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1、第四章第四章 力学综合力学综合 一、解题模型一、解题模型： 1 如图 5.01 所示，一路灯距地面的高度为 h，身高为l的人以速度 v 匀速行走。 （1）试证明人的头顶的影子作匀速运动； （2）求人影的长度随时间的变化率。 图 5.01 解： （1）设 t=0 时刻，人位于路灯的正下方 O 处，在时刻 t，人走到 S 处，根据题意有 OS=vt， 过路灯 P 和人头顶的直线与地面的交点 M 为 t 时刻人头顶影子的位置， 如图 2 所示。 OM 为人头顶影子到 O 点的距离。 图 2 由几何关系，有 OSOM l OM h 联立解得t lh hv OM 因 OM 与时间 t 成正比，故人头顶的
2、影子作匀速运动。 （2）由图 2 可知，在时刻 t，人影的长度为 SM，由几何关系，有 SM=OM-OS，由以上各 式得 t lh lv SM 可见影长 SM 与时间 t 成正比，所以影长随时间的变化率 lh lv k 。 2 一水平放置的圆盘绕竖直固定轴转动， 在圆盘上沿半径开有一条宽度为2mm的均匀狭缝。 将激光器与传感器上下对准，使二者间连线与转轴平行，分别置于圆盘的上下两侧，且 可以同步地沿圆盘半径方向匀速移动， 激光器连续向下发射激光束。 在圆盘转动过程中， 当狭缝经过激光器与传感器之间时，传感器接收到一个激光信号，并将其输入计算机， 经处理后画出相应图线。图 5.02（a）为该装置
3、示意图，图 5.02（b）为所接收的光信 号随时间变化的图线，横坐标表示时间，纵坐标表示接收到的激光信号强度，图中 stst 3 2 3 1 108 . 0100 . 1 ，。 （1）利用图（b）中的数据求 1s 时圆盘转动的角速度； （2）说明激光器和传感器沿半径移动的方向； （3）求图（b）中第三个激光信号的宽度t3。 图 5.02 解析： （1）由图线读得，转盘的转动周期sT8 . 0， 角速度sradsrad T /85. 7/ 8 . 0 28. 62 （2）激光器和探测器沿半径由中心向边缘移动（理由为：由于脉冲宽度在逐渐变窄， 表明光信号能通过狭缝的时间逐渐减少，即圆盘上对应探测器
4、所在位置的线速度逐渐增加， 因此激光器和探测器沿半径由中心向边缘移动） 。 （3）设狭缝宽度为 d，探测器接收到第 i 个脉冲时距转轴的距离为 ri，第 i 个脉冲的 宽度为ti，激光器和探测器沿半径的运动速度为 v。 ) 11 ( 2 ) 11 ( 2 2 23 23 12 12 1223 tt dT rr tt dT rr vTrrrr Tr d t i i ， ， 由以上式联立解得s tt tt t 3 21 21 3 1067. 0 2 3 如图 5.03 是某种静电分选器的原理示意图。两个竖直放置的平行金属板带有等量异号 电荷，形成匀强电场，分选器漏斗的出口与两板上端处于同一高度，到
5、两板距离相等。 混合在一起的 a、 b 两种颗粒从漏斗出口下落时， a 种颗粒带上正电， b 种颗粒带上负电。 经分选电场后，a、b 两种颗粒分别落到水平传送带 A、B 上。已知两板间距 d=0.1m，板 的度ml5 . 0，电场仅局限在平行板之间；各颗粒所带电量大小与其质量之比均为 kgC/101 5 。 设颗粒进入电场时的初速度为零， 分选过程中颗粒大小及颗粒间的相互 作用力不计。要求两种颗粒离开电场区域时，不接触到极板但有最大偏转量。重力加速 度 g 取 2 /10sm。 （1）左右两板各带何种电荷？两极板间的电压多大？ （2）若两带电平行板的下端距传送带 A、B 的高度 H=0.3m，
