观察一副图像的频谱时遇到困难。但以图像的形式显示它们时，其高频项变得越来越不清楚。,解决办法： 对数化,25,26,主极大的值用Fmax表示，第一个旁瓣的峰值用Fmin表示,例题：对一幅图像实施二维DFT，显示并观察其频谱。 解：源程序及运行结果如下： %对单缝进行快速傅里叶变换，以三种方式显示频谱， %即：直接显示（坐标原点在左上角）；把坐标原点平 %移至中心后显
6、示；以对数方式显示。 f=zeros(512,512); f(246:266,230:276)=1; subplot(221),imshow(f,),title(单狭缝图像) F=fft2(f); %对图像进行快速傅里叶变换 S=abs(F); subplot(222) imshow(S,) %显示幅度谱 title(幅度谱（频谱坐标原点在坐上角）),Fc=fftshift(F); %把频谱坐标原点由左上角移至屏幕中央 subplot(223) Fd=abs(Fc); imshow(Fd,) ratio=max(Fd(:)/min(Fd(:) %ratio = 2.3306e+007,动态范围
7、太大，显示器无法正常显示 title(幅度谱（频谱坐标原点在屏幕中央）) S2=log(1+abs(Fc); subplot(224) imshow(S2,) title(以对数方式显示频谱) 运行上面程序后，结果如下：,二维离散傅里叶变换的性质,线性性,证明：,%imagelinear.m %该程序验证了二维DFT的线性性质 f=imread(D:chenpcdatathrychpt4Fig4.04(a).jpg); g=imread(D:chenpcdatathrychpt4Fig4.30(a).jpg); m,n=size(g); f(m,n)=0; f=im2double(f); g=
8、im2double(g); subplot(221) imshow(f,) title(f) subplot(222) imshow(g,) title(g),F=fftshift(fft2(f); G=fftshift(fft2(g); subplot(223) imshow(log(abs(F+G),) FG=fftshift(fft2(f+g); title(DFT(f)+DFT(g) subplot(224) imshow(log(abs(FG),) title(DFT(f+g),可分离性,二维DFT可视为由沿x,y方向的两个一维DFT所构成。,其中：,例题：编程验证二维离散傅里叶变换
9、可分离为两个一维离散傅里叶变换。 解： %myseparable.m %该程序验证了二维DFT的可分离性质 %该程序产生了冈萨雷斯数字图像处理（第二版） %P125 图4.4,f=imread(D:chenpcdatathrychpt4Fig4.04(a).jpg); subplot(211) imshow(f,) title(原图) F=fftshift(fft2(f); subplot(223) imshow(log(1+abs(F),) title(用fft2实现二维离散傅里叶变换) m,n=size(f); F=fft(f); %沿x方向求离散傅里叶变换 G=fft(F); %沿y方向
10、求离散傅里叶变换 F=fftshift(G); subplot(224) imshow(log(1+abs(F),) title(用fft实现二维离散傅里叶变换),平移性,证明： （1）频域移位,结论：,即如果需要将频域的坐标原点从显示屏起始点（0，0）移至显示屏的中心点只要将f(x,y)乘以(-1)x+y因子再进行傅里叶变换即可实现。 例题：利用(-1)x+y对单缝图像f(x,y)进行调制，实现把频谱坐标原点移至屏幕正中央的目标。,当,解：完成本题的源程序为： %在傅里叶变换之前，把函数乘以(-1) x+y，相当于把频谱 %坐标原点移至屏幕窗口正中央。 f(512,512)=0; f=mat
11、2gray(f); Y,X=meshgrid(1:512,1:512); f(246:266,230:276)=1; g=f.*(-1).(X+Y); subplot(221),imshow(f,),title(原图像f(x,y) subplot(222),imshow(g,),title(空域调制图像g(x,y)=f(x,y)*(-1)x+y) F=fft2(f); subplot(223),imshow(log(1+abs(F),),title(f(x,y)的傅里叶频谱) G=fft2(g); subplot(224),imshow(log(1+abs(G),),title(g(x,y)的
12、傅里叶频谱),（a） 在0 N-1周期中有两个背靠背半周期,（b） 同一区间内有一个完整的周期,这就意味着，坐标原点移到了频谱图像的中间位置，这一点十分重要，尤其是对以后的图像显示和滤波处理。,例题：利用(-1)x对f(x)曲线进行调制，达到平移频域坐标原点至屏幕正中央的目的。 %以一维情况为例，说明空域调制对应着频域坐标原点移位。 f(1:512)=0; f(251:260)=1; %产生宽度为10的窗口函数 subplot(221),plot(f),title(宽度为10 的窗口函数) F=fft(f,512); %进行快速傅里叶变换，延拓周期周期为512 subplot(222) plo
13、t(abs(F) %绘幅度频谱（频谱坐标原点在左边界处） title(幅度谱（频谱坐标原点在左边界处）) x=251:260; f(251:260)=(-1).x; %把曲线f(x)乘以(-1)x，可以把频谱 %坐标原点移至屏幕正中央 subplot(223),plot(f),title(宽度为10 的调制窗口函数),F=fft(f,512); %进行快速傅里叶变换 subplot(224); plot(abs(F) %直接显示幅度频谱（频谱坐标原点在正中央） title(幅度谱（频谱坐标原点在中央）) figure f(1:512)=0; f(251:270)=1; %产生宽度为20的窗口函
14、数 subplot(221),plot(f),title(宽度为20 的窗口函数) F=fft(f,512); %进行快速傅里叶变换，延拓周期周期为512 subplot(222) plot(abs(F) %绘幅度频谱（频谱坐标原点在左边界处） title(幅度谱（频谱坐标原点在左边界处）) x=251:270; f(251:270)=(-1).x; %把曲线f(x)乘以(-1)x，可以把频谱坐标原点移至屏幕正中央 subplot(223),plot(f),title(宽度为20 的调制窗口函数) F=fft(f,512); %进行快速傅里叶变换 subplot(224); plot(abs(
15、F) %直接显示幅度频谱（频谱坐标原点在正中央） title(幅度谱（频谱坐标原点在中央）),（2）空域移位：,周期性和共轭对称性,周期性：,共轭对称性：,证明： （1）周期性：,(2) 共轭对称性：,旋转不变性,注：为看清问题的实质、简化旋转不变性的证明，以上用二维连续傅里叶变换进行证明。实际上，由连续积分公式进行离散化处理，即可得到离散公式，证明可参照连续情况进行。,f=zeros(512,512); f(246:266,230:276)=1; subplot(221); imshow(f,) title(原图) F=fftshift(fft2(f); subplot(222); imshow(log(1+abs(F),) title(原图的频谱) f=imrotate(f,45,bilinear,crop); subplot(223) imshow(f,) title(旋转450图) Fc=fftshift(fft2(f); subplot(224); imshow(log(1+abs(Fc),) title(旋转图的频谱),离散卷积定理,例1,求以下两个函数的卷积,1）连续卷积,2）离散卷积定理,离散卷积定义：,空间滤波输出：,结论：空间域进行滤波的过程就是“卷积”的过程。,证明：（1）空域卷积和,（
