保险精算原理与实务讲义(上)

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1、1,第一章 导论,2,精算科学(Actuarial Science),精算科学是以概率论与数理统计为基础的，与经济学、金融学及保险理论相结合的应用与交叉性的学科。在保险和社会保障领域，精算科学通过对风险事件及其损失的预先评价，实现科学的风险管理，为保险和社会保障事业的财务稳健发展提供基本保障。,3,保险精算学的基本原理,(1) 要素 未来事件 不确定性 财务收支 预先评估 (2) 模型和方法 模型：各因素相互关系的数学公式 方法：借助精算模型实现预先评估 (3) 精算假设 对未来风险发生规律的假设 在过去经验的基础上，根据对未来的判断预先做出,4,基本精算原理-例,按照收支对等原则 如果1人投

2、保1年期100,000元寿险，假设1年内死亡概率4.3%，在不考虑保险公司的费用、投资收益、利润的情况下： 保费=期望损失=100,0000.004 3=430元（忽略利息）,5,精算师,精算师被称为金融、保险、投资和风险管理的工程师 通过对风险和损失的预先评价，对风险事件做出预先的财务安排，保证风险经营的财务稳健性。,6,精算师的主要职业领域,保险公司（寿险、非寿险、健康保险） 养老金计划 社会保障 银行、投资、公司财务、金融工程 法律法规 教育,7,精算管理控制系统,8,怎样成为精算师,考试制度：英国精算学会、北美寿险精算学、北美非寿险精算学会、美国养老金精算师学会、加拿大精算学会。 教育

3、认可制度：澳大利亚：初级课程认可，高级课程考试；德国、意大利、法国、瑞士、西班牙、荷兰、巴西、墨西哥等国家主要采取学历认可制度。 国际精算协会的精算师后续教育制度,9,精算职业发展,1775年，英国的公平人寿社团最早将精算师引入保险领域。 1848年，英国在世界上最早成立了精算学会 1889年，美国精算学会 1892年，法国精算学会 1895年，国际精算协会 2006年，中国精算师协会,10,第二章 利息理论,11,累积函数,累积函数是单位本金的累计额，以 表示。 其中， ， 。,12,累积函数,a(t)通常为t 的连续函数，在坐标平面上表现为通过（0，1）点的曲线，如图2-1和图2-2所示

4、a(t)为增函数时才能保证总额函数的递增性和存在正的利息。 有时，当利息定期结算时，也表现为不连续的阶梯函数，在定期内，为常数，定期结算后，上一个台阶，如图2-3所示。,13,利息率,利息率 1年内1单位本金的利息就是实际年利息率 以 表示第n个基本计息时间单位的实际利率,14,单利和复利,单利：只在本金上生息 设第t年实际利率it，1年末的累积额为: 第2年末的累积额为: 当各年利率均为i时，有,15,单利和复利,复利：在本金和利息上生息 设第t年实际利率it，1年末的累积额为: 第2年末的累积额为: 当各年利率均为i时，有,16,现值和贴现率,17,现值和贴现率,在复利下，,18,现值和贴

5、现率,在单利下，,19,现值和贴现率,贴现率：单位货币在单位时间内的贴现额，单位时间以年度衡量时，成为实际贴现率。 d表示一年的贴现率: dn表示第n年贴现率:,20,可见， di,现值和贴现率,21,现值和贴现率,22,现值和贴现率,23,名义利率与名义贴现率,名义利率:一年结算多次的规定的年利率。 以 表示，m表示结算次数，,24,名义利率与名义贴现率,名义贴现率:一年结算多次的规定的年贴现率。 以 表示，m表示结算次数，,25,利息力,利息力：衡量确切时点上利率水平的指标。 定义利息力为，,故，,26,年金,年金：每隔一个相等的时间间隔的一系列固定数额的收付款方式。 期首付年金 期末付年