6、颗粒落至传送带时的速度大 小是多少？ （3）设颗粒每次与传送带碰撞反弹时，沿竖直方向的速度大小为碰撞前竖直方向速度大 小的一半。写出颗粒第 n 次碰撞反弹高度的表达式。并求出经过多少次碰撞，颗粒 反弹的高度小于 0.01m。 图 5.03 解析： （1）左板带负电荷，右板带正电荷。依题意，颗粒在平行板间的竖直方向上满 足 2 2 1 gtl 在水平方向上满足： 2 2 1 2 t dm Uqd s 两式联立得V lq gmd U 4 2 101 2 （2）根据动能定理，颗粒落到水平传送带上满足 smHlg m Uq v mvHlmgUq /4)(2 2 1 )( 2 1 2 （3）在竖直方向颗
7、粒作自由落体运动，它第一次落到水平传送带上沿竖直方向的速度 smHlgv/4)(2 1 反弹高度) 2 )( 4 1 ( 2 )5 . 0( 2 1 2 1 1 g v g v h 根据题设条件，颗粒第 n 次反弹后上升的高度： m g v h nn n 8 . 0) 4 1 () 2 () 4 1 ( 2 1 当4n时，mhn01. 0 4 侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高为 h，要使卫星 在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部都拍摄下来，卫星在通过赤 道上空时， 卫星上的摄影像机至少应拍地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为 R， 地面处的重力
8、加速度为 g，地球自转的周期为 T。 解析：设卫星周期为 T1，那么： )( 4 )( 2 1 2 2 hR T m hR Mm G 又mg R Mm G 2 有 g Rh R T 3 1 )(2 地球自转角速度为 T 2 在卫星绕行地球一周的时间 T1内，地球转过的圆心角为 11 2 T T T 那么摄像机转到赤道正上方时摄下圆周的弧长为Rs 由得 g Rh T s 32 )(4 5 如图 5.04 所示，一对杂技演员（都视为质点）乘秋千（秋千绳处于水平位置）从 A 点 由静止出发绕 O 点下摆，当摆到最低点 B 时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向 推出，然后自己刚好能回到高处 A。求
9、男演员落地点 C 与 O 点的水平距离 s。已知男演 员质量 m1和女演员质量 m2之比2 2 1 m m ，秋千的质量不计，摆长为 R，C 点比 O 点低 5R。 图 5.04 解析：设分离前男女演员在秋千最低点 B 的速度为 0 v，由机械能守恒定律， 2 02121 )( 2 1 )(vmmgRmm 设刚分离时男演员速度的大小为 1 v，方向与 0 v相同；女演员速度的大小为 2 v，方向与 0 v相反，由动量守恒， 2211021 )(vmvmvmm 分离后，男演员做平抛运动，设男演员从被推出到落在 C 点所需的时间为 t，根据题给 条件，由运动学规律，tvsgtR 1 2 2 1 4
10、， 根据题给条件，女演员刚好回 A 点，由机械能守恒定律， 2 222 2 1 vmgRm，已知 21 2mm ，由以上各式可得Rs8。 6 在广场游玩时，一个小孩将一充有氢气的气球用细绳系于一个小石块上，并将小石块放 置于水平地面上。已知小石块的质量为 1 m，气球（含球内氢气）的质量为 2 m，气球体 积为 V，空气密度为（V 和均视作不变量） ，风沿水平方向吹，风速为 v。已知风对 气球的作用力kuf （式中 k 为一已知系数，u 为气球相对空气的速度） 。开始时，小 石块静止在地面上，如图 5.05 所示。 （1）若风速 v 在逐渐增大，小孩担心气球会连同小石块一起被吹离地面，试判断是
11、否会 出现这一情况，并说明理由。 （2）若细绳突然断开，已知气球飞上天空后，在气球所经过的空间中的风速 v 保持不变 量，求气球能达到的最大速度的大小。 图 5.05 答案： （1）将气球和小石块作为一个整体；在竖直方向上，气球（包括小石块）受到 重力 G、浮力 F 和地面支持力 FN的作用，据平衡条件有： gVgmmFN)( 21 由于式中 FN是与风速 v 无关的恒力，而0 N F，故气球连同小石块不会一起被吹离地 面。 （2）气球的运动可分解成水平方向和竖直方向的两个分运动，达到最大速度时气球在 水平方向做匀速运动，有vvx 气球在竖直方向做匀速运动，有： gVkvgm y 2 气球的最
12、大速度： 22 yxm vvv 联立求解得： 2 2 2 )( k gmgV vvm 二、滑轮模型二、滑轮模型 1 如图 5.06 所示，将一根不可伸长、柔软的轻绳左、右两端分别系于 A、B 两点上，一物 体用动滑轮悬挂在轻绳上，达到平衡时，两段绳子间的夹角为 1 ，绳子张力为 1 F；将 绳子右端移到 C 点，待系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为 2 ，绳子张力为 2 F；将 绳子右端再由 C 点移到 D 点，待系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为 3 ，绳子张力为 3 F，不计摩擦，并且 BC 为竖直线，则（） A. 321 B. 321 C. 321 FFFD. 321 FFF 图 5.0
13、6 解析：由于跨过滑轮上绳上各点的张力相同，而它们的合力与重力为一对平衡力，所以 从 B 点移到 C 点的过程中，通过滑轮的移动， 2121 FF ，再从 C 点移到 D 点， 3 肯 定大于 2 ，由于竖直方向上必须有mgF 2 cos2 ，所以 23 FF 。故只有 A 选项正确。 2 如图 5.07 所示在车厢中有一条光滑的带子（质量不计） ，带子中放上一个圆柱体，车子 静止时带子两边的夹角ACB=90，若车厢以加速度 a=7.5m/s 2向左匀加速运动，则带 子的两边与车厢顶面夹角分别为多少？ 图 5.07 解析：设车静止时 AC 长为l，当小车以 2 /5 . 7sma 向左作匀加速
14、运动时，由于 AC、BC 之间的类似于“滑轮” ，故受到的拉力相等，设为 FT，圆柱体所受到的合力为 ma，在向左作 匀加速，运动中 AC 长为ll，BC 长为ll 由几何关系得 lllll2 sinsinsin 由牛顿运动定律建立方程： mgFFmaFF TTTT sinsincoscos， 代入数据求得9319， 3 如图 5.08 所示，细绳绕过两个定滑轮 A 和 B，在两端各挂一个重为 P 的物体，现在 A、 B 的中点 C 处挂一个重为 Q 的小球，Qm）的小物体用轻绳连接；跨放在半径为 R 的光 滑半圆柱体和光滑定滑轮 B 上，m 位于半圆柱体底端 C 点，半圆柱体顶端 A 点与滑
15、轮 B 的连线水平。整个系统从静止开始运动。设 m 能到达圆柱体的顶端，试求： （1）m 到达圆柱体的顶端 A 点时，m 和 M 的速度。 （2）m 到达 A 点时，对圆柱体的压力。 图 5.10 答案： （1） 2 )( 2 1 2 1 vmMmgRRMg mM mgRRMg v 2 （2） N Fmg R mv 2 mM gmMmg mgFN 2 2 mg mM mMmM 2 三、渡河模型三、渡河模型 1 如图 5.11 所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度 0 v拉水平面上的物体 A，当绳与水 平方向成角时，求物体 A 的速度。 图 5.11 解：本题的关键是正确地确定物体 A 的两个分运动。物体 A 的运动（即绳的末端的运动） 可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于 01 vv ；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度的值。这样就 可以将 A v按图示方向进行分解。所以 1 v及 2 v实际上就是 A v的两个分速度，如图所示，由此 可得 coscos 01 vv vA。 2 如图 5.12 所示，某人通过一