6、金,27,期首付年金现值,28,期末付年金现值,29,期首付年金终值,30,期末付年金终值,31,等额确定年金的终值和现值,n年定期的每年1单位元期首付年金、期末付年金的现值和终值间关系图,32,一年多次收付的年金,对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金现值，以 表示，,33,一年多次收付的年金,对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期末付年金现值以 表示，,34,一年多次收付的年金,对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期首付年金在n 年末的终值为，,35,一年多次收付的年金,对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期末付年金在n 年末的终值为，,36,

7、永续年金,定义：收付时期没有限制，每隔一个间隔永远连续收付的年金，相当于前面定期年金当时期n趋于无穷大时的值。,每年一元期末付永续年金现值 为，,37,永续年金,其他永续年金现值为：,38,变额年金,变额年金是每次收付额不等的年金 常见的有， 每次收付额等差递增或递减 每次收付额等比递增,39,变额递增年金,如果在n年定期内，第一年末收付1单位元，第2年末收付2单位元，以后每次比上一次递增1单位元的期末付年金现值以 表示。,40,变额递增年金,两者相减后得,代入上式后得,上述年金期首付时，年金现值为,41,变额递减年金,当第一年收付n元，以后每隔一年收付额减少一单位元的n年定期递减的期末付年金

8、为，,上述定期递减年金在期首付时，为,变额年金的终值是相应年金现值与利率累积系数之积,42,等比递增年金,对等比递增的年金，如果第一年1单位元，以后收付额 每年递增j比例，n年定期的年金现值为：,43,等额分期偿还,等额分期偿还债务的方法是在规定的还款期内每次偿还相等数额的还款方式。 每次偿还金额为 第k 期末的未偿还本金余额 贷款本金是B0 ，是Bk,还款期限为n 年，每年末还款，年实际利率为i,44,等额分期偿还表,45,变额分期偿还,变额分期偿还指每期偿还的金额不等的还款方式。 原始贷款金额为B0 ，第k 期偿还的金额为Rk （k=1，2，,n）,46,例 2.26,一笔金额为nR 元的

9、贷款，年利率为i ，期限为n 年，每年偿还R 元本金，其分期偿还表如下：,47,偿债基金,偿债基金的还款方法是借款人在贷款期间分期偿还贷款的利息，同时为了能够在贷款期末一次性偿还贷款的本金，定期向一个“基金”供款，使该“基金”在贷款期末的积累值正好等于贷款本金。这一基金称为偿债基金，其基金累计的利率与贷款利率可能相等，也可能不等。,48,等额偿债基金,等额偿债基金方法下借款人每期向偿债基金的储蓄金额相等，设为D ，如果该偿债基金每期的利率恒为j，n 为贷款期限，当期支付的利息设为I，则借款人每期支付总金额为： 假设偿债基金的利率与贷款利率相等，即j =i ，则借款人每期支付总金额为，,49,变

10、额偿债基金,设原始贷款本金为B0 ，贷款利率为i ，偿债基金利率为j ，借款人在第k 期末支付的总金额为Rk （k=1，2，n），则，第k 期末向偿债基金的储蓄额为(Rk iB0)，偿债基金在第n 期末的累积值等于原始贷款本金B0 ，即， 当i= j时，,50,债券价值,按利息的支付方式，债券可分为零息债券和附息债券两种。零息债券在债券到期前不支付利息，而是在债券到期时随本金一次性支付所累计的利息。附息债券由发行人在到期日前定期支付利息，投资者可定期获得固定的息票收入。 债券定价原理：债券的理论价格就是债券未来息票收入的现值和到期偿还值的现值之和。 基本符号和概念： P债券的理论价格； i投资

11、者要求的收益率或市场利率； F债券的面值； C债券的偿还值； r债券的息票率； rF每期的息票收入；g债券的修正息票率；n息票的偿还次数； K偿还值按收益率i 计算的现值； G债券的基价，,51,债券价值,基本公式：,溢价公式：,基价公式：,Makeham公式：,52,债券的账面价值,整数息票支付周期的债券价格和账面值 第k 期末的账面值为： 任意时点的账面值,53,第三章 生命表,54,生命表相关定义,生命表：反映在封闭人口的条件下，一批人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。 封闭人口：指所观察的一批人只有死亡变动，没有因出生的新增人口和迁入或迁出人口。,55,生命表基本函数,lx：存活

12、到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,-1。 ndx：在xx+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dx nqx：x岁的人在xx+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为qx,56,生命表基本函数,(1),(2),(3),57,生命表基本函数,npx： xx+n岁的存活概率,与nqx相对的一个函数。 当n=1，简记为px 。,58,生命表基本函数,nLx：x岁的人在xx+n生存的人年数。 人年数是表示人群存活时间的复合单位，1个人存活了1年是1人年，2个人每人存活半年也是1人年，在死亡均匀分布假设下，xx+n岁的死亡人数ndx平均来说存活了n/2年，而活到lx+n岁的人存活了n年，故,当n=1时，,5

13、9,：x岁人群的平均余寿，表明未来平均存活的时间。 当x为0时，表示出生时平均余寿，即出生同批人从出生到死亡平均每人存活的年数。,生命表基本函数,Tx：x岁的人群未来累积生存人年数。,在均匀分布假设下，,60,生命表基本函数,：表示x岁的人存活n年并在第n+1年死亡的概率， 或x岁的人在x+nx+n+1岁死亡的概率。,：表示x岁的人在x+nx+n+m岁之间死亡的概率。,61,生存分布,一、新生儿的生存函数 二、x岁余寿的生存函数 三、死亡力 四、整值平均余寿与中值余寿,62,F(x)：新生儿未来存活时间（新生儿的死亡年龄）为x的分布函数。 s(x)：生存函数，它是新生儿活到x岁的概率，以概率表

14、示为xp0。 新生儿在xz岁间死亡的概率，以概率的方式表示为：,新生儿的生存函数,63,新生儿的生存函数,生命表函数中的存活人数lx 正是生命表基数l0与x岁生存函数之积， lx=l0s(x) 而s(x)曲线形状如下图所示，,64,x岁余寿的生存函数,以（x）表示年龄是x岁的人，（x）的余寿以T(x)表示,x岁的人在t时间内存活的概率 tpx,当x=0时，T(0)=X ，正是新生儿未来余寿随机变量。,x岁的人在t时间内死亡的概率tqx,65,x岁余寿的生存函数,考虑x岁的人的剩余寿命时，往往知道这个人已经活到了x岁 ，tqx实际是一个条件概率,66,x岁的人在x+tx+t+u的死亡概率 ，以

15、概率的方式表示为：,x岁余寿的生存函数,67,整值剩余寿命,定义： 未来存活的完整年数，简记 概率函数,68,死亡力,定义： 的瞬时死亡率，简记 死亡力与生存函数的关系,69,死亡力,70,实际上生命表x岁平均余寿,正是T(x)随机变量的期望值,死亡力,71,死亡力,生命表x岁死亡人数dx正是生存人数函数lx+t与死亡力之积在 01上的积分,生命表x岁生存人年数Lx正是生存人数函数lx+t在01上的积分,生命表x岁累积生存人年数Tx正是生存人数函数lx+t在0上的积分,72,死亡力,对于x岁期望剩余寿命 ，可以证明：,73,整值平均余寿与中值余寿,x岁的整值平均余寿是指x岁未来平均存活的整数年

16、数，不包括不满1年的零数余寿，它是整值余寿随机变量K(x)的期望值，以ex表示，,74,整值平均余寿与中值余寿,由于，,所以,75,整值平均余寿与中值余寿,由于,故，,在死亡均匀分布假设下，,故，,76,整值平均余寿与中值余寿,中值余寿是(x)的余寿T(x)的中值，（x）在这一年龄之前死亡和之后死亡的概率均等于50 %，以m(x)表示x岁的中值余寿，则,即，,77,非整数年龄存活函数的估计,死亡均匀分布假设 死亡力恒定假设 巴尔杜奇(Balducci) 假设,78,有关非整数年龄的假设,使用背景: 生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定， 估计分数年龄的生存状况 基本原理:插值法 常用方法 均匀分布假定(线性插值)